В отличие от прошлых моих статей, являющихся по сути ликбезами, эту я адресую людям с математическим и техническим образованием. К сожалению в СССР так сложилось, что на гуманитарные специальности шли те, кто не потянул на технические, ибо это было совершенно не престижно. В результате в стране возникла удручающая ситуация: гуманитарии деградировали совершенно чудовищно и как правило в математике владеют в лучшем случае арифметикой, а технари же и математики, глядя на гуманитариев, возомнили себя самыми умными, объявив гуманитарные науки чуть ли не лженауками где нет никакого научного метода, а только чесание языком. Такую предвзятость не сложно объяснить: никаких серьезных трудов по экономике на русском языке за последние несколько десятилетий вообще не издавалось (я не считаю единицы брошюр и диссертаций отдельных светлых голов, которых пренебрежимо мало и которые оседают на самых дальних полках), и только сейчас разные энтузиасты российского образования начинают издавать нормальные учебники (чаще правда для аспирантов). Однако эти учебники пока немногочисленны, охватывают лишь узкие темы, и если кто-то хочет нормально выучиться экономической/финансовой теории — единственный вариантом для него будет чтение литературы англоязычной.

В результате деградации советской гуманитарной мысли, математики и технари тоже деградировали. Сегодня в социальном плане математик зачастую оказывается намного дурее любого гуманитария, так как гуманитарий вполне осознает себя дураком, а математик, отлично зная свой узкий предмет и умея строго рассуждать и проводить сложнейшие доказательства, в силу банальной невежественности и отсутствующего даже минимального гуманитарного кругозора оказывается неспособен рассуждать на какие-либо гуманитарные/общественные темы, будь то философия, экономика или что угодно еще. Математик, конечно, не виноват — глядя на университетских преподавателей и то что они вещают,  любое другое отношение к гуманитарным и общественным науками просто невозможно. В результате самоуверенность из российского математика прет удивительная, и поэтому я с завидной регулярностью наблюдаю всяких к.т.н, которые приходят, например, на фондовый рынок, и тут же сливают все средства только потому что не удосужились почитать минимального ликбеза по экономике, или  математиков, которые ни разу не открывали философского словаря и чудовищным образом путают простейшие и самые общие понятия, с пеной у рта отстаивая свою правоту (Леша, привет!).

Этой статьей я хочу просто показать на конкретном примере вполне типичные рассуждения из финансовой теории, дабы несколько развеять миф о том, что экономика — это пространная говорильня в угоду политиканам и ворам. Излагаемый материал — это простейший результат о линейной зависимости риска и доходности, который является одним из самых базовых фактов финансовой теории. Именно эту тему я выбрал по той причине, что доказательство не привлекает никакого особо сложного математического аппарата и будет понятно любому технарю, а не только математику. С другой же стороны само доказательство достаточно изящно и нетривиально, где начальные предположения и сам подход казалось бы ну никак не могут привести к тому результату, к которому они приводят. (Это один из моих наиболее любимых видов рассуждений). Ну да к делу.

Предположения

Предпочтения. Первое предположение заключается в том, что мы будем рассматривать только «людей экономических», с которыми работают неоклассические экономисты. «Человек экономический» — это такой, который имеет какие-то предпочтения (не обязательно строгие). То есть если у нас есть множество альтернатив , то любой человек может это множество упорядочить исходя из того, что ему кажется более полезным. Его способ упорядочивания может быть и не объективен — это совершенно не важно. Главное способность упорядочить.

Кажется, что это совершенно не серьезное ограничение, но надо сказать, что это очень идеализированный человек получается и именно этот пункт вызывает наибольшие споры. Психологи экспериментально показывали, что обычный человек не способен адекватно упорядочивать наборы альтернатив. Это можно продемонстрировать в таком эксперименте: если отобрать две группы людей, и предложить первой группе три альтернативы вложения денег (A, B, C — альтернативы расположены с учетом возрастания риска и доходности одновременно, но риск не слишком велик), а второй группе предложить на выбор эти же три альтернативы и четвертую дополнительную (A, B, C, D), то можно будет обнаружить, что люди второй группы гораздо активнее будут выбирать альтернативу C, чем люди первой. В первой группе альтернатива C будет вовсе не популярна, а в четвертой будет не популярна альтернатива D. Это демонстрирует тот факт, что люди подсознательно боятся экстремальных значений, и никакой речи об объективном упорядочении альтернатив идти не может. Экономисты здесь правда возражают, что инвестиционные решения принимаются не интуитивно, а в ходе строгих расчетов, так что данное ограничение модели оказывается не слишком серьезным.

В любом случае тот же самый результат к которому мы придем можно получить и без привлечения предпочтений — это другое доказательство с несколько отличными исходными данными. Но оно не столь интересно.

Итак, мы имеем множество альтернатив , которое упорядочено (это упорядочивание мы будем называть предпочтениями). Если предпочтительнее, чем , то мы будем обозначать это так: . Тогда мы можем ввести функцию полезности (от слова utility), которая будет удовлетворять условию . Понятно, что для каждых предпочтений можно напридумывать очень много разных функций полезности. Если — функция полезности, то и , и , и — так же будут функциями полезности для тех же самых предпочтений. Мы не будем опираться на какой-либо конкретный вид функции полезности, нам вполне достаточно знать того, что она существует для каждого участника рынка (при этом у каждогоона может быть своя собственная , где , если у нас всего участников рынка).

Нормальность. Второе предположение заключается в том, что мы полагаем, что закон распределения доходности наших активов целиком характеризуется его матожиданием (которое мы будем называть доходностью) и дисперсией (которую мы будем называть риском или волатильнстью). Таких законов распределения в действительности достаточно много, но самый распространенный — нормальный. Он возникает тогда, когда случайная величина является суммой многих случайных величин примерно с одинаковым матожиданием. Это вполне соответствует действительности.

Справедливости ради замечу, что если вы проанализируете историю цен на различные активы, то убедитесь, что нормальным законом распределения там и не пахнет — иногда, то есть чаще чем при предположении нормальности, случаются сильные обвалы или наоборот неожиданные скачки вверх. Тем не менее, если исключить из рассмотрения вот эти вот аномальные скачки, то то что останется будет распределено как раз нормально. Таким образом наша модель описывает лишь нормальное поведение рынка, не рассматривая ситуацию с появлением каких-либо неожиданных обстоятельств. Надо сказать, что модель при этом не теряет своей ценности — случай резких движений рынка, не укладывающихся в нормальную модель обычно страхуется позициями по опционам.

Но вернемся к математике. Если любой актив мы можем охарактеризовать лишь двумя величинами, то и функцию полезности мы можем записать как функцию двух действительных переменных: . Через мы будем обозначать доходность (rate), а через — волатильность (традиционное обозначение в теории вероятностей).

Ставка без риска. Так же будем предполагать, что каждый участник рынка способен делать безрисковые вклады под ставку (такие вклады будут иметь нулевую волатильность). Предположение вполне правдоподобное — безрисковым вкладом может считаться вклад в государственные ценные бумаги. В нормальных странах такие бумаги действительно практически не обладают риском, но даже там, где риск имеется, экономисты склонны считать дефолт ценных бумаг государства концом света, и этот сценарий по этой причине никогда не рассматривается. В нешей же моделе важнее не реальная ситуация, а то, как инвесторы относятся к этой ставке. Так что данная поправка несущественна.

Один период. Пока первое серьезное ограничение состоит в том, что все инвесторы будут инвестировать в один момент времени и на один и тот же временной интервал. Вот это уже не вполне соответствует действительности: инвесторы мало того что имеют различные инвестиционные горизонты, каждый из них придерживается своих собственных целей (один хеджируется, другой диверсифицируется, третий иммунизируется, четвертый поддерживает ликвидность, пятый спекулируется и т. д.) Тем не менее эмпирические опыты показывают, что даже не смотря на эту существенную теоретическую оговорку, модель продолжает работать (существуют и теоретические статьи, подтверждающие выкладки без ограничения на один период, но мне они к сожалению не доступны, так как я не имею доступа до университетских ресурсов, а просто так такие сведения никто не раздает).

Свобода, равенство, братство. Предполагается идеализированный мир. Например, ставка без риска для всех одинакова и доступна каждому при любом объеме вложений. Любые финансовые инструменты можно покупать в любом количестве (в том числе вы можете купить иррациональное число акций, например). Абсолютно все имеют доступ к абсолютно идентичной информации и все опираются на доходность и волатильность. В модели предполагаются учтенными все инвестиционные возможности — не только акции, но и недвижимость, предметы искусства, золото и т. д.  На рынке отсутствуют иные риски кроме как риск волатильности (на деле есть еще например риск ликвидности и риск дефолта как наиболее существенные). И так далее. Так же как физика или математика, экономика рассматривает идеализированные модели — от этого никуда не уйти в любой науке. На практике оказывается, что часто такие допущения не столь уж и существенны. Опять же это черта не только экономики, но и той же физики или математики.

Обозначения и данные

Будем считать, что у нас всего инвесторов и активов, в которые можно вложить деньги. Доходность каждого актива распределена нормально . Каждый инвестор формирует свой инвестиционный портфель. Через мы будем обозначать долю -го инвестора в общей капитализации рынка (то есть в стоимости всех активов), а через долю -ой бумаги в собственности -го инвестора как долю этой бумаги в общей капитализации рынка. Долю безрискового вклада -го инвестора как общую долю в рынке будем обозначать как . Общую долю безрисковых вкладов в капитализации рынка будем обозначать как . Доля -го актива в портфеле -го инвестора таким образом выражается как .

В введенных обозначениях ожидаемая доходность -го инвестора будет выражаться следующим образом:

Дисперсия доходности портфеля -го инвестора будет выглядеть так:

При этом существует условие того, что в сумма долей инвестора в разных активах должна быть единицей (в экономике это называется бюджетным ограничением):

При этом при всем каждый инвестор имеет свою собственную функцию полезности , которую он стремится максимизировать, грамотно составив свой инвестиционный портфель. Делает он это выбирая каким-то образом коэффициенты . Осталось решить оптимизационную задачу.

Решение оптимизационной задачи

Мы имеем типичную задачу условной оптимизации. Составим для каждого инвестора функцию Лагранжа:

Оптимизировать будем, как указывалось выше, по коэффициентам , для чего вначале найдем все частные производные:

(1)

(2)

Это соотношение, которое будет выполняться на рынке, так как каждый инвестор стремится максимизировать свою функцию полезности (я здесь применил правило циклического дифференциирования, полагая за промежуточную переменную ).

Здесь сюжет принимает неожиданный оборот: мы не будем решать задачу оптимизации (это было бы не разумно — нам даже не известны конкретные функции полезности), а вместо этого попробуем вытащить полезную информацию из того, что уже имеется. Для начала надо избавиться от неизвестных и . От первой легко избавиться просто вычтя равенство (2) из равенства (1) (о частных производных функции Лагранжа мы уже не вспоминаем — от них мы получили все что могли) и остаемся с таким равенством:

Поделив это на второе слагаемое и перенеся единицу вправо получим такое:

Здесь важно заметить, что это соотношение выполняется для произвольного инвестора и произвольной бумаги , а стало быть мы можем записать это равенство для разных бумаг и :

Сокращая с обоих сторон одинаковое приходим к следующему:

Так как это соотношение выполняется для всех инвесторов, мы можем просуммировать данное уравнение по всем , после чего получим:

Этот результат просто получить, если возвести обе части равенства в степень , сложить все по , и затем возвести в степень еще раз.

Заметим, что — это общая доля -го актива в общей капитализации рынка, которую мы будем обозначать как . Таким образом имеем:

Если обозначить за ковариацию между рыночным портфелем (то есть портфелем, который содержит в себе бумаги в тех же пропорциях, в каких они по капитализации представлены на рынке) и -ым активом, то легко видеть, что . Сделаем такую замену с левой стороны, а с правой же домножим числитель и знаменатель на . В результате получаем:

Прежде чем двигаться дальше, заметим, что если , то . Это дает нам возможность сложить в правой части отдельно числители и знаменатели по всем активам , что не изменит соотношения:

Здесь я учел, что . Через я обозначил ожидаемую доходность рыночного портфеля, а через волатильность рыночного портфеля. В результате имеем:

После простейших преобразований получаем формулу, описывающую линию, которая носит в финансовой теории название Security Market Line (SML):

Отношение финансисты называют «коэффициентом бета» и обозначают соответственно:

Прикладной смысл

Измерение риска. Выведенная нами формула показывает, что любой актив на рынке может быть более доходным чем ставка без риска, но при этом прирост в доходности прямо пропорционален упомянутому коэффициенту . Чтобы понять его смысл достаточно рассмотреть граничные случаи: он равняется нулю при отсутствии зависимости между рынком и активом, единице, когда они движутся синхронно, и минус единице, когда в противоположные стороны. Что важно, волатильность самого -го актива никак не зависит от .

Риск любого актива можно разложить на две составляющих — с одной стороны это риск, вызванный общим движением рынка (если упали цены на квартиры во всем городе, то и ваша квартира тоже подешевеет), и с другой стороны это специфический риск конкретного актива, который с рынком никак не связан (соседи затопили — квартира подешевела, но рынок тут не при чем). Коэффициент как раз показывает таким образом долю рыночного риска в общем риске актива.

В результате диверсификации (то есть покупки большого количества разных активов с целью снизить риск) мы избавляемся от специфического риска, но риск рынка никуда не исчезает. В этом случае измерителем риска портфеля (и одновременно его доходности) как раз и становится коэффициент .

Инвестиционная стратегия. Как я уже упоминал, при выводе уравнения SML мы предполагали, что рынок у нас идеален и безупречен. В жизни так не бывает, и поэтому в реальности поведение активов будет отличаться от теории. Тем не менее можно так же строго математически показать, что рыночные механизмы (даже на неидеальном рынке) будут пытаться вернуть рынок в равновесное состояние, и если какие-то бумаги отличаются особенно сильно от их теоретического поведения, то можно предположить, что рыночные силы их направят туда, где они не будут сильно выделяться (это тоже можно строго математически показать, что я возможно и сделаю как-нибудь, но не в этот раз). Проиллюстрирую на примере.

За поведелние рынка можно принять какой-нибудь хороший биржевой индекс.  Тогда, сравнивая поведение -го актива и биржевого индекса в историческом разрезе, мы можем вывести уравнение SML исходя их простых статистических оценок корреляции, либо методами регрессионного анализа (что конечно суть одно и то же, но по-разному описывается в книжках с разными названиями). В результате получим нечто такое:

«Шапочка» показывает, что данная величина не точна, а является лишь статистической оценкой. Видно, что , по идее должна быть равна значению ставки без риска (которую при необходимости так же можно рассчитать статистически), и в среднем по рынку оно и будет примерно равняться ставке без риска. Тем не менее, для конкретного актива может быть и погрешность, которая называется коэффициентом «альфа»:

Коэффициент не должен сильно отличаться от нуля, и такие отличия обозначают некоторое отставание актива от рынка, либо его опережение. Соответственно при можно полагать, что этот актив был лучше рынка вразрез с уравнением SML и его покупка вряд ли целесообразна. так как он должен вернуться к нормальному состоянию. Аналогично в обратную сторону. Конечно надо понимать, что речь здесь не идет о спекулятивной стратегии, так как специфический риск может быть очень велик и перекрыть собой любую , но при формировании широкодиверсифицированного портфеля, учитывать показатели входящих в него бумаг необходимо. Математические подробности рыночного равновесия и почему рынок действительно туда стремится я здесь опущу, но вероятно вернусь к ним в дальнейших заметках моего порнобложика.

А на самом деле

Все изложенное можно было доказать значительно проще (но не столь изящно и в несколько других предположениях), но там пришлось бы рисовать графики, а я графики рисовать не люблю. Поэтому дам лишь общие наметки к доказательству. Чтобы хоть что-то было перед глазами, вот вам картинка из Википедии, свободной энциклопедии, иллюстрирующая суть (ниже подробности):

В предположении нормальности распределения доходности любой актив или портфель можно изобразить точкой на графике волатильность-доходность (ибо нормальный закон полностью характеризуется этими двумя величинами). Довольно легко доказать, что множество всех возможных портфелей на таком графике будет выпуклым. Для любой заданной волатильности можно указать целое множество портфелей с разными доходностями. Понятно, что любого инвестора интересует максимальная доходность. Тогда можно построить однозначное соответствие риск-лучшая доходность, и график такой функции будет верхней границей множества всех возможных портфелей на графике риск-доходность. Эта линия в силу выпуклости множества всех возможных портфелей так же будет выпуклой. Называется она эффективной границей Марковица.

Добавив в этот график возможность инвестирования без риска (точка на графике с координатами ), можно будет так же составлять портфели, в которых часть средств будет вложена без риска. Если зафиксировать конкретный портфель , то любой портфель, добавляющий к некоторое количество инвестиций без риска будет лежать на прямой, проходящей через точки и портфель . Замечу, что портфели, состоящие из двух различных произвольных активов уже не будут располагаться на кривой в силу корреляции. Отсюда же надо сделать наблюдение, что множество всех возможных портфелей отнюдь не будет выпуклой оболочкой всех активов — картинка получится более сложной.

Рассмотрев все прямые портфелей, комбинирующих вложения без риска, можно прийти к выводу, что инвестировать имеет смысл лишь в те портфели, прямые которых проходят наиболее высоко, то есть имеют наиболее крутой наклон (мы предполагаем, что ставка без риска весьма мала, хотя это и не обязательное требование). Такая самая высокая прямая будет касаться нашего выпуклого множества всех рисковых портфелей в одной единственной точке — это наилучший возможный портфель без безрисковых вложений. Все остальные наилучшие портфели, обладающие другим риском, будут комбинировать этот портфель и вложение под ставку без риска.

А раз этот портфель наилучший, то все инвесторы будут покупать именно его, а не что-то другое, и таким образом этот портфель будем являться ни чем иным, как рыночным портфелем. Понимаю, что звучит сказанное весьма смело, но это опять же можно показать математически, хотя предположения модели  будут выглядеть значительно более серьезно чем те, что приводил выше.

Из сказанного можно вывести очевидный факт (но тоже требующий тем не менее строгого доказательства): касательная к эффективной границе Марковица в точке рыночного портфеля будет иметь тот же наклон, что и линия наилучших портфелей, то есть это условие на производную.

Получить так сразу уравнение для производной и наклона прямой лучших портфелей весьма затруднительно, так как мы не имеем аналитического выражения кривой Марковица, да и судя по всему получить его аналитически просто напросто невозможно. Однако не сложно показать, что если мы будем рассматривать линию портфелей, состоящих из портфеля на эффективной границе и какого-то другого актива, то это будет некая гладкая кривая (вроде даже парабола, но сходу не вспомню — сам я строго проводил эти выкладки года четыре назад), причем в точке, соответствующей портфелю на эффективной границе, она будет этой самой эффективной границы касаться. И производная в этой точке будет соответственно той же, что и у эффективной границы.

Если составить портфель, в доля -го актива составляет , а доля рыночного портфеля соответственно , то легко можно рассчитать дисперсию и доходность такого портфеля, что задает нам кривую в параметрическом виде. Ее производная в точке будет как раз равна — углу наклона прямой оптимальных портфелей. Из этого уравнения можно получить то же самое уравнение SML, что я привел выше. Подробности опускаю, так как изложенный метод вполне себе классический и излагается во многих учебниках (к сожалению в основном в англоязычных), в отличие от подхода с функцией полезности.

Резюме

А резюмировать-то особо нечего. Просто вот такие вот экономическое рассуждения. Мне исключительно хотелось привести пример экономических рассуждений, который бы несколько пролил свет технарям на науку экономику и собственно показать, что это строгая научная дисциплина, а не тупая говорильня с поливанием друг друга грязью как по телевизору.

Читатель, которого заинтересовали приведенные выкладки, возможно заинтересуется литературой по теме. Посоветовать на русском языке могу мало чего. Крайне приятные книги пишет Буренин А. Н. Людям, не знакомым с финансами вообще можно рекомендовать его книгу «Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов». Но это совсем для новичков. Так же у него написаны отличные книги по дюрации облигаций (самая лучшая книга по облигациям, что я видел), по срочному рынку и по портфельному менеджменту (в частности доказательство через функцию полезности я почерпнул именно оттуда, сильно правда переработав текст, введя много лирики, практики и подробнее обсудив ограничения). Правда он довольно много времени уделяет совсем ненужным теоретику вещам вроде работы в Экселе и числовым примерам, а многие выкладки не выдерживают никакой критики, но его можно понять, так как в противном случае его просто никто не воспринял бы из целевой аудитории биржевых практиков.

Так же дома валяются «Лекции по курсу микроэкономики продвинутого уровня» А. Фридман, и «Математические методы риск-менеджмента» А. Долматова. Руки пока до них никак не дойдут, но поверхностное чтение отдельных глав оставляет приятное впечатление. Так же можно найти толковые достаточно лекции ГУ-ВШЭ, если погуглить. Тамошний научный коллектив вообще замечательный вроде бы (если смотреть на людей от науки, а не от бизнеса).

Ну а в остальном конечно читать только на английском. По многим темам я вообще не видел хоть сколько-нибудь вменяемых книг на русском. Нормального русскоязычного курса макроэкономики вообще не существует в принципе, например. В риск-менеджменте рассматриваются обычно лишь выборочные темы. Тенденция явно положительная, но пока литературы по факту нет. В англоязычном же сегменте как правило все довольно просто: вбиваешь «Intermediate macroeconomics» в Гугл и находишь чего читать. Если там обилие формул и доказательств — книга стоящая. Если нет — ищем дальше.

Вот и все что могу посоветовать.