Удивительно, но по некоторой причине судя по статистике в моем блоге, самые популярные записи — математические (после заметки о Евровидении, конечно). Нравится людям ломать голову. В этот раз приведу еще одну задачку, которую по силам так же решить первокласснику, который усвоил что значит запись «a + b». Задача как водится ни разу не головоломка, а скорее проверяет понимание сути простейших вещей и умение мыслить более сложными категориями нежели «2 + 2».

Хорошо известно, что

Если формула не понятна, то ниже я объясню подробнее. По сути смысл здесь очень простой — мы суммируем все возможные слагаемые A_ij, где как i, так и j пробегает все возможные значения от 1 до n и k соответственно. Перемена знаков суммы местами означает фактически тавтологию — в первом случае мы суммируем вначале по i, а после уже суммируем по j, а во втором случае наоборот. Но в обоих случаях суммирование ведется по всем элементам, поэтому равенство справедливо.

А теперь  вопрос:

Верна ли эта формула в случае, когда у нас слагаемых бесконечно много? Математики сейчас сразу же подумают о всяких рядах Фурье или Тейлора, а нематематики впадут в ступор, однако я могу сделать подсказку: никаких Тейлоров и Фурье не надо, в ступор впадать тоже не следует. Как я сказал выше, если вы умеете складывать числа, то и эта задача — не проблема. Никакой особой математики не требуется. Надо всего навсего либо привести опровергающий пример, либо доказать этот факт используя элементарную арифметику. Ответ как обычно выложу через пару недель.

Тем, кому все что выше было понятно, можно дальше не читать. Ниже я разъясняю понятия суммы для тех, кто забыл или не знал.

Для начала несколько вводных понятий.

Под последовательностью {x_i} мы будем понимать нечто, что любому натуральному числу (1, 2, 3, …) сопоставляет некоторое другое число. Например, мы можем сказать, что x_i = 2 + 3i, и тогда наша последовательность будет представлять из себя следующее:

(x₁, x₂, x₃, …)  = (5, 8, 11, …)

Фактически просто вместо i подставляем в формулу номер элемента. Это не слишком крутое объяснение с математической точки зрения, но я пытаюсь сделать его понятным нематематику. Когда у нас есть некоторая последовательность чисел, то мы можем захотеть сложить несколько подряд идущих элементов. Это можно записать так:

Нижняя формула — пример суммы для уже приведенной мной в виде примера последовательности.

Совершенно аналогично мы можем определить последовательность с двумя индексами x_ij. Ну например так: x_ij = i + j. Тогда, например, значение x₂₃ будет равно 5. Последовательность мы можем задать любую. Для таких последовательностей мы можем определить двойную сумму:

То есть это сумма всех элементов последовательности x_ij в пределах n и k. Понятно, что в каком порядке мы это суммируем совершенно не важно, потому что от «перестановки мест слагаемых сумма не меняется». Осталось только самостоятельно подумать о том, останется ли это верным в бесконечном случае.