С комплексными числами, полагаю, хотя бы в минимальной мере знакома где-то половина читателей. В этой заметке я немного расскажу о том как они могут определяться.
Итак, самое простое определение комплексных чисел, которым и пользуются большинство людей, такое: комплексными числами называются числа вида x + iy, где i2 = −1, а x и y — вещественные. Это определение простое и интуитивно понятное, однако с математической точки зрения не совсем полноценное. Мы ведь знаем, что корня из −1 не существует (какое число в квадрат не возведи — получишь положительное число), поэтому вдруг сказать «а давайте придумаем мнимую единицу» — сильно смахивает на трюкачество и вообще говоря правомерность таких определений вызывает сомнения. (Обратите еще внимание, что мы определяем мнимую единицу именно как i2 = −1, а не как корень из минус единицы — в последнем случае это было бы вообще не правильно, так как корней квадратных из —1 на самом деле может быть аж два разных, как многие из вас знают).
В общем-то определение это вполне полноценно, если его дополнительно облачить в алгебраическую терминологию и показать всякие простые соотношения. Однако добиться точности формулировок можно и без этого, если задать комплексное число как упорядоченную пару вещественных чисел (x, y) с заданными правилами сложения и умножения:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1)
Здесь уже с формальной точки зрения никаких сомнений не возникает — мы изначально не утверждаем никаких сомнительных вещей, а лишь выводим их из заданных правил. Другое дело, что для студента, который только учится работать с комплексными числами, такое определение покажется слишком надуманным и сложным. Начинать изучение комплексных чисел с такого определения — грех и вообще преступление. К нему стоит подходить много позже.
То что я написал выше — многим было и так известно. А сейчас посмотрите на вот такое определение комплексного числа:
Здесь a — действительная часть, a b — мнимая. Вы можете с легкостью убедиться в том, что матричные операции над такого вида матрицами целиком и полностью соответствуют соответствующим операциям над комплексными числами (добавление от 28.01.2010: написал подробную статью, объясняющую, откуда берется такая матрица). Само по себе такое представление имеет достаточно низкую ценность, так как есть множество других более удобных представлений (которые правда не годятся для определений, в отличие от такой матрицы). Однако подобный прием позволяет, например, обобщать комплексные числа на кольцо кватернионов, где такой вид матрицы уже значительно упрощает доказательства основных фактов, да и вообще с кватернионами в таком виде работа гораздо более удобна.
Но и матричный вид конечно не последний. Посмотрите на следующее определение поля комплексных чисел:
R[x] / (x2 + 1)
Догадываюсь, что многие читатели не знакомы с такой алгебраической нотацией. Поэтому поясню. R — поле вещественных чисел, как большинству известно. Запись R[x] означает множество полиномов с обычными операциями сложения и умножения:
a0xn + a1xn − 1 + … + an − 1x + an
Я не буду сейчас подробно вникать в то, почему именно такие обозначения и какой это несет дополнительный смысл. Скажу лишь, что на самом деле вы можете написать K[x, y, ..., z] и это будет означать полином по переменным x, y, …, z в K. Все эти понятия вы сможете найти где угодно — это базовые понятия алгебры. Но они нам не понадобятся сейчас.
Вообще что R, что R[X] — это так называемые кольца. Кольцо определяется как множество с двумя операциям (называемыми сложением и умножением), обладающие большинством свойств обычных чисел (можете найти где угодно). Различных колец в математике огромное количество, но нас сейчас интересует только кольцо R[x].
Следующее важное понятие — это понятие идеала. Если у нас есть некоторое кольцо K, то его идеалом α называется такое его подмножество, которое замкнуто относительно сложения (сумма любых двух элементов идеала содержится в идеале), а так же произведение любого элемента из K на любой элемент из α вновь принадлежит α. Простейший пример — множество четных чисел в кольце целых чисел. (Сумма четных — четное, произведение любого числа на четное — снова четное). Так же если нам задан некоторый многочлен f(x), то множество многочленов вида h(x)f(x) будет идеалом (h(x) — произвольный многочлен, в том числе и нулевого порядка). Проверяется это элементарно, так что я не буду тратить на это время.
Когда у нас есть идеал α, мы можем все множество разбить на непересекающиеся подмножества, называемые классами эквивалентности, следующим образом: элементы f, g из K находятся в одном классе эквивалентности тогда и только тогда, когда f − g содержится в идеале α. В том, что это умножение корректно, так же не сложно убедиться.
А теперь интересное: пускай f принадлежит классу эквивалентности F, а g принадлежит классу эквивалентности G. Место действия — кольцо K с идеалом α. И пускай fg принадлежит классу эквивалентности A, а f + g классу эквивалентности B. Оказывается, что на самом деле классы A и B не будут зависеть непосредственно от элементов f и g, а будут зависеть лишь от тех классов эквивалентности, к которым эти самые f и g принадлежат. То есть если мы возьмем вместо f и g некоторые f’ и g’ из тех же F и G, то результат сложения и умножения будет по-прежнему принадлежать A и B, хотя сами элементы f’ + g’ и f’g’ будут уже другими. Может быть это кажется сложным и странным, но на самом деле доказывается это весьма легко — при некоторой сноровке это доказывается на листке бумаги меньше чем за минуту. Оставляю это читателю. Если не получится, это всегда можно найти в любом учебнике по алгебре.
Из всего сказанного про идеалы можно заключить следующее очень важное следствие: на множестве классов смежности можно определить операции сложения и умножения, результатом которых будут классы смежности, в которые попадают результаты сложения и умножения элементов классов смежности. В обозначениях, введенных выше, можно написать так: F + G = A и FG = B. Более того, такие операции умножения и сложения будут удовлетворять всем свойствам кольца, поскольку этим свойствам обладают все элементы, содержащиеся в классах смежности.
Значит, множество классов смежности с операциями сложения и умножения, определенными выше, образуют кольцо. Такое кольцо называется факторкольцом и обозначается так: K/α.
Теперь можно догадаться что означает запись R[x]/(x2 + 1). Полиномы вида h(x)(x2 + 1) образуют идеал, как я указывал выше (полином x2 + 1 при этом называется базой идеала), а факторкольцо по нему — тоже некоторое кольцо.
Так вот элементы факторкольца R[x]/(x2 + 1) на самом деле и задают комплексные числа.
Это не сложно доказать. Кто-то из вас потратит на это час, кто-то два месяца, а кто-то не сможет доказать вовсе, но доказательство достаточно элементарно на самом деле. В следующей строчке я привожу вид комплексного числа при таком задании, но прежде чем переводить глаза, предлагаю вам подумать над этим без подсказок хотя бы пару дней — это полезно для мозгов.
Итак, a + ib ↔ [bx + a ]. Запись [f] означает класс смежности, содержащий в себе f.
По-моему офигенно. Кстати, заметьте, что x2 + 1 — не просто полином, взявшийся с потолка, а именно полином, не имеющий действительных корней. Над этим тоже хорошо бы поразмыслить, но эти размышления окажутся уже на порядок сложнее.