Математика и секс
Февраль 19th, 2010

Риск и доходность с точки зрения математики

В отличие от прошлых моих статей, являющихся по сути ликбезами, эту я адресую людям с математическим и техническим образованием. К сожалению в СССР так сложилось, что на гуманитарные специальности шли те, кто не потянул на технические, ибо это было совершенно не престижно. В результате в стране возникла удручающая ситуация: гуманитарии деградировали совершенно чудовищно и как правило в математике владеют в лучшем случае арифметикой, а технари же и математики, глядя на гуманитариев, возомнили себя самыми умными, объявив гуманитарные науки чуть ли не лженауками где нет никакого научного метода, а только чесание языком. Такую предвзятость не сложно объяснить: никаких серьезных трудов по экономике на русском языке за последние несколько десятилетий вообще не издавалось (я не считаю единицы брошюр и диссертаций отдельных светлых голов, которых пренебрежимо мало и которые оседают на самых дальних полках), и только сейчас разные энтузиасты российского образования начинают издавать нормальные учебники (чаще правда для аспирантов). Однако эти учебники пока немногочисленны, охватывают лишь узкие темы, и если кто-то хочет нормально выучиться экономической/финансовой теории — единственный вариантом для него будет чтение литературы англоязычной.

В результате деградации советской гуманитарной мысли, математики и технари тоже деградировали. Сегодня в социальном плане математик зачастую оказывается намного дурее любого гуманитария, так как гуманитарий вполне осознает себя дураком, а математик, отлично зная свой узкий предмет и умея строго рассуждать и проводить сложнейшие доказательства, в силу банальной невежественности и отсутствующего даже минимального гуманитарного кругозора оказывается неспособен рассуждать на какие-либо гуманитарные/общественные темы, будь то философия, экономика или что угодно еще. Математик, конечно, не виноват — глядя на университетских преподавателей и то что они вещают,  любое другое отношение к гуманитарным и общественным науками просто невозможно. В результате самоуверенность из российского математика прет удивительная, и поэтому я с завидной регулярностью наблюдаю всяких к.т.н, которые приходят, например, на фондовый рынок, и тут же сливают все средства только потому что не удосужились почитать минимального ликбеза по экономике, или  математиков, которые ни разу не открывали философского словаря и чудовищным образом путают простейшие и самые общие понятия, с пеной у рта отстаивая свою правоту (Леша, привет!).

Этой статьей я хочу просто показать на конкретном примере вполне типичные рассуждения из финансовой теории, дабы несколько развеять миф о том, что экономика — это пространная говорильня в угоду политиканам и ворам. Излагаемый материал — это простейший результат о линейной зависимости риска и доходности, который является одним из самых базовых фактов финансовой теории. Именно эту тему я выбрал по той причине, что доказательство не привлекает никакого особо сложного математического аппарата и будет понятно любому технарю, а не только математику. С другой же стороны само доказательство достаточно изящно и нетривиально, где начальные предположения и сам подход казалось бы ну никак не могут привести к тому результату, к которому они приводят. (Это один из моих наиболее любимых видов рассуждений). Ну да к делу.

Предположения

Предпочтения. Первое предположение заключается в том, что мы будем рассматривать только «людей экономических», с которыми работают неоклассические экономисты. «Человек экономический» — это такой, который имеет какие-то предпочтения (не обязательно строгие). То есть если у нас есть множество альтернатив $latex X$, то любой человек может это множество упорядочить исходя из того, что ему кажется более полезным. Его способ упорядочивания может быть и не объективен — это совершенно не важно. Главное способность упорядочить.

Кажется, что это совершенно не серьезное ограничение, но надо сказать, что это очень идеализированный человек получается и именно этот пункт вызывает наибольшие споры. Психологи экспериментально показывали, что обычный человек не способен адекватно упорядочивать наборы альтернатив. Это можно продемонстрировать в таком эксперименте: если отобрать две группы людей, и предложить первой группе три альтернативы вложения денег (A, B, C — альтернативы расположены с учетом возрастания риска и доходности одновременно, но риск не слишком велик), а второй группе предложить на выбор эти же три альтернативы и четвертую дополнительную (A, B, C, D), то можно будет обнаружить, что люди второй группы гораздо активнее будут выбирать альтернативу C, чем люди первой. В первой группе альтернатива C будет вовсе не популярна, а в четвертой будет не популярна альтернатива D. Это демонстрирует тот факт, что люди подсознательно боятся экстремальных значений, и никакой речи об объективном упорядочении альтернатив идти не может. Экономисты здесь правда возражают, что инвестиционные решения принимаются не интуитивно, а в ходе строгих расчетов, так что данное ограничение модели оказывается не слишком серьезным.

В любом случае тот же самый результат к которому мы придем можно получить и без привлечения предпочтений — это другое доказательство с несколько отличными исходными данными. Но оно не столь интересно.

Итак, мы имеем множество альтернатив $latex X$, которое упорядочено (это упорядочивание мы будем называть предпочтениями). Если $latex a \in X$ предпочтительнее, чем $latex b \in X$, то мы будем обозначать это так: $latex a \succ b$. Тогда мы можем ввести функцию полезности $latex U: X \to \mathbb{R}$ (от слова utility), которая будет удовлетворять условию $latex U(a) > U(b) \Leftrightarrow a \succ b$. Понятно, что для каждых предпочтений можно напридумывать очень много разных функций полезности. Если $latex U$ — функция полезности, то и $latex cU$, и $latex U + c$, и $latex \ln U$ — так же будут функциями полезности для тех же самых предпочтений. Мы не будем опираться на какой-либо конкретный вид функции полезности, нам вполне достаточно знать того, что она существует для каждого участника рынка (при этом у каждогоона может быть своя собственная $latex U_k$, где $latex k = 1, \ldots, n$, если у нас всего $latex n$ участников рынка).

Нормальность. Второе предположение заключается в том, что мы полагаем, что закон распределения доходности наших активов целиком характеризуется его матожиданием (которое мы будем называть доходностью) и дисперсией (которую мы будем называть риском или волатильнстью). Таких законов распределения в действительности достаточно много, но самый распространенный — нормальный. Он возникает тогда, когда случайная величина является суммой многих случайных величин примерно с одинаковым матожиданием. Это вполне соответствует действительности.

Справедливости ради замечу, что если вы проанализируете историю цен на различные активы, то убедитесь, что нормальным законом распределения там и не пахнет — иногда, то есть чаще чем при предположении нормальности, случаются сильные обвалы или наоборот неожиданные скачки вверх. Тем не менее, если исключить из рассмотрения вот эти вот аномальные скачки, то то что останется будет распределено как раз нормально. Таким образом наша модель описывает лишь нормальное поведение рынка, не рассматривая ситуацию с появлением каких-либо неожиданных обстоятельств. Надо сказать, что модель при этом не теряет своей ценности — случай резких движений рынка, не укладывающихся в нормальную модель обычно страхуется позициями по опционам.

Но вернемся к математике. Если любой актив мы можем охарактеризовать лишь двумя величинами, то и функцию полезности мы можем записать как функцию двух действительных переменных: $latex U_k(r, \sigma)$. Через $latex r$ мы будем обозначать доходность (rate), а через $latex \sigma$ — волатильность (традиционное обозначение в теории вероятностей).

Ставка без риска. Так же будем предполагать, что каждый участник рынка способен делать безрисковые вклады под ставку $latex r_f$ (такие вклады будут иметь нулевую волатильность). Предположение вполне правдоподобное — безрисковым вкладом может считаться вклад в государственные ценные бумаги. В нормальных странах такие бумаги действительно практически не обладают риском, но даже там, где риск имеется, экономисты склонны считать дефолт ценных бумаг государства концом света, и этот сценарий по этой причине никогда не рассматривается. В нешей же моделе важнее не реальная ситуация, а то, как инвесторы относятся к этой ставке. Так что данная поправка несущественна.

Один период. Пока первое серьезное ограничение состоит в том, что все инвесторы будут инвестировать в один момент времени и на один и тот же временной интервал. Вот это уже не вполне соответствует действительности: инвесторы мало того что имеют различные инвестиционные горизонты, каждый из них придерживается своих собственных целей (один хеджируется, другой диверсифицируется, третий иммунизируется, четвертый поддерживает ликвидность, пятый спекулируется и т. д.) Тем не менее эмпирические опыты показывают, что даже не смотря на эту существенную теоретическую оговорку, модель продолжает работать (существуют и теоретические статьи, подтверждающие выкладки без ограничения на один период, но мне они к сожалению не доступны, так как я не имею доступа до университетских ресурсов, а просто так такие сведения никто не раздает).

Свобода, равенство, братство. Предполагается идеализированный мир. Например, ставка без риска для всех одинакова и доступна каждому при любом объеме вложений. Любые финансовые инструменты можно покупать в любом количестве (в том числе вы можете купить иррациональное число акций, например). Абсолютно все имеют доступ к абсолютно идентичной информации и все опираются на доходность и волатильность. В модели предполагаются учтенными все инвестиционные возможности — не только акции, но и недвижимость, предметы искусства, золото и т. д.  На рынке отсутствуют иные риски кроме как риск волатильности (на деле есть еще например риск ликвидности и риск дефолта как наиболее существенные). И так далее. Так же как физика или математика, экономика рассматривает идеализированные модели — от этого никуда не уйти в любой науке. На практике оказывается, что часто такие допущения не столь уж и существенны. Опять же это черта не только экономики, но и той же физики или математики.

Обозначения и данные

Будем считать, что у нас всего $latex n$ инвесторов и $latex m$ активов, в которые можно вложить деньги. Доходность каждого актива распределена нормально $latex r_i \sim N(\overline{r}_i, \sigma_i)$. Каждый инвестор формирует свой инвестиционный портфель. Через $latex g_i$ мы будем обозначать долю $latex i$-го инвестора в общей капитализации рынка (то есть в стоимости всех активов), а через $latex \theta_{ij}$ долю $latex j$-ой бумаги в собственности $latex i$-го инвестора как долю этой бумаги в общей капитализации рынка. Долю безрискового вклада $latex i$-го инвестора как общую долю в рынке будем обозначать как $latex \theta_{if}$. Общую долю безрисковых вкладов в капитализации рынка будем обозначать как $latex g_f$. Доля $latex j$-го актива в портфеле $latex i$-го инвестора таким образом выражается как $latex {\theta_ij \over g_i}$.

В введенных обозначениях ожидаемая доходность $latex i$-го инвестора будет выражаться следующим образом:

$latex \overline{r}_{pi} = \mathop{\rm M}\left[\sum_{j=0}^m {\theta_{ij}\over g_i} r_j + {\theta_{ij} \over g_i} r_f\right] = \sum_{j=0}^m {\theta_{ij}\over g_i} \overline{r}_j + {\theta_{ij} \over g_i} r_f&s=1$

Дисперсия доходности портфеля $latex i$-го инвестора будет выглядеть так:

$latex \sigma_{pi}^2 = \mathop{\rm D} \left[\sum_{j=0}^m {\theta_{ij}\over g_i} r_j + {\theta_{ij} \over g_i} r_f\right] = \sum_{j,k=1}^m {\theta_{ij}\theta_{ik} \over g_i^2} \mathop{\rm cov}_{jk}&s=1$

При этом существует условие того, что в сумма долей инвестора в разных активах должна быть единицей (в экономике это называется бюджетным ограничением):

$latex \sum_{j=1}^m {\theta_{ij} \over g_i} + {\theta_{if} \over g_i} = 1&s=1$

При этом при всем каждый инвестор имеет свою собственную функцию полезности $latex U_i(\overline{r}_{pi}, \sigma_{pi})$, которую он стремится максимизировать, грамотно составив свой инвестиционный портфель. Делает он это выбирая каким-то образом коэффициенты $latex \theta_{ij}$. Осталось решить оптимизационную задачу.

Решение оптимизационной задачи

Мы имеем типичную задачу условной оптимизации. Составим для каждого инвестора функцию Лагранжа:

$latex \psi_k = U_k(\overline{r}_{pk}, \sigma_{pk}) + \lambda_k\left(\sum_{i=1}^m{\theta_{ki} \over g_k} + {\theta_{kf} \over g_k}-1\right)&s=1$

Оптимизировать будем, как указывалось выше, по коэффициентам $latex \theta_{ki}$, для чего вначале найдем все частные производные:

$latex {\partial\psi_k \over \partial\theta_{ki}} = {\partial \over \partial \overline{r}_{pk}} U_k(\overline{r}_{pk}, \sigma_{pk}) {\overline{r}_i \over g_k} + {\partial \over \partial\sigma_{pk}^2} U_k(\overline{r}_{pk}, \sigma_{pk}) {2 \over g_k^2} \sum_{j=1}^m\theta_{kj}\mathop{\rm cov}_{ij} + {\lambda_k \over g_k}\\= 0&s=1$(1)

$latex {\partial\psi_k \over \partial\theta_{kf}} = {\partial \over \partial \overline{r}_{pk}} U_k(\overline{r}_{pk}, \sigma_{pk}) {r_f \over g_k} + {\lambda_k \over g_k} = 0&s=1$(2)

Это соотношение, которое будет выполняться на рынке, так как каждый инвестор стремится максимизировать свою функцию полезности (я здесь применил правило циклического дифференциирования, полагая за промежуточную переменную $latex \sigma_{pk}^2$).

Здесь сюжет принимает неожиданный оборот: мы не будем решать задачу оптимизации (это было бы не разумно — нам даже не известны конкретные функции полезности), а вместо этого попробуем вытащить полезную информацию из того, что уже имеется. Для начала надо избавиться от неизвестных $latex \lambda_k$ и $latex U_k$. От первой легко избавиться просто вычтя равенство (2) из равенства (1) (о частных производных функции Лагранжа мы уже не вспоминаем — от них мы получили все что могли) и остаемся с таким равенством:

$latex {\partial \over \partial\overline{r}_{pk}} U_k(\overline{r}_{pk}, \sigma_{pk}) {1 \over g_k} (\overline{r}_i-r_f) + {\partial \over \partial\sigma_{pk}^2} U_k(\overline{r}_{pk}, \sigma_{pk}) {2 \over g_k^2} \sum_{j=1}^m\theta_{kj}\mathop{\rm cov}_{ij}=0&s=1$

Поделив это на второе слагаемое и перенеся единицу вправо получим такое:

$latex {{\partial \over \partial\overline{r}_{pk}} U_k(\overline{r}_{pk}, \sigma_{pk}) {1 \over g_k} (\overline{r}_i-r_f) \over {\partial \over \partial\sigma_{pk}^2} U_k(\overline{r}_{pk}, \sigma_{pk}) {2 \over g_k^2} \sum_{j=1}^m\theta_{kj}\mathop{\rm cov}_{ij}} = -1&s=2$

Здесь важно заметить, что это соотношение выполняется для произвольного инвестора $latex k$ и произвольной бумаги $latex i$, а стало быть мы можем записать это равенство для разных бумаг $latex i$ и $latex j$:

$latex {{\partial \over \partial\overline{r}_{pk}} U_k(\overline{r}_{pk}, \sigma_{pk}) {1 \over g_k} (\overline{r}_i-r_f) \over {\partial \over \partial\sigma_{pk}^2} U_k(\overline{r}_{pk}, \sigma_{pk}) {2 \over g_k^2} \sum_{l=1}^m\theta_{kl}\mathop{\rm cov}_{il}} = {{\partial \over \partial\overline{r}_{pk}} U_k(\overline{r}_{pk}, \sigma_{pk}) {1 \over g_k} (\overline{r}_j-r_f) \over {\partial \over \partial\sigma_{pk}^2} U_k(\overline{r}_{pk}, \sigma_{pk}) {2 \over g_k^2} \sum_{l=1}^m\theta_{kl}\mathop{\rm cov}_{jl}}&s=2$

Сокращая с обоих сторон одинаковое приходим к следующему:

$latex {\overline{r}_i-r_f \over \sum_{l=1}^m\theta_{kl}\mathop{\rm cov}_{il}} = {\overline{r}_j-r_f \over \sum_{l=1}^m\theta_{kl}\mathop{\rm cov}_{jl}}&s=2$

Так как это соотношение выполняется для всех инвесторов, мы можем просуммировать данное уравнение по всем $latex k$, после чего получим:

$latex {\overline{r}_i-r_f \over \sum_{l=1}^m\sum_{k=1}^n\theta_{kl}\mathop{\rm cov}_{il}} = {\overline{r}_j-r_f \over \sum_{l=1}^m\sum_{k=1}^n\theta_{kl}\mathop{\rm cov}_{jl}}&s=2$

Этот результат просто получить, если возвести обе части равенства в степень $latex -1$, сложить все по $latex k$, и затем возвести в степень $latex -1$ еще раз.

Заметим, что $latex \sum_{k=1}^n\theta_{kl}$ — это общая доля $latex l$-го актива в общей капитализации рынка, которую мы будем обозначать как $latex \omega_l$. Таким образом имеем:

$latex {\overline{r}_i-r_f \over \sum_{l=1}^m\omega_l\mathop{\rm cov}_{il}} = {\overline{r}_j-r_f \over \sum_{l=1}^m\omega_l\mathop{\rm cov}_{jl}}&s=2$

Если обозначить за $latex \mathop{\rm cov}_{Mi}$ ковариацию между рыночным портфелем (то есть портфелем, который содержит в себе бумаги в тех же пропорциях, в каких они по капитализации представлены на рынке) и $latex i$-ым активом, то легко видеть, что $latex \mathop{\rm cov}_{Mi} = \sum_{l=1}^m \omega_l \mathop{\rm cov}_{il}$. Сделаем такую замену с левой стороны, а с правой же домножим числитель и знаменатель на $latex \omega_j$. В результате получаем:

$latex {\overline{r}_i-r_f \over \mathop{\rm cov}_{Mi}} = {\omega_j\overline{r}_j-\omega_j r_f \over \sum_{l=1}^m\omega_j\omega_l\mathop{\rm cov}_{jl}}&s=2$

Прежде чем двигаться дальше, заметим, что если $latex {a\over b} = {c \over d}$, то $latex {a \over b} = {a + c \over b + d}$. Это дает нам возможность сложить в правой части отдельно числители и знаменатели по всем активам $latex j$, что не изменит соотношения:

$latex {\omega_j\overline{r}_j-\omega_j r_f \over \sum_{l=1}^m\omega_j\omega_l\mathop{\rm cov}_{jl}} = {\sum_{j=1}^m\omega_j\overline{r}_j-\sum_{j=1}^m\omega_j r_f \over \sum_{j=1}^m\sum_{l=1}^m\omega_j\omega_l\mathop{\rm cov}_{jl}} = {\overline{r}_M-r_f \over \sigma_M^2}&s=2$

Здесь я учел, что $latex \sum_{k=1}^m \omega_k = 1$. Через $latex \overline{r}_M$ я обозначил ожидаемую доходность рыночного портфеля, а через $latex \sigma_M^2$ волатильность рыночного портфеля. В результате имеем:

$latex {\overline{r}_i-r_f \over \mathop{\rm cov}_{Mi}} = {\overline{r}_M-r_f \over \sigma_M^2}&s=2$

После простейших преобразований получаем формулу, описывающую линию, которая носит в финансовой теории название Security Market Line (SML):

$latex \overline{r}_i = r_f + {\mathop{\rm cov}_{Mi} \over \sigma_M^2} (\overline{r}_M-r_f)&s=1$

Отношение $latex {\mathop{\rm cov}_{Mi} \over \sigma_M^2}$ финансисты называют «коэффициентом бета» и обозначают соответственно:

$latex \overline{r}_i = r_f + \beta_i (\overline{r}_M-r_f)$

Прикладной смысл

Измерение риска. Выведенная нами формула показывает, что любой актив на рынке может быть более доходным чем ставка без риска, но при этом прирост в доходности прямо пропорционален упомянутому коэффициенту $latex \beta_i$. Чтобы понять его смысл достаточно рассмотреть граничные случаи: он равняется нулю при отсутствии зависимости между рынком и активом, единице, когда они движутся синхронно, и минус единице, когда в противоположные стороны. Что важно, волатильность самого $latex i$-го актива никак не зависит от $latex \beta_i$.

Риск любого актива можно разложить на две составляющих — с одной стороны это риск, вызванный общим движением рынка (если упали цены на квартиры во всем городе, то и ваша квартира тоже подешевеет), и с другой стороны это специфический риск конкретного актива, который с рынком никак не связан (соседи затопили — квартира подешевела, но рынок тут не при чем). Коэффициент $latex \beta_i$ как раз показывает таким образом долю рыночного риска в общем риске актива.

В результате диверсификации (то есть покупки большого количества разных активов с целью снизить риск) мы избавляемся от специфического риска, но риск рынка никуда не исчезает. В этом случае измерителем риска портфеля (и одновременно его доходности) как раз и становится коэффициент $latex \beta_i$.

Инвестиционная стратегия. Как я уже упоминал, при выводе уравнения SML мы предполагали, что рынок у нас идеален и безупречен. В жизни так не бывает, и поэтому в реальности поведение активов будет отличаться от теории. Тем не менее можно так же строго математически показать, что рыночные механизмы (даже на неидеальном рынке) будут пытаться вернуть рынок в равновесное состояние, и если какие-то бумаги отличаются особенно сильно от их теоретического поведения, то можно предположить, что рыночные силы их направят туда, где они не будут сильно выделяться (это тоже можно строго математически показать, что я возможно и сделаю как-нибудь, но не в этот раз). Проиллюстрирую на примере.

За поведелние рынка можно принять какой-нибудь хороший биржевой индекс.  Тогда, сравнивая поведение $latex i$-го актива и биржевого индекса в историческом разрезе, мы можем вывести уравнение SML исходя их простых статистических оценок корреляции, либо методами регрессионного анализа (что конечно суть одно и то же, но по-разному описывается в книжках с разными названиями). В результате получим нечто такое:

$latex \hat r_i = \hat c_i + \hat \beta (\hat r_i-r_f)$

«Шапочка» показывает, что данная величина не точна, а является лишь статистической оценкой. Видно, что $latex \hat c$, по идее должна быть равна значению ставки без риска (которую при необходимости так же можно рассчитать статистически), и в среднем по рынку оно и будет примерно равняться ставке без риска. Тем не менее, для конкретного актива может быть и погрешность, которая называется коэффициентом «альфа»:

$latex \alpha_i = \hat c_i-r_f$

Коэффициент $latex \alpha_i$ не должен сильно отличаться от нуля, и такие отличия обозначают некоторое отставание актива от рынка, либо его опережение. Соответственно при $latex \alpha_i > 0$ можно полагать, что этот актив был лучше рынка вразрез с уравнением SML и его покупка вряд ли целесообразна. так как он должен вернуться к нормальному состоянию. Аналогично в обратную сторону. Конечно надо понимать, что речь здесь не идет о спекулятивной стратегии, так как специфический риск может быть очень велик и перекрыть собой любую $latex \alpha_i$, но при формировании широкодиверсифицированного портфеля, учитывать показатели $latex \alpha_i$ входящих в него бумаг необходимо. Математические подробности рыночного равновесия и почему рынок действительно туда стремится я здесь опущу, но вероятно вернусь к ним в дальнейших заметках моего порнобложика.

А на самом деле

Все изложенное можно было доказать значительно проще (но не столь изящно и в несколько других предположениях), но там пришлось бы рисовать графики, а я графики рисовать не люблю. Поэтому дам лишь общие наметки к доказательству. Чтобы хоть что-то было перед глазами, вот вам картинка из Википедии, свободной энциклопедии, иллюстрирующая суть (ниже подробности):

В предположении нормальности распределения доходности любой актив или портфель можно изобразить точкой на графике волатильность-доходность (ибо нормальный закон полностью характеризуется этими двумя величинами). Довольно легко доказать, что множество всех возможных портфелей на таком графике будет выпуклым. Для любой заданной волатильности $latex \sigma$ можно указать целое множество портфелей с разными доходностями. Понятно, что любого инвестора интересует максимальная доходность. Тогда можно построить однозначное соответствие риск-лучшая доходность, и график такой функции будет верхней границей множества всех возможных портфелей на графике риск-доходность. Эта линия в силу выпуклости множества всех возможных портфелей так же будет выпуклой. Называется она эффективной границей Марковица.

Добавив в этот график возможность инвестирования без риска (точка на графике с координатами $latex (0, r_f)$), можно будет так же составлять портфели, в которых часть средств будет вложена без риска. Если зафиксировать конкретный портфель $latex P$, то любой портфель, добавляющий к $latex P$ некоторое количество инвестиций без риска будет лежать на прямой, проходящей через точки $latex (0, r_f)$ и портфель $latex P$. Замечу, что портфели, состоящие из двух различных произвольных активов уже не будут располагаться на кривой в силу корреляции. Отсюда же надо сделать наблюдение, что множество всех возможных портфелей отнюдь не будет выпуклой оболочкой всех активов — картинка получится более сложной.

Рассмотрев все прямые портфелей, комбинирующих вложения без риска, можно прийти к выводу, что инвестировать имеет смысл лишь в те портфели, прямые которых проходят наиболее высоко, то есть имеют наиболее крутой наклон (мы предполагаем, что ставка без риска весьма мала, хотя это и не обязательное требование). Такая самая высокая прямая будет касаться нашего выпуклого множества всех рисковых портфелей в одной единственной точке — это наилучший возможный портфель без безрисковых вложений. Все остальные наилучшие портфели, обладающие другим риском, будут комбинировать этот портфель и вложение под ставку без риска.

А раз этот портфель наилучший, то все инвесторы будут покупать именно его, а не что-то другое, и таким образом этот портфель будем являться ни чем иным, как рыночным портфелем. Понимаю, что звучит сказанное весьма смело, но это опять же можно показать математически, хотя предположения модели  будут выглядеть значительно более серьезно чем те, что приводил выше.

Из сказанного можно вывести очевидный факт (но тоже требующий тем не менее строгого доказательства): касательная к эффективной границе Марковица в точке рыночного портфеля будет иметь тот же наклон, что и линия наилучших портфелей, то есть это условие на производную.

Получить так сразу уравнение для производной и наклона прямой лучших портфелей весьма затруднительно, так как мы не имеем аналитического выражения кривой Марковица, да и судя по всему получить его аналитически просто напросто невозможно. Однако не сложно показать, что если мы будем рассматривать линию портфелей, состоящих из портфеля на эффективной границе и какого-то другого актива, то это будет некая гладкая кривая (вроде даже парабола, но сходу не вспомню — сам я строго проводил эти выкладки года четыре назад), причем в точке, соответствующей портфелю на эффективной границе, она будет этой самой эффективной границы касаться. И производная в этой точке будет соответственно той же, что и у эффективной границы.

Если составить портфель, в доля $latex i$-го актива составляет $latex x$, а доля рыночного портфеля соответственно $latex (1-x)$, то легко можно рассчитать дисперсию и доходность такого портфеля, что задает нам кривую в параметрическом виде. Ее производная в точке $latex x=0$ будет как раз равна $latex {\overline{r}_M-r_f \over \sigma_M}&s=1$ — углу наклона прямой оптимальных портфелей. Из этого уравнения можно получить то же самое уравнение SML, что я привел выше. Подробности опускаю, так как изложенный метод вполне себе классический и излагается во многих учебниках (к сожалению в основном в англоязычных), в отличие от подхода с функцией полезности.

Резюме

А резюмировать-то особо нечего. Просто вот такие вот экономическое рассуждения. Мне исключительно хотелось привести пример экономических рассуждений, который бы несколько пролил свет технарям на науку экономику и собственно показать, что это строгая научная дисциплина, а не тупая говорильня с поливанием друг друга грязью как по телевизору.

Читатель, которого заинтересовали приведенные выкладки, возможно заинтересуется литературой по теме. Посоветовать на русском языке могу мало чего. Крайне приятные книги пишет Буренин А. Н. Людям, не знакомым с финансами вообще можно рекомендовать его книгу «Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов». Но это совсем для новичков. Так же у него написаны отличные книги по дюрации облигаций (самая лучшая книга по облигациям, что я видел), по срочному рынку и по портфельному менеджменту (в частности доказательство через функцию полезности я почерпнул именно оттуда, сильно правда переработав текст, введя много лирики, практики и подробнее обсудив ограничения). Правда он довольно много времени уделяет совсем ненужным теоретику вещам вроде работы в Экселе и числовым примерам, а многие выкладки не выдерживают никакой критики, но его можно понять, так как в противном случае его просто никто не воспринял бы из целевой аудитории биржевых практиков.

Так же дома валяются «Лекции по курсу микроэкономики продвинутого уровня» А. Фридман, и «Математические методы риск-менеджмента» А. Долматова. Руки пока до них никак не дойдут, но поверхностное чтение отдельных глав оставляет приятное впечатление. Так же можно найти толковые достаточно лекции ГУ-ВШЭ, если погуглить. Тамошний научный коллектив вообще замечательный вроде бы (если смотреть на людей от науки, а не от бизнеса).

Ну а в остальном конечно читать только на английском. По многим темам я вообще не видел хоть сколько-нибудь вменяемых книг на русском. Нормального русскоязычного курса макроэкономики вообще не существует в принципе, например. В риск-менеджменте рассматриваются обычно лишь выборочные темы. Тенденция явно положительная, но пока литературы по факту нет. В англоязычном же сегменте как правило все довольно просто: вбиваешь «Intermediate macroeconomics» в Гугл и находишь чего читать. Если там обилие формул и доказательств — книга стоящая. Если нет — ищем дальше.

Вот и все что могу посоветовать.

22 комментария »

  1. «В отличие от прошлых моих статей, являющихся по сути ликбезами, эту я адресую людям с математическим и техническим образованием.» после этой фразы начал читать по ахуезной диагонале, так как имею 9 классов образования провинциальной укранской школы. Даже по диагонали нихуя не понял.
    Рома, у тебя не все читатели математики, сообщи, плз, в коментах что хотел сказать этим постом.

    Comment by f — 20.02.2010 @ 03:24
  2. И вообще тебя непонять: с одной стороны, ты мат.задрот, а с другой — ибешь «трастипуток».. У меня энто в голове как то не может в одно сложится.. А?
    Может у меня такой стереотип, что если человека интересуют только цифры, то его не интересует остальная часть жизни, а?

    Comment by f — 20.02.2010 @ 03:29
  3. f, да не, математики редко бывают задротами. Когда я, например, принес «Автонома» в институт, он вызвал оживленные дискуссии, которые чуть не дошли до мордобоя с обвинениями (всех тех, кто не ходит на несанкционированные митинги, один из наших лучших математиков назвал «ссыклом»). Напротив, во всех остальных нематематических местах, куда я его приносил, анархическая пресса не вызвала столь бурного обсуждения.

    Есть действительно задроты, которые занимаются тем, что им говорят взрослые, потом то что говорят делать учителя, потом они устраиваются на дерьмовую работу/аспирантуру, которую предлагает институт и так и работают там до старости. Как правило в математике они весьма дурно разбираются при этом. Просто учатся потому что «так надо», не имея никакой сердечной привязанности к науке. Ненавижу таких.

    Вообще психологами доказано, что чем более человек нонконформист, тем лучше он решает нестандартные задачи. Так что лучшие математики — это как раз анархисты, революционеры, извращенцы, педерасты, педофилы, говноеды и прочие товарищи. Все вполне закономерно.

    Что касается посетителей, то я сам не знаю кто меня и зачем посещает. Самая популярная заметка, которая привлекает читателей судя по статистике — мой краткий словарик этических терминов (на нее приходят по терминам вроде «что такое добро и зло»), а на втором месте запрос «что такое комплексные числа».

    Ну а вообще мой хитрый замысел ведения блога двояк: с одной стороны знакомство с раскрепощенными девами, которым нравятся умные хулиганы (пока не слишком успешно — продолжаю ходить к проституткам), с другой стороны чисто альтруистическая цель популяризации науки, показывая, что она на самом деле вещь очень интересная для самого широкого круга людей, а не только для чмошных ботаников. Хотя как показывает та же статистика, люди чаще приходят сюда по запросу «комплексные числа», и первом делом оттуда кликают на категорию «секс». Так что успешность популяризаторства науки тоже можно поставить под сомнение.

    Comment by Хеллер — 20.02.2010 @ 12:13
  4. математегу — наххуй!

    Comment by Лосев — 02.03.2010 @ 14:38
  5. Читал, наверное:
    «Вообще, «экономика» (то есть производство и
    перераспределение материальных благ) есть по
    факту нечто крайне предосудительное и гораздо
    хуже любой проституции. Потому что проблема
    человечества уже много лет не в недостатке
    этих самых «благ», а в перепроизводстве их.
    Причем функция перепроизводства чисто полицейская,
    единственное предназначение «экономики» — чтоб
    занять людей всякой тупой хуйней, чтоб они
    не могли подумать и вообще заняться чем-то
    интересным им самим. Но ладно бы чистая
    полицейщина, она же невозможна без уничтожения
    окружающей среды. То есть «экономика» это
    не просто тошнотворное пыточное устройство,
    это устройство, которое в перспективе убьет
    жизнь на земле целиком».

    Ну и подобное у тифарета по слову «экономисты»
    http://blogs.yandex.ru/search.xml?server=lj.rossia.org&author=tiphareth&text=%D1%8D%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%8B&btnG=Search

    Comment by xyii — 28.04.2010 @ 19:44
  6. xyii, мне не особо важно что думает Тифарет об экономистах. Проблема перепроизводства очень неоднозначна. Большая часть планеты вымирает от голода, например, и многие коммунисты скажут, что причина тому — капиталисты, которые жрут за счет эксплуатации, и никакого перепроизводства на самом деле нет. И вообще-то есть вероятность того, что они правы: голодные китайцы и африканцы вкалывают как рабы, чтобы в США было «перепроизводство». В России та же история: есть труба, ее обменивают на ништяки, произведенные чаще всего руками рабов. Для того, чтобы кто-то каждый день пил кофе из кофеварки, где-то люди гнут спины на плантациях не хуже чем в средние века.

    Я не утверждаю, что это все именно так, поскольку не проводил расчетов, но и Тифарет их не проводил (равно как и коммунисты).

    А экономика — вполне себе нормальная научная дисциплина, требующая знаний математики (меня в математику кстати именно экономика и привела). Как не крути, есть производство товаров, есть материальные блага, есть потребности людей, есть обмен. Это явление природы. Ну а если есть явление, то его надо изучать.

    Хотя отчасти Тифарет прав. Среди экономистов подавляющее число людей — никакие не ученые, а мрази, которые прикрываясь псевдонаучными терминами просто воруют, поднимают престиж и жрут. Такова специфика гуманитарного образования (хотя современная экономика, замешанная на математикой аксиоматике уже скорее естественная наука).

    Прикол в том, что если в космосе окажется другая цивилизация, которая будет потреблять (хотя бы есть/пить) и производить (хотя бы собирать), то они будут описываться современными экономическими моделями. Возможность перепроизводства так же кстати рассматривается учеными-экономистами, и есть даже термин «кризис перепроизводства» — одна из распространенных причин коллапсов капиталистических систем. К сожалению только, реальной наукой экономикой никто почти не занимается, а занимаются вместо этого демагогией и взаимообманом.

    Comment by Хеллер — 28.04.2010 @ 20:29
  7. Здравствуйте. Как Вы относитесь к «австрийской школе»?

    Comment by Akater — 17.03.2011 @ 03:19
  8. @ Akater:
    К австрийской школе отношусь крайне негативно. Это ребята, которые просто не владеют математическим аппаратом и делают из этого какие-то математические выводы. Ну и нерегулируемые финансовые рынки себя уже неоднократно проявляли.

    Comment by Хеллер — 17.03.2011 @ 10:25
  9. По микроэкономике стандартный учебник на graduate уровне будет Mas-Colell et al. «Microeconomic theory». По макро — обычно Romer «Advanced Macroeconomics», изложение в ней довольно хреновое, как по мне, но лучше пока нет ничего. Из новых относительно учебников очень хорош Acemoglu «Introduction To Modern Economic Growth», 2009. Он хоть и introduction называется, но весь материал на хорошем уровне дается, и перекрывает большую часть стандартных (кроме неполной информации в микро и денежного рынка в макро, насколько я помню).

    Comment by R-y — 01.04.2011 @ 17:51
  10. Я торгую на рынке Форекс уже 4 года, преимущественно EURUSD. Делаю точную аналитику рынка )) Что характерно — ни разу не использовал каких либо роботов или иных форекс программ. Forex — Foreign exchange переводиться как иностранный обмен — отличная возможность быстро разбогатеть. Но должен Вас предостеречь, что тысячи и даже милионы людей проигрывают на рынке баснословные суммы денег именно по поричине того что верят в вездесущие рекламы и пропаганду о том что на этом рынке грубо говоря за один день можно заработать милион. Все же на Форексе есть трейдеры которые каждый день зарабатывают. Дело в том что эти люди не гоняться за милионами, а придерживаються разработаной ими системы. 1 — Покупай внизу, продавай вверху; 2 — бери только часть от вероятного движениыя (форекс это не фильм ужасов. Здесь не может все идти по зараннее расписаному сценарию) ; 3 — Ставь в залог не больше 10% от депозита ( при к\п 1:100 ) ; 4 — не гонись за миллионами; Вот и вся система, а точнее её основная часть. Какими бы техническими приёмами не пользовался трейдер, он всеравно использует эти правила, если он конечно же успешен. Все остальное скушная теория. Просто торгуй и все придет ктебе само. Не сразу, конечно На одной из моих лекций один слушатель, довольно опытный , но малоуспешный трейдер, попросил меня выдать ему секрет моей безпроиграшной торговли. Он утверждал, что я каким то образом должен знать какие цены будут в будущем. Если хотите знать кто знает будущие цены, тогда могу вам с уверенностью сказать что будущие котировки на рынке форекс НИКТО НЕ ЗНАЕТ. Секрет успешной торговли кроеться в самой успешной торговле. Запомните это. Всегда, что бы вы не делали, седуйте четырем золотым правилам трейдера и Вы будите успешны. Обещаю!

    Comment by KursClub — 16.06.2012 @ 19:43
  11. @ Хеллер:

    Очень многоформул не отображается formula doesn’t parse

    Comment by sofaman — 17.06.2012 @ 20:12
  12. @ sofaman:
    Спасибо за ваш интерес, возникла техническая проблема с формулами. Поправил.

    Comment by Хеллер — 18.06.2012 @ 10:09
  13. Книги о которых вы написали я слышал, но не читал. Для меня книги по экономике это http://www.ozon.ru/context/detail/id/7416096/ и http://www.ozon.ru/context/detail/id/1408884/ . А по фин.менеджменту в первую очередь http://www.ozon.ru/context/detail/id/1680939/, а также http://www.ozon.ru/context/detail/id/87718/ и http://www.ozon.ru/context/detail/id/4954464/ . Все это западные учебники, с живым языком. Если по экономике книги еще более менее понятны, то те же «Принципы корпоративных финансов» порой заставляют шевелиться волосы на голове.

    Comment by Андрей — 05.08.2012 @ 21:13
  14. Блин, ну когда ты сделаешь кнопку «Наверх» ?
    Неудобно ведь!

    Comment by Зарька — 02.12.2012 @ 19:48
  15. Только одно непонятно: если Марковиц такой крутой — что же он тогда облажался-то по полной программе со своей портфельной теорией?

    Нобелевские лауреаты Р. Мертон и М. Шоулз (соавтор модели Блэка-Шоулза ценообразования опционов) решили применить свои модели на практике и создали хедж-фонд Long-Term Capital Management. Их фонд в 1998 году обанкротился на триллионы долларов. Другого экономиста-лауреата из этой компании, Г.Марковица, взяли управляющим инвестициями в Fannie Mae, крупнейшее в США ипотечное агентство. В сентябре 2006 г. Н. Талеб, автор книги по теории кризисов «Черный лебедь», назвал этого управляющего инвестициями Fannie Mae шарлатаном. Спустя два года, в полном соответствии с его оценкой Г.Марковица, Fannie Mae стало банкротом.

    Впрочем, если человек потерял чужие деньги, но вышел сухим из воды, да еще и нобелевку за это получил, все-таки, нельзя сказать, что он облажался. Скорее, он очень-очень хитрожопый мошенник и шарлатан.

    Настоящая статья, кстати говоря, написана просто в ужасном стиле. Я уж не говорю о том, что латексные формулы не отображаются (что намекает на то, что блог даже не тестировался), но сами формулы не выведены, а взяты хрен знает откуда — видимо, с потолка. Тогда уж можно было вообще формул не писать, а сразу отослать читателя к изучению портфельной теории.

    Зачем, например, было писать U:X->R? Почему не написать просто: на множестве X определена функция U, принимающая действительные значения?
    Понятно, почему — потому что так выглядит более по-научному. Вот автор, по-моему, как раз стал жертвой наукообразия. Это когда частокол формул скрывает ложную идею, а чаще просто отсутствие какой-либо идеи.

    Самое забавное, что начинается статья с обличения технарей — мол, не подозревают они о существовании гуманитарных наук. А в конце автор разоблачает сам себя, показывая, что он и есть один из таких технарей, в упор не замечая настоящих гуманитариев из Австрийской школы.

    Вы представляете хотя бы, сколько вообще было экономических школ и школок? Кейнсианцы, монетаристы, маржиналисты, физикалисты, марксисты, социалисты, либералы и т.д. — все эти люди в то или иное время работали на свое правительство, решали экономические проблемы, спорили друг с другом, находили друг у друга ошибки, строили социализм или просто теоретизировали. Здесь нет такого догматического единодушия, которое воцарилось в физике, что, кстати говоря, даже и хорошо, потому что «в споре рождается истина». И вот на все это у вас один ответ: главное, это обилие формул и доказательств — тогда книга стоящая! Такое сказать может только абсолютный технарь…

    И с чего вы взяли, что американцы лучше других разбираются в экономике? Лучшее, на что способны американцы, это сказать (устами Талеба) «я знаю, что ничего не знаю» и заняться экономическим прилаживанием. И это в лучшем случае. В худшем придет умник типа Марковица со своими «теориями», чтобы вешать лапшу на уши и терять чужие деньги.

    Напоследок процитирую двух известных экономистов. Первый из них В. Леонтьев как-то сказал «Многие экономисты пришли из «чистой» или прикладной математики. Каждая страница экономических журналов пестрит математическими формулами, которые ведут читателя от более или менее правдоподобных, но абсолютно произвольных предложений, к точно сформулированным, но не относящимся к делу, теоретическим выводам».

    Другой, А. Зиновьев, тоже однажды сказал: «в наше время повального увлечения математизацией, кибернетикой, моделированием, дедуктивными системами, эмпирическими измерениями совсем не модно не то что разрабатывать метод «восхождения» от абстрактного к конкретному, но даже вспоминать о его существовании. А напрасно. Пренебрежение к этому методу мстит за себя тем, что усилия многих тысяч хорошо подготовленных специалистов дают ничтожно малые результаты или заблуждения.»

    Я не могу сказать, что эти экономисты добились так уж много, благодаря своему подходу. Зиновьев вообще был диссидентом, так что у него не было возможностей претворять свои идеи в жизнь. Тем не менее, на примере Марковица видно, что и математики могут облажаться, если в основу положена неправильная идея.

    PS
    Опционами, конечно, можно застраховать свои позиции, но надо учитывать, что их цена падает со временем, что перепродать их вы все равно не сможете, и т.д. Т.е. вы теряете на них, вообще говоря, как на любой страховке.

    Самое главное, в модель ценообразования опционов заложено как раз логнормальное распределение, которому нет никаких оснований. Основание этому только одно: цена не может принимать отрицательные значения. Умей цена быть отрицательной (хотя бы теоретически) — я уверен, Блэк с Шоулзом глазом бы не моргнули — заложили бы нормальное распределение в модель.
    Но держателю опционов это как раз на пользу. (А вот продавцу — нет.)

    PPS

    «инвестировать имеет смысл лишь в те портфели, прямые которых проходят наиболее высоко, то есть имеют наиболее крутой наклон»

    Нет, вообще-то, наиболее высокие прямые и наиболее крутой наклон — это совсем не одно и то же. Наиболее крутой наклон, если уж на то пошло, имеет вертикальная прямая (что очевидно), которая касается множества слева. Но почему-то на вашем рисунке ее нет.

    Здесь, видимо, подразумевается симплекс-метод из линейного программирования, когда прямую линию переносят все выше и выше параллельно самой себе (т.е. не меняя ее наклона), пока она не будет иметь всего одну общую точку с множеством допустимых решений.

    PPPS

    Почитайте «Антихрупкость» Н. Талеба. В конце книги в приложении 2 он немного разбирает портфельную теорию Марковица.

    PPPPS

    «голодные китайцы и африканцы вкалывают как рабы, чтобы в США было перепроизводство.»
    Такое сказать может тоже только полный дилетант. Это, видимо, байки, которые распускают марксисты, чтобы привлечь людей под свои знамена. Можно подумать, будто капитализм — это свобода грабить.

    Капитализм — это прежде всего капитал, т.е. производство. Африканцев, конечно, можно поработить, но невозможно вывезти из Африки крейсеры, пароходы, самолеты и т.д., потому что их там попросту нет. Их можно только произвести. Грабь награбленное — это как раз лозунг коммунистов.

    Во-вторых, капитализм — это частный капитал, т.е. частная собственность. Частная собственность означает, что человек не является функцией государства, а представляет собой самоценность. Отсюда следствие: равноправие агентов экономических отношений, капиталиста и рабочего. А не прибыль любой ценой, как это любит повторять Хазин. Будь это так — наркоторговцы были бы первыми гражданами страны.

    В-третьих, нужно отличать теоретический капитализм от его реального воплощения. США все больше склоняются к фашизму (слияние крупных корпораций с государством).

    Ну и т.д. А грабить другие страны можно при любом строе.

    Comment by sturded — 11.06.2017 @ 18:50
  16. @ sturded:
    Извините, но вы какую-то ерунду пишете.

    Насчёт того, что какие-то фонды, в которых принимали участие какие-то ученые, обанкротились, ничего не говорит о тех теориях, за которые они получили нобелевские премии. Такая форма рассуждений: «Если такой умный, то почему такой бедный» — слабо относится к науке. Если ориентироваться на самых успешных, то вам надо идти не в экономику, а, например, в сетевые продажи или наркоторговлю.

    Вы почему-то воспринимаете этот текст так, будто он предлагает религиозную догму которую надо принять. Этот текст не предлагает догму — он приводит доказательство теоремы. Любая теорема основывается на предположениях, которые могут быть верны, а могут быть и не верны.

    Экономист/финансист без математики — это вообще не экономист/не финансист. Модели могут быть разными, предположения могут быть разными, но если они не дают никаких строго обоснованных количественных оценок, то это уже не экономика/финансы, а политика.

    Ваши PS и PPS демонстрируют, что вы не знаете даже базовой статистики, не знаете как выводится модель Блэка-Шоулза, не понимаете модели Марковица, совсем не знаете симплекс-метода. Тут я не буду вдаваться в подробности, потому что я даже не уверен, что вы вернетесь в комментарии.

    Ну и вы видимо не заметили, что вы некропостер — статья, которую вы комментируете, написана 7 лет назад, что может намекать не на то, что блог не тестировался, а на то, что он давно заброшен.

    Comment by Heller — 12.06.2017 @ 11:24
  17. Ок, я вернулся.

    >Насчёт того, что какие-то фонды, в которых принимали участие какие-то ученые, обанкротились, ничего не говорит о тех теориях, за которые они получили нобелевские премии. Такая форма рассуждений: «Если такой умный, то почему такой бедный» — слабо относится к науке.

    Ок, но ученых-то этих пригласили управлять этими фондами, благодаря их большому научному авторитету, благодаря теориям, за которые они получили премии. Или что же выходит: здесь нет никакой связи? Если нет связи — что же не взяли первого попавшегося человека с улицы? Пусть бы управлял от балды, если теории в любом случае не применяются.

    Да и кто говорит о бедности? Я же говорю, что они потеряли ЧУЖИЕ деньги, но вышли сухими из воды, и к тому же были награждены премиями (может, не в таком порядке). Я не думаю, что кто-то из них беден, тем более, вряд ли кто-то из них попал в тюрьму, например. В том-то и дело, что за их ошибки расплачиваются простые люди. Об этом много пишет и Талеб — в этом суть его книг, что нет своей шкуры на кону.

    Я согласен, конечно, что так рассуждать несколько обывательски — результаты обывательского метода мышления претендуют на непосредственное подтверждение наблюдаемыми фактами. Можно, конечно, сказать, что и кризис случился бы в любом случае, и эти ученые никак в нем не виноваты. Однако здесь есть три нюанса.

    Во-первых, гибель Fanni Mae была предсказана Талебом за два года. Уж этого вы не могли не знать, поскольку история старая, и могли бы хоть как-нибудь прокомментировать. Причем, предсказан не кризис вообще, а проблемы у конкретной ипотечной компании. И не просто проблемы, а связанные конкретно с портфельной теорией.
    Можно, конечно, сказать, что Талеб случайно угадал, типа, ткнул пальцем в небо и попал (хотя, очевидно, это не так). Но тогда возникает второй нюанс.

    Научные теории, вообще говоря, должны проверяться практикой. Иначе возникают большие сомнения в их научности. Экономика — это наука, а не доказательство теорем — не математика, то бишь. Точнее, не только и не столько математика. По математике, кстати, нобелевских премий не дают. Так что одних только теорем в данном случае маловато.

    И если практика в данном случае не имеет никакого отношения к теории, то претензии Талебу могут быть точно также предъявлены и Марковицу.

    А третий нюанс в том, что исторический подход вообще плохо применим к гуманитарным наукам. Именно потому, что история не терпит сослагательного наклонения, и все события в ней уникальны. Иными словами, мы не можем прогнать исторический процесс по нескольку раз и собрать какую-то статистику. Поэтому, когда ищут какие-то автокорреляции на ценовых графиках (по прошлому угадывают будущее) — это всегда похоже на какое-то шаманство.

    >Экономист/финансист без математики — это вообще не экономист/не финансист.

    Я о наукообразии, вообще-то, говорил, а вы о чем? О том, что меня не возьмут на работу финансистом без знания математики? Может, для вас и Нобелевская премия — критерий истинности теории? Впрочем, не буду приписывать вам того, чего вы не говорили. Просто на этот раз уже я замечу, что истинность теории не определяется голосованием или общественным мнением или социальным статусом ее носителя. А без математики в экономике действительно часто можно обойтись — если рассуждать, например, на качественном уровне. И я уверен, когда-то точно обходились.

    >если они не дают никаких строго обоснованных количественных оценок, то это уже не экономика/финансы

    Да об этом и речь: где вы там увидели строгие обоснования? Вы же сами вроде писали про идеализированного человека, что-то там про психологию. Не в психологии в данном случае дело, а в философии, в том, как субъективные оценки получают свое объективное выражение — это как раз то, чем еще занимались классические экономисты, и на что экономикс (то, что вы читаете) забила болт.

    >вы не знаете даже базовой статистики
    Мм, и как вы пришли к такому выводу? Кстати, что такое «базовая» статистика?

    >не понимаете модели Марковица
    Ваших объяснений я действительно не понимаю — вы их начали откуда-то с середины. Объяснения Талеба — еще более-менее. Но он только в общих чертах обрисовал портфельную теорию.

    >совсем не знаете симплекс-меытода
    Ммм, почему не знаю? Я в чем-то ошибся? (интересно, в чем). Вот у вас точно есть ошибка: вы путаете высоту прямой с ее наклоном. И это первое, что бросается в глаза, потому что на латексном языке я, к сожалению, не говорю.

    >не знаете как выводится модель Блэка-Шоулза
    Ну, что верно, то верно: ее вводов я нигде не встретил, только готовую формулу — но тут и так можно догадаться, как именно она выводится. Одно время я вплотную занимался опционной теорией. Не как профессионал, конечно — по моим наблюдениям, от профессионалов часто не требуется, чтобы они понимали, что делают. Они должны просто освоить какую-то формулу, а дальше просто применять ее на практике.
    Я задался вопросом, как должна определяться идеальная цена опциона. И пришел к парадоксальному выводу: теоретически ее вообще невозможно определить. (Поэтому, кстати, мне так близко все то, что Талеб пишет об опционах.)

    Дело в том, что цена опциона всегда связана с прогнозом будущих значений цен. Прогноз — это вероятностное распределение значений цены (здесь, кстати говоря, статистика не нужна — только теория вероятностей). Дальше от функции распределения, умноженной на множитель (x-spot), берется интеграл от spot до бесконечности — короче, ничего сложного. Дело в том, однако, что цена опциона как раз не должна содержать в себе прогноза, а именно, по ценам опционов не должно быть возможно определить матожидание распределения, заложенное продавцом опциона. Это всегда можно сделать, пользуясь тождествами типа call+put=spot. Сейчас, к сожалению, уже точно не вспомню, как это делается — давно это было, главное, что матожидание, полученное по таким тождествам, должно всегда совпадать с текущей ценой. А это можно сделать только одним способом: матожидание искусственно установить в текущий spot, а дисперсию (ее оценку) оставить как есть. Это в свою очередь тоже можно сделать только одним способом: использовать параметрические распределения, в которых можно произвольно выбирать матожидание и дисперсию. Какое же распределение выбрать? Ну конечно логнормальное — нормальное-то не подходит. Я не думаю, что над выбором кто-то долго думал.

    Но если вы считаете, что логнормальному распределению есть какое-то особое обоснование, я с интересом выслушаю. В Википедии, например, написано, что броуновский характер ценового движения — это одно из ДОПУЩЕНИЙ теории. Иными словами, это ниоткуда не выводится.

    Только что вы, кстати, говорили, что распределение ценовых графиков не имеет ничего общего с нормальным распределением, поэтому нужно страховаться опционами. Но почему же тогда в опционной модели применяется именно логнормальное распределение — это вы как объясните?

    Да, и почему в модели Марковица используется нормальное распределение? Цена ведь не может быть отрицательной. Это ваша ошибка, или Марковица?

    Comment by sturded — 13.06.2017 @ 00:44
  18. @ sturded:
    С управляющими фондами связи действительно нет. Вариантов, что могло пойти не так, море: ученые могли съехать с катушек с годами (большинство так и делают), ученые могли купаться в лучах славы, отдав реальное управление куда менее образованным коллегам, ученых могли пригласить вообще для виде — ведь это очень круто, когда у тебя в компании работает нобелевский лауреат, ученых могли вынудить закрыть глаза на какие-то риски для того, чтобы показать лучшую прибыль, и так далее. Продолжать можно бесконечно.

    Тот факт, что Талеб предсказал что-то, так что не доказывает его автоматической правоты во всём, что он говорит. Опять же, что это был за прогноз? Спрогнозировал ли он хотя бы год, когда крах произойдёт (пусть с погрешностью год-два)? Если нет, то это не прогноз. Предсказывал ли он что-то помимо краха Фэнни Мэй? Если да, то сколько именно его прогнозов сбылись? Я не говорю, что Талеб в чём-то плох — он большой молодец, конечно, но ссылка на одно его предсказание, тем более без специфики, не говорит ни о чём. Более того, аргументы Талеба против портфельной теории выглядят очень неубедительно и больше похожи на то, что это такой пиар самого себя, нежели чем серьезная оппозиция.

    Меня удивило, как вы противопоставляете математику и науку. На мой взгляд как раз таки к математике везде надо стремиться. Чем больше в науке математики, тем она точнее. По крайней мере до сих пор физика и инженерные дисциплины дали куда больше прикладных результатов человечеству, чем науки без применения математики. Причём в любых естественных приложениях математики, будь то физика или экономика, речь всегда идёт о моделях, у каждой из которых есть область применимость. Применяя ваш аргумент можно сказать, что человечеству следует выкинуть Ньютоновскую механику, поскольку уже ясно, что она неверна — Эйнштейн доказал. Вот только в земных условиях Ньютоновская механика работает как часы и даёт простые элегантные решения, а релятивистские эффекты начинают наблюдаться только в космических масштабах. Точно так же и с портфельной теорией — тот факт, что в каких-то ситуациях она даёт сбой не говорит о том, что она в принципе неверна.

    Я о наукообразии ничего не говорил. Наука очень размытый термин — наукой и «feminist studies» сейчас называют. Я говорю о том, что в отличие от многих дисциплин, в экономике и финансах всегда возможно дать очень четкую количествунную оценку. Количество денег — это число. Доходность — это число. Тонны нефти, добываемые в год — это число. В ситуации, когда дисциплина вся целиком окружена очень четкими численными данными, говорить о качественных оценках, отказываясь давать четкие математические выкладки — крайне странно.

    Экономикс я не читал, так же как я не считаю Нобелевскую премию показателем чего-либо. Там сомнительных кандидатов более чем достаточно.

    Строгое обоснование — это когда четко сформулированы предположения и их них строго выведены следствия. Блэк-Шоулз, Марковиц, данная статья этим критериям удовлетворяют. При этом сами предположения в каких-то ситуациях могут быть верны, в каких-то нет. Задача финансиста или ученого, развивающего теорию —
    понять когда эти условия выполняются, а когда нет. Плохо, что тут формулы не рендарятся, но вы тем не менее можете их прочитать, используя какой-нибудь рендерер онлайн. Например, вот этот: mathjax.org — нажмите там на «try a live demo» под «modular input&ouput» и копируйте просто абзацы.

    Цитаты я совершенно не воспринимаю, так что пропущу эту часть. Даже очень авторитетные люди могут ошибаться, примеров тому много. Вот Эйнштейн например не верил, что квантовая механика может оказаться верна. И что?

    Хотя цитата Зиновьева всё таки заслуживает внимания. То что он написал — это бред какой-то. Абстрактное совершенно не противоречит строгому формализму. Почитайте Бурбаков (современные математики скажут, что и Бурбаки не достаточно были абстрактны).

    Про прямую, которая проходит «наиболее высоко», я возможно употребил не очень ясный термин — там выше указано, что рассматриваются только те прямые, которые, пересекают безрисковую ставку.

    Фактические ошибки в ваших статистических рассуждениях вот какие:

    1. Распределение у Блэка-Шоулза используется логнормальное, а не нормальное, потому что постоянной на отрезке времени предполагается доходность в процентах, а не в абсолютной величине. Доходности перемножаются, а не складываются, то есть если вы один раз вложив деньги получили доходность R, второй раз P, то на удвоенном промежутке времени ваша доходность будет уже RP, а не R+P. Логнормальное распледение как раз описывает произведение случайных величин, в отличие от нормального распрделения, которое описывает сумму. Это и есть причина, а не то, что цена не может быть отрицательной.

    2. Статья которую я написал, расчитана на новичков, плюс она показывает альтренативный подход к доказательству того, что доходность коррелирует с риском. Но вообще-то говоря модель Марковица не предполагает нормальности — это не более чем упрощение для новичков. Предположений модель делает много, но нормальности среди них нет — в принципе и из моей статьи человеку понимающему статистику и математику не сложно увидеть, что нормальность легко можно выкинуть (более того, можно выкинуть даже предположение о том, что распределение двухпараметрическое).

    3. Симплекс-метод выглядит так. Система линейных ограничений задаёт n-мерный многогранник (каждое неравенство — грань, каждая переменная — измерение). Изначально мы выбираем случайную вершину этого многогранника. Сравниваем значение целевой функции в этой вершине со значениями целевой функции в смежных вершинах (то есть вершинах, соединенных с текущей ребром). Переходим в вершину с наибольшим/наименьшим значением. Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не окажемся в вершине, в которой значение целевой функции наибольшее/наименьшее среди всех соседей.

    Никаких прямых, которых переносят всё выше и выше, в симплекс-методе нет. Более того, в n-мерном пространстве и не очень ясно, где верх, а где низ.

    Comment by Heller — 14.06.2017 @ 11:12
  19. @ heller

    Верно, что вы не говорили о наукообразии — это я сказал, а не вы. Если бы ваша статья касалась только портфельной теории Марковица, я бы, может, ничего не сказал: ну описали теорию, и ладно. Наверное, не лучшее описание, ну и пусть. Но вы поставили более широкую задачу: доказать научность экономики буквально методами математики, а также затронули тему технарей и гуманитариев.

    Я действительно не считаю математику за науку, потому что она и не является наукой, а является, строго говоря, дедуктивной дисциплиной. Это значит, что основные положения в ней просто постулируются (из соображений очевидности или недоказуемости или еще каких-то), а все остальные положения выводятся из них по правилам вывода. В отличие от математики любая наука принципиально носит индуктивный характер. Это означает, что в ней используется неполная индукция, т.е. переход от частного к общему: ограниченное число рассмотренных случаев распространяется на ВСЕ случаи. Ну, например, Иванов смертен, Петров смертен, Сидоров смертен — «значит», все люди смертны. Слово «значит» взято в кавычки, поскольку это не строгий вывод. Строгий (дедуктивный) вывод был бы такой: все люди смертны, Сократ — человек, следовательно, Сократ смертен. Тут, конечно, тоже можно задаться вопросом, а почему, собственно, такой вывод считается строгим, но это уже другой вопрос.
    Важно здесь то, что дедукцией в науке можно пользоваться только после того, как сформулированы некоторые индуктивные суждения. Мы не знаем, что все люди смертны, но мы пользуемся этим «постулатом», пока не доказано обратное. Причем, пока это не доказано именно практикой, а не теорией. Интересно, что строго доказать постулаты невозможно, поскольку невозможно рассмотреть все возможные случаи. Мы неявно предполагаем, что мир не меняется, что законы остаются постоянными.

    Понятно, что нужно предъявить к научным теориям какие-то требования. Потому что если мы пользуемся нестрогими выводами, откуда тогда известно, что мы занимаемся наукой, а не гадаем на кофейной гуще, например. И такие требования есть. Например, есть критерий Поппера о верифицируемости и фальсифицируемости (проверке и опровержении) научных теорий: теория должна делать утверждения о реальности, проверяемые в опыте, если она хочет считаться научной. Интересно, что это критерий научности, а не истинности теории. Отсюда также автоматически следует, что ни одна теория не может быть окончательно доказанной (неполная индукция), а вот опровергнутой — да, может. Поэтому критерий Поппера часто называется критерием фальсифицируемости Поппера. Научная теория только считается истинной, пока ее не опровергли.

    Конечно, есть и недостатки у такого критерия: гадалка тоже может делать предсказания о реальности, проверяемые практикой, но это не значит, что она обладает какой-то научной теорией. Что означает, что критерий Поппера на самом деле является необходимым условием (а не критерием) научности теории.

    С другой стороны, факт, который не вписывается в теорию, далеко не всегда ее опровергает. Например, Талеб приводит такой пример (хотя и не в таком ключе): до какого-то времени европейцам не был известен черный лебедь, пока не была открыта Австралия. Факт налицо: черный лебедь существует. Что с этим можно сделать? Можно сказать: по определению лебедь — это белая птица, поэтому данная черная птица не является лебедем. Теория не опровергнута.

    Кстати говоря, в вашем учебнике по логике встречается парадокс воронов — вещь отдаленно напоминающая этот «парадокс лебедя» и вообще критерий Поппера, так что и о критерии Поппера вы по идее должны были бы слышать.

    Теперь, как я и думал, вы начали говорить, что «ученые могли съехать с катушек», «ученые могли купаться в лучах славы» и т.д., и т.п. Иными словами, вы клоните к тому, что экономические теории не могут быть проверены практикой или вообще к практике отношения не имеют. Ну не совсем так, скорее вы имеете в виду, что теория могла быть неправильно применена или вообще не использовалась. Но тогда непонятно, когда и в какой момент эта теория была проверена как научная теория, может ли она принципиально быть проверена, и т.д. Ведь те критерии, которые предлагаете вы (присутствие математики) — это даже не смешно: математика — это наилучший способ замаскировать ненаучную теорию под научную. Главное побольше непонятных формул, в которых, по словам автора, разбираются только специалисты (вы такого не говорили, конечно).

    Но даже если формулы понятны и выводы понятны, те допущения, из которых они выводятся, могут быть ложными. И вот здесь и начинается наука. Вы сделали предположение, сделали из него вывод: предложили эксперимент по проверке. Если эксперимент дал отрицательный результат, значит, предположение было не верным.

    То, чем вы занимаетесь — это, строго говоря, не экономика, а финансовая математика. Это больше похоже на правила какой-нибудь игры, типа шашек или покера, или любой другой. Ну дали вам правила — вы по ним придумали оптимальную стратегию (пользуясь теорией игр, например), ну и ладно. Самое интересное, какое отношение эта игра имеет к реальности. А к реальности она привязана с помощью всевозможных допущений. И вот здесь-то уже и начинается экономика, которая должна выяснить, насколько верны эти допущения. И понятно, что экономические законы от «правил игры» зависеть не могут.
    Марковиц, например, исходит из постоянства корреляций. Талеб напротив говорит: где вы на практике видели неизменные корреляции?

    Талеб действительно поступил как ученый: он сделал прогноз — прогноз сбылся. Можно, конечно, выдвинуть ему претензии — те же самые, что и гадалке, делающей предсказания. В том числе, как на счет тех прогнозов, которые не сбылись. Но эти претензии нужно направить не столько Талебу, сколько самому критерию Поппера. Талеб обосновывает свои прогнозы и торгует по своей системе. Конечно, со сроками проблемы, о чем сам Талеб говорит: никогда не известно, когда хрупкое «бомбанет». Можно к тому времени успеть «истечь кровью» на опционах. Но тут проблема уже в применимости критерия Поппера к гуманитарным наукам вообще: если мы можем что-то предсказать, мы можем попытаться и изменить положение дел, тем самым влияя и на свой прогноз. И наоборот, есть такая вещь как самосбывающиеся прогнозы.

    Вы, кстати говоря, можете также возразить, что к экономике критерий Поппера вообще неприменим (типа, теории и не должны проверяться практикой). И здесь я даже могу с вами согласиться, поскольку многие гуманитарии так и считают. Но тогда и применение всех остальных «экономических» методов в экономике плохо обосновано.

    Почему так? Например, потому, что повторяемость эксперимента возможна только в мертвой природе. Ну поместили предмет в определенные условия, провели эксперимент — он дал какой-то результат. Повторили несколько раз, собрали статистику — получили физический закон. Но дело в том, что к человеку ничего подобное неприменимо. Человек может по-разному вести себя в одних и тех же условиях, потому что на протяжении жизни он не остается тождественным даже самому себе. А главным образом, потому что обладает сознанием и памятью, некоторой степенью непредсказуемости. С другой стороны в человеческих обществах очень редко удается создать одни и те же условия, поэтому и исторический метод тоже не применим.

    Тут, конечно, встает вопрос, что же делать, и какие методы применять. Разные гуманитарии предлагают разные методы. Зиновьев, например, предлагает использовать метод гегелевской диалектики, когда объект изучения (человеческое общество) не выводится из аксиом, как в математике, а априори существует, и нужно попытаться его описать диалектическим методом. Я этот метод не очень хорошо понимаю, но могу сказать, что метод «восхождения» от абстрактного к конкретному — это не бред, а термин из философии Гегеля. Я знаю, многие считают Гегеля шарлатаном, в том числе и Шопенгауэр. А поскольку вы читали Шопенгауэра, наверняка и вы считаете Гегеля шарлатаном. Т.е. бред остается бредом. Но тем не менее, метод этот применяется. Интересный факт, кстати: у известного математика 19-го века Вейерштрассе (если я не путаю его с другим математиком) висел в кабинете портрет Гегеля, а снизу табличка с надписью: «Попрошу хотя бы здесь не ругать Гегеля».

    Другой метод предлагает фон Мизес (тот, который из Австрийской школы) — метод априоризма — построение на базе каузального генетического метода своеобразных логических конструкций, которые не могут быть опровергнуты опытным путем. Опять же не могу сказать, в чем этот метод заключается, но здесь фон Мизес созвучен Зиновьеву, который тоже говорит, что все выводится из законов логики, но сами законы логики ни откуда не выводятся.
    Вообще, главный метод фон Мизеса — праксиология: в основу кладется достаточно очевидное предположение, что любой человек стремится к достижению своих целей, пусть и не всегда оптимальными методами (допускает ошибки). Иными словами, человек стремится к своим целям осознанно. И поэтому невозможно сбрасывать со счетов его сознание.
    Этим фон Мизес выгодно отличается от других современных экономистов, считающих, что человек — это автомат: у него есть входные воздействия, выходные сигналы, переходная функция и т.д. Да и не только современных. Адам Смит с Рикардо, например, считали, что капиталист может регулировать «поголовье» рабочих с помощью уровня зарплаты, т.е. рабочие приравниваются в их теориях к бессознательному рабочему скоту: чем больше им денег платят, тем больше они едят, интенсивнее размножаются и т.д.

    Фон Мизес больше всего известен, как яркий критик социализма по причине невозможности экономического расчета. И вот здесь как раз можно плавно перейти к качественным оценкам. Дело в том, что многие экономисты, участвовавшие в построении социализма, очень быстро пришли к выводу, что экономический расчет невозможен. Среди таких экономистов, например, советский математик Канторович. Фон Мизес и других математиков приводит в пример, но я их навскидку не вспомню.

    Невозможен он по простой причине: если в условиях военного времени еще можно предсказать, сколько нужно хлеба, одежды и жилья на душу населения, то чем богаче становится общество, тем большее значение обретают нематериальные потребности (не имеющие непосредственного отношения к выживанию). А вот их спрогнозировать, а тем более централизованно запланировать их удовлетворение уже невозможно. И вывод отсюда только один: не нужно пытаться делать то, что сделать невозможно. Нужно юридически организовать свободный рынок и позволить рынку самому устанавливать справедливые цены.

    Подытожу свой пост цитатой из Талеба (а то и так уже много получилось):
    «Чикагские брокеры всего лишь реагируют на спрос и предложение в погоне за длинным долларом, и теорема Гирсанова нужна им точно так же, как торговцу фисташками на дамасском базаре нужно умение решать уравнения общего равновесия с целью установить цену на свой товар».

    1. Ок, это действительно интересно. В свое время я не нашел нормальной книги, где бы объяснялось, почему опционы именно такие, какие они есть. В книге Саймона Вайна «Опционы» просто рассказывается, какие они есть и какие бывают. А почему — можно только догадываться. Книга явно рассчитана на дураков, причем, не с целью сделать их умнее, а с целью просто заставить их освоить эти инструменты. Там очень много воды: книга на 300 страниц, но каждая мысль растягивается на несколько страниц, книга загромождена какими-то таблицами, что делает ее практически нечитаемой. Лучше бы автор потратил первые 10-15 страниц на изложение дифференциального исчисления (а там и нужны только производные и интегралы по одной переменной), а дальше написал бы просто коротенькие формулы для всех греческих букв.
    Впрочем, сейчас я по-моему уже сам рассуждаю, как хрупкодел.

    2. Ок. Замечу только, что под риском часто подразумевают совсем другое: это произведение возможных убытков на их вероятность. Аналогично и доходность — это произведение возможной прибыли на ее вероятность. Уже только путаница в терминологии делает эту теорию трудной для понимания.

    Формулы отрендерить я уже попробовал, но дело в том, что разные интерпретаторы по-разному их интерпретируют. Некоторые съедают значок &, некоторые оставляют. Причем, непонятно, что он должен означать. Лучше я потом найду где-нибудь авторское изложение теории с самого начала.

    3. А почему, по-вашему, мы должны перебирать только вершины, а другие точки не должны трогать? В том-то и дело, что вы не знаете, как этот метод доказывается. А доказывается он очень просто.

    Во-первых, каждое линейное неравенство делит плоскость (или в общем случае пространство) на две полуплоскости (полупространства), разделенные прямой линией (плоскостью). Точки, удовлетворяющие неравенству, находятся только в одной такой полуплоскости-полупространстве.

    Несколько неравенств вместе с осями координат задают некоторую область — область допустимых решений, в которой только и могут находится решения задачи линейного программирования. Причем, что интересно, эта область всегда выпукла, потому что неравенства объединены в систему, т.е. в одну конъюнкцию. Это может быть не очень очевидно, но если вы попытаетесь получить вогнутую область, вам придется использовать дизъюнкцию.

    Во-вторых, есть целевая функция — линейная как правило. А это значит, что некоторые прямые линии (или плоскости в общем случае) являются ее «эквипотенциальными» линиями или поверхностями. Это термин из физики, но важно понимать, что он значит: это значит, что на всей такой прямой функция принимает одно и то же значение. Например, если целевая функция имеет вид f(x,y)=ax+by, то зафиксировав f(x,y)=const, получим уравнение прямой линии const=ax+by. Во всех точках (x,y) этой прямой верно f(x,y)=const.

    Пусть есть две константы A и B, где A0, то из A<B следует, что прямая B=ax+by лежит всюду выше прямой A=ax+by.

    Целевую функцию нужно максимизировать, а значит, нужно поднимать "эквипотенциальную" прямую все выше и выше, но при условии, чтобы на ней оставались общие точки с областью допустимых решений. Понятно, что прямую линию можно поднимать до тех пор, пока она не будет пересекать многоугольник в одной из его вершин. Либо она совпадет с одной из его сторон. Но в любом случае, искомое решение всегда можно найти в одной из вершин. Поэтому, как только метод доказан, про "эквипотенциальные" прямые и поверхности забывают и просто перебирают все возможные вершины.

    Я говорю, поднимать выше и выше — имеется в виду, все дальше от начала координат. На самом деле, принято вычислять вектор-градиент к прямой/плоскости и передвигать прямую/плоскость в направлении этого вектора. Но на мой взгляд, это явное излишество — как раз пример наукообразия. Дело в том, что вектор-градиент указывает направление, в котором целевая функция растет быстрее всего. Но вот как раз скорость в данном случае роли и не играет — важно лишь двигаться в нужном направлении, а их всего-то два по сути: можно или поднимать прямую (параллельно самой себе), или опускать ее.

    Кстати, раз уж речь зашла о линейном программировании, хочу особо обратить ваше внимание на яркий пример технарского мышления. Известно, что Марковиц работал вместе с Джорджем Данцингом — одним из основоположников линейного программирования и в частности одним из авторов симплекс-метода (а у задачи линейного программирования есть и другие методы решения — метод эллипсоидов, например). И его портфельная теория как раз и основана на этом симплекс-методе. Отсюда возникает подозрение, что, работай он с какими-нибудь другими вещами, например, с производственной функцией или с межотраслевым балансом или с чем угодно еще, его теория имела бы другой вид.

    Это характерно для технарского мышления: освоить какой-то метод, а затем начать применять его везде и всюду, где ему есть место, и где ему места нет. Как если бы один из инструментов хирурга, например, скальпель, вдруг "сошел с ума" и начал бы резать все подряд. Просто потому, что он МОГ бы это делать. Для меня наиболее ярким примером технарского мышления является фраза, которую я вычитал однажды у Кнута: "Искусство программирования — умение писать программы на языках, которые для этого не предназначены". Я тогда, конечно, был еще зеленый и, возможно, принял эту фразу слишком близко к сердцу (как руководство к действию). На самом деле, конечно, это верх идиотизма: для решения каждой задачи нужно подбирать наиболее подходящий инструмент — для этого человеку и дан разум. И искусство заключается в выборе такого инструмента. Например, некоторые задачи проще решать геометрически, а некоторые — наоборот, аналитически. Талеб, в частности, вместо портфельной теории предлагает использовать критерий Келли.

    Comment by sturded — 14.06.2017 @ 20:10
  20. @ sturded:
    Обоим методам подхода к науке, которые вы упомянули, математика удовлетворяет лучше любой другой науки. Нужна проверка математической теории? Их сколько угодно: куча алгоритмов работают, математические предсказания в физике — работают. Повторяемость? Безусловно: доказательства все доступны в литературе, бери да повторяй выкладку рассуджений, вот и доказательство. Каузальность? Конечно: вся математика — это как вы сказали дедуктивная дисциплина, всё каузально связано.

    С Чёрным лебедем очень плохой пример, потому что это пример не утверждения, которое то ли опровергнули, то ли нет, а изначально нечетко данного определения. Если бы биологи изначально сказали что-то типа «лебедь — это птица на двух ногах белого цвета и т.д. и т. п.», то тогда найденный в Австралии черный лебедь лебедем бы ни был потому что он не подпадает под определение. Если бы изначально в определении «лебедя» не говорилось о цвете, но выдвигалась гипотеза, что животное, обладающее данным набором свойств, в которые не входит цвет, неминуемо должно быть белого цвета (например в силу генетических особенностей) — то тогда это было бы действительно опровержением гипотезы. Но это была бы именно гипотеза, а не научный факт, потому что вряд ли бы кто-то утверждал: «Птица с данным набором свойств белой быть не может» (разве что только генетики). Утверждали бы: «До сих пор встречались лишь белые птицы с такими характеристиками». Конечно, на уровне разговоров могли бы говорить «все лебеди белые», но не надо путать вольность речи с реальными научными утрверждениями или лингвистическими соглашениями — это разные вещи.

    Пример с черными воронами такой же — не более чем лингвистическая игра. Кстати, я не думаю, что мой учебник стоит читать — я его писал давно, я сейчас всё написал бы по-другому. Я его не удаляю из общего доступа только потому что он оказался зачем-то очень популярным.

    Вообще ваше противопоставление науки и математики не верно. Вы правы, что современная математика — это дедуктивная игра по определенным правилам (правда я бы не стал сравнивать её с покером — покер не обладает описательной мощью, чтобы описывать реальный мир, так же покер не позволяет вводить новые концептуальные понятия в своём языке). Но к такой форме математика пришла в ходе исторического развития. Долгое время вся математика представляла собой лишь набор разнозненных слабо связанных друг с другом фактов. Потом был Евклид, который навёл порядок в геометрии (причём что интересно, но не использовал при этом чисел), затем уже появились множества, логика, Бурбаки и математика уже приобрела совсем другой вид.

    То есть математика пришла к нынешнему своему виду не потому что она сама по природе такая. Она пришла к этому в ходе развития. То же самое произошло с физикой — некогда это был набор разрозненных фактов, в основном «качественных», даже без измерений, иногда — эмпирических. Потом выяснилось благодаря Ньютону, что многие законы физики, ранее качественные и эмпирические, эффективно выводятся чисто математически из всего навсего трёх законов. Сегодняшняя физика уже практически неотличима от математики — стандартная модель и ОТО так вообще аксиоматические системы. И всё это замечательно работает — чисто математически из физических аксиом были выведены и гравитационные волны, и черные дыры, и квантовая телепортация и куча всего.

    Экономика сейчас находится на стадии физики до Ньютона и математики до Евклида, но я не вижу причин, по которым экономика не может стать столь же строгой наукой как физика с математикой. Пока до этого далеко, но именно ребята типа Марковица ведут науку к этому, и на мой взгляд это очень хорошо. Вы же отрицаете сам такой подход, хотя он себя уже многократно хорошо зарекомендовал.

    Вот давайте посмотрим на такое «качественное» рассуждение:

    1. Люди в основном хотят владеть более прибыльными активами (очевидное легко проверяемое предположение; доходность можно не определять строго — мы рассуждаем качественно).
    2. Люди в основном хотят владеть менее рискованными активами (очевидное легко проверяемое предположение; риск тоже можно не определять строго — все имеют эмпирическое представление о том что это такое).
    3. Если у актива X соотношение риска и доходности хуже, чем у актива Y, то люди будут продавать X и покупать Y.
    4. Из-за того, что актив X в основном хотят продавать, его цена будет падать, следовательно доходность расти. А актива Y, поскольку его покупают, будет расти цена, следовательно падать доходность.
    5. Рост цены Y и соответственно падение цены X будет продолжаться до тех пор, пока их соотвеношение доходности и риска не будет примерно одинаковым.
    6. Обобщая, получаем, что соотношение риска и доходности для любых активов в основном будет одним и тем же, по крайней мере рынок будет стремиться к этому равновесию.
    7. Если предположить, что значительная часть крупных игроков на рынке (хотя бы институциональных инвесторов) действует рационально, то у них у всех будет плюс-минус один и тот же портфель, по крайней мере если не по конкретным активам, то по качественному составу. Значит, примерно именно в такой пропорции распределится и капитализация активов.

    Приведённое рассуждение — это, как вы понимаете, не что иное как модель Марковица, только изложенная «качественно». Причём почти все пункты легко проверяются эмпирически да и не вызывают сомнения исходя из здравого смысла, а какие пункты — прямое логическое следствие. Такое рассуждение — это то, что вы предлагаете, рассуждение, лишенное математической составляющей. Именно таким образом оперируют все ученые от экономики, отрицающие чисто математический подход и ссылающиеся на философов.

    Что с рассудением выше сделал Марковиц? Он просто наделил точным смыслом каждое используемое выше слово и доказал логические переходы. Благодаря Марковцу стало понятно, что в этих рассуджениях «доходность» — это на самом деле «превышение доходности над безрисковой ставкой», «риск» — это «среднеквадратичное отклонение», а «отношение» — это именно деление, а не что-либо ещё. Благодаря именно работе Марковца рассуждение выше стало возможно критиковать как-то обоснованно. Его рассуждения показывают, что предположений, оказывается, надо сделать намного больше, чем кажется при «качетсвенном анализе», а если этот прогноз ошибается, то теперь можно точно сказать насколько именно он ошибается. При «качественном» анализе этого сделать было бы невозможно.

    В этой ситуации кажется удивительным, что так много людей, вместо того, чтобы подхватить подход и использовать вожность работать с экономикой и финансами строго, начинают вместо этого любое несоответствие с моделью воспринимать как аргумент к тому, чтобы вообще отказаться от математики в экономике. Это всё равно, что если бы физики отказались от законов Ньютона, когда поняли, что на тело на земле действует ещё трение о воздух и сила Кориолиса.

    По поводу Блэка-Шоулза можете посмотреть на доказательство у Буренина в книге «Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические и погодные производные». Книга не то чтобы для особо умных написана, но по крайней мере Блэк-Шоулз там выводится, хотя особо не обсуждается.

    Доказательство того, что симплекс-метод работает, я знаю (вернее, когда я его читал), но оно отличается от вашего. Чисто интуитивно ваше рассуждение конечно коректно, но я не думаю, что его будет очень легко провести полностью строго. Фактически ваше доказательство требует, что каким бы ни был многогранник в пространстве R^n, любую гиперплоскость можно сдвинуть в пространстве так, что многогранник будте целиком лежать в полупространстве относительно этой плоскости, а именно вершина — в гиперплоскости. Звучит легко, но не уверен, что так же легко это формально показать.

    Доказательство, которое знаю я, сводится к тому, что в любой точке внутри многогранника всегда возможно улучшить значение целевой функции. Следовательно, оптимум может достигаться лишь на какой-то грани. Для грани можно показать, что какую бы точку грани не взять, найдётся точка на ребре, где значение будет не хуже. Ну а на ребре уже целевая функция изменяется линейно, что доказывает, что максимум достигается в вершине.

    Про мышление технарей, которое заставляет их применять любую самую сложную математику ко всему что попадётся под руку вы правы. Но опять же на мой взгляд это исключительно хорошо — заранее ведь нельзя знать где именно метод «выстрелит» и даст какой-то результат. Вся наука до сих пор так развивалась. По крайней мере та наука, результатами которой все пользуются каждый день.

    Comment by Heller — 16.06.2017 @ 14:44
  21. Что-то мне не удается донести до вас простую мысль. Сначала вы обвиняете технарей в том, что они ничего не знают о гуманитарном стиле мышления. Но как только речь заходит о гуманитариях, вы начинаете обвинять их в том, что они мыслят не так, как технари. Иными словами, технари виноваты в том, что они не гуманитарии, а гуманитарии виноваты в том, что они не технари. Вы как будто не видите здесь противоречия. И зачем же тогда нужны были гуманитарные науки, если бы в них можно было применять технические методы?

    На самом деле, гуманитарии в лице первых позитивистов, а в частности Конта, уже однажды попытались «примазаться» к техническим наукам и воспользоваться их успехом. Конт в частности объявил социологию социальной физикой и пожелал в будущем использовать в ней те же методы, что и в физике. Чем это закончилось, известно. Сначала появился Маркс, объявивший человека просто рабочей силой, которая, по его мнению, только работает на благо общества (в едином порыве) и не задает вопросов. Здесь уместно процитировать Зиновьева (просто не смогу объяснить лучше него) : «представьте себе кирпичи с сознанием и волей, со способностью перемещаться, менять форму и размеры, уничтожаться и порождать новые кирпичи, со стремлением пробиться в верхние этажи здания и вытеснять другие кирпичи… Как такой дом будет выглядеть в реальности? А марксистский проект нового общества подобен проекту дома с неподвижными кирпичами, эквивалентом которых в обществе являются не реальные, а абстрактно мыслимые индивиды.»

    Ну а закончилось все постпозитивистом Поппером, который уже прямым текстом заявил, что философия — не наука (а первые позитивисты считали философию разновидностью науки) и тем самым отрекся от позитивизма. Сделал он это после того, как его критерий Поппера попытались применить к его же критерию, из-за чего возникало противоречие. Поппер же является автором «Открытого общества и его врагов», а также критиком марксизма.

    Я, конечно, немного спрямляю историю философии, а также социологии и экономики (тем более, что не очень хорошо ее знаю), но этот пример демонстрирует, что вектор развития экономики направлен совсем в другую сторону.

    Тут, конечно, тоже может возникнуть вопрос: что же тогда там экономисты постоянно вычисляют? Ведь сам этот факт невозможно отрицать, тем более, что известные экономисты (цитированные ранее) его подтверждают. Но тут надо понимать, что вся современная экономика находится в «струе» маржинализма — это когда все равно, что считать, главное считать (по принципу заткнись и вычисляй). Сам маржинализм вырос из теории предельной полезности Бем-Баверка, в которой Бем-Баверк попытался «преодолеть» Маркса с его марксизмом. Насколько у него это получилось можете опять-таки прочитать у Усова (в очередной раз вас к нему отправляю) — по сравнению с Марксом это вообще детский сад. Так что это направление скорее всего тупиковое.

    Я не то что бы противопоставляю науку и математику — я просто говорю, что наука и математика — это не одно и то же. А главное, наука не сводится к математике — она должна как бы укореняться в практике. Потому что без математики как раз можно обойтись, а вот без практики — никак.

    На самом деле, я вас хорошо понимаю. Я и сам в душе считаю себя теоретиком и люблю потеоретизировать на разные темы. И на самом деле отсутствие хорошей экономической теории — это не аргумент против теорий вообще, а только против плохих теорий. Как говорится, нет ничего практичнее хорошей теории. Претензии к Марковицу (согласно Талебу) таковы, что он подбирает допущения, удобные для его метода, а не метод, согласующийся с реальностью.

    Теория Марковица довольно сложная, но я все же придумал простой способ пояснить эту мысль. Во-первых, я не зря обратил внимание, что Марковиц зачем-то смешал понятия риска и волатильности. Вообще говоря, у трейдеров принято ограничивать потери, а не какую-то мифическую волатильность (они обычно ставят stop loss и take profit). Так что о точности понятий здесь как раз речь не идет.

    Во-вторых, я начну сначала, а именно с того, что еще раз сформулирую задачу оптимизации портфеля, а именно:

    d1*x^2+d2*y^2->min
    m1*x+m2*y=m
    x+y=1,

    где m1,m2 — матожидания двух активов, d1,d2 — дисперсии этих активов.

    Это стандартная задача квадратичной оптимизации при линейных ограничениях, взятая из википедии («Портфельная теория Марковица»). Здесь всего два актива, а безрисковый актив отсутствует. Причем, считаем, что активы не коррелированы друг с другом (например, это могут быть ставки на независимые события), поэтому дисперсия суммы активов равна сумме их дисперсий.

    Первое, что бросается в глаза — это условие x+y=1: оно здесь явно лишнее, поскольку вместе с предыдущим условием оно дает систему из двух уравнений и двух неизвестных, из которой x и y находятся однозначно, если только решение системы существует — тут и оптимизировать попросту нечего.
    На самом деле, на сколько я понимаю Марковица, он предлагал сделать следующее (http://assetallocation.ru/portfolio-selection/): нужно задать произвольное значение m — тогда на прямой m1*x+m2*y=m будут находиться только такие точки (x;y), что доходность (или матожидание) будет равна m. Далее в уравнении эллипса d1*x^2+d2*y^2=const начинаем увеличивать константу const, пока эллипс не коснется данной прямой в некоторой конкретной точке (x;y). Это и будет точка минимального риска при заданной доходности m. Варьируя параметр m, будем получать каждый раз разные точки касания прямой и эллипса, которые вместе сложатся в эффективную границу. Остается только найти пересечение этой границы с уравнением x+y=1, которое задает множество достижимых портфелей. Точка пересечения будет точкой минимального риска, при условии лучшего отношения риска к доходности и из достижимого множества портфелей. Так и будем решать эту задачу.

    Тут я должен заметить, что матожидание актива и его дисперсия обычно связаны, а не произвольны. Например, если опять провести аналогию с букмекерской конторой, то можно вспомнить, что у распределения Бернулли матожидание и дисперсия зависят от параметра распределения p, т.е. попросту от вероятности события. Поскольку они зависят от общего параметра, то они не являются независимыми.
    Но и в общем случае высокая доходность как правило связана и с высокой волатильностью. И наоборот, безрисковый актив — это «скучная наличка», неспособная дать хоть какой-то доход, как и потерять его. Ненулевая доходность при нулевом риске — это как правило какая-то арбитражная сделка — довольно редкий зверь на рынке (эффективном).

    Таким образом, пусть в нашей задаче один актив очень низкодоходный, но и очень низковолатильный. А второй актив наоборот высокодоходный и высоковолатильный:

    m1=1
    d1=1
    m2=100
    d2=100

    Тогда можно записать

    x^2+100*y^2->min
    x+100*y=m
    x+y=1,

    Уравнение границы имеет вид y=99x/200 (довольно просто доказать), для удобства будем считать y=x/2. Тогда, решая его в системе с x+y=1, получим x=0.666, y=0.333. Как видно, по Марковицу в высокорисковый актив нужно вложить примерно треть начального капитала.

    В то же время здравый смысл подсказывает, что при таких дисперсиях 95% капитала нужно поместить в скучную наличку, а 5% — в высокорисковый актив. Потому что если вложить лишь 5% капитала в рисковый актив, то в случае победы он все равно может принести прибыль в несколько раз больше начального капитала. Если же вложить 30% капитала в рисковый актив, то в случае поражения можно потерять 30% своего капитала. Вот это и есть пример качественного рассуждения.

    По поводу физики — коли вы ее все время поминаете, то пора бы мне уже как-то это прокомментировать. С другой стороны, судя по вашим словам, вы явно находитесь в счастливом неведении относительно ситуации в физике. Поэтому даже как-то не хочется лишать вас невинности в этом вопросе (простите за быть может грубоватое сравнение). В любом случае, относитесь к моему мнению просто как к мнению.

    Вы верно говорите, что сегодняшняя физика уже практически неотличима от математики — стандартная модель и ОТО так вообще аксиоматические системы. Да только выводы из этого почему-то делаете неверные. Большинство современных альтернативщиков считают, что физика в глубочайшем кризисе. И как раз благодаря тому, что она потеряла какую-либо связь с реальностью, что она базируется на постулатах, т.е. свободно выдвигаемых утверждениях (термин Эйнштейна), что теории не имеют физического смысла, а часто и вовсе внутренне противоречивы, как теория относительности, например. Вы «Конец науки» Хоргана читали, например? Эта книга написана еще в 90-х годах 20-го века.

    Я говорю об альтернативщиках, потому что только их мнение в данном вопросе имеет хоть какое-то значение — им нет нужды петь дифирамбы самим себе, как это делают «официальные» физики (типа Пенроуза и Хокинга), которые кормятся от государственной кормушки.

    Практические достижения физики тоже весьма сомнительны. Вы говорите, чисто математически из физических аксиом были выведены и гравитационные волны, и черные дыры, и квантовая телепортация и куча всего. Верно, да только ничего из этого практикой еще не было обнаружено. Это просто сказки для школьников.
    Гравитационные волны никто до сих пор не обнаружил, как и черные дыры. Тут надо сказать, есть разница между использованием теории и ее проверкой. Согласно ОТО должны существовать черные дыры, а также черная материя и черная энергия. На самом деле, это лишь гипотезы ad hoc, выдвинутые, чтобы «спасти» данную теорию от опровержения фактами. Если наблюдения расходятся с теоретическими предсказаниями, быстренько стряпается «теория», будто где-то рядом существует космическое тело, являющееся причинами подобного отклонения. Причем, эти гипотезы ad hoc высшей степени спекулятивны: 99% материи является темной, но при этом никто ее до сих пор почему-то не встречал на практике. Аналогично, никто никогда не летал на ракете и не проверял, есть ли черная дыра там, где она должна быть. Черная дыра — это и вообще такая вещь, которая поглощает всю информацию о себе. Почти как кантовская вещь в себе. Т.е. она «по определению» не обнаружима в опыте. Если физика постулирует существование подобных объектов, то она фактически порывает с принципами научного позитивизма (с тем же критерием Поппера, например) и превращается в метафизику.

    Исключение составляет квантовая телепортация, которую вроде как уже проверили в опыте. Но тут истинное объяснение этого опыта может быть настолько простым, что его даже как-то неловко озвучивать вслух. Потому что это просто позор для физики…

    Релятивисты любят приписывать себе заслугу в создании ядерной бомбы. Фактически, это единственное практическое достижение где проявила себя теория относительности. (Есть, правда, еще поправки на спутниках GPS, но это как-то маловато для такой фундаментальной теории, претендующей на теорию всего.) А тем временем Германия создавала свою бомбу без релятивистских теорий (все релятивисты эмигрировали в США). И не успела ее закончить, поскольку потерпела поражение в войне. СССР спер бомбу у США с помощью шпионажа. Ну а в США в Манхэттенском проекте релятивистов очень быстро отстранили от разработок, предоставив им малозначительную роль консультантов. (Эйнштейн был одним из нескольких тысяч консультантов.)

    Сейчас, конечно, строятся огромные коллайдеры — в это вбухивается огромное количество денег (налогоплательщиков). Но выхлоп от всего этого нулевой, если не отрицательный (коллайдеры не производят энергию, лишь потребляют). Здесь очень уместно процитировать Ацюковского: «если есть новые идеи, то они дешевые — их сначала собирают на коленке, методом палки и паяльника».

    Можно, конечно, задаться вопросом, как физика дошла до такого состояния. Дело здесь во вмешательстве политики в науку. Потому что, начиная примерно с великой французской революции общественное мнение нужно было изменить кардинальным образом, заменив религиозное мировоззрение научным. А физика всегда считалась авангардом науки (вспомните Конта, который хотел социологию «скроить» по физическим «лекалам»). Поэтому быть «официально» физиком — это скорее почетная должность, чем профессия.
    Однако культ из профессии физика первым начал творить все-таки именно Эйнштейн. Он как раз не был физиком по существу, поскольку его основной профессией была политика. Поскольку он был сионистом, ему приходилось разъезжать по всяким дипломатическим встречам и по большому счету только играть роль физика и гения. За это сионисты 10 лет лоббировали ему Нобелевскую премию. Лоббировали-лоббировали и наконец вылоббировали. Ее действительно вручили, но только за фотоэффект. Интересно, что Эйнштейн со своей женой Марич начали делить эту премию задолго до ее вручения (даже в бракоразводном договоре она каким-то образом профигурировала еще до того, как была вручена).

    Поскольку Эйнштейн был почетным членкором академии наук СССР, можно догадаться, что и в СССР с физикой сложилась в точности та же ситуация. Можете почитать, например, у Мухина, как академики Ландау, Тамм и прочие травили настоящих ученых типа Власова и Черенкова, либо набивались к ним в соавторы. Или, например, почитайте про историю борьбы с теорией относительности. Про то, например, как в СССР ее постановлением партии запретили критиковать. Как можно запретить критиковать НАУЧНУЮ теорию? Это как минимум не по-поппериански. Ну а поскольку все же запретили — понятно, что теория относительности играет в обществе роль не научной теории, а скорее идеологии.

    PS Книжку посмотрю, спасибо.

    Comment by sturded — 21.06.2017 @ 00:52
  22. @ sturded:
    Ваши численные рассуждения о портфеле Марковица совершенно не верны. Во-первых, нет совершенно никакого смысла рассматривать портфельную теорию в случае всего двух активов (не только теорию Марковица, но вообще), по простой причине: для любого уровня ожидаемой доходности портфель восстанавливается однозначно, вне зависимости от риска. Так что ваши рассуждения не имеют смысла.

    Но в любом случае, даже если «оптимизировать» портфель из двух активов, каким образом вы получили x=0.666, y=0.333 — не понимаю. Это противоречит условиям задачи оптимизации, которую вы сформулировали. Выглядит как полный абсурд.

    Я согласен с тем, что корреляция — плохой критерий для оценки риска. Но все выводы теории Марковица остаются неизменными и для многих других мер риска. Например, если под риском называть CVaR, то все выводы теории Марковица повторяются дословно (насчёт VaR не уверен, возможно что-то и поменяется).

    Про физику вы пишете какие-то абсурдные вещи. Если никто не летал к черной дыре, это не значит, что её нет (например, то что земля условно круглая — знали ещё древние греки, причём умудрились примерно прикинуть её размеры, не имея возможности её облететь или хотя бы обплыть/обойти). Наблюдений в электронные телескопы черных дыр — множество. Эти наблюдения воспроизводятся в разных странах регулярно. Гравитационные волны были зафиксированы — первый случай в 2015 году. C тех пор они были зафиксированы ещё минимум дважды. В БАК-е был обнаружен бозон Хиггса. Как вы можете объяснить квантовую телепортацию (или например экспериментальное подтверждение уравнения Белла) — было бы интересно узнать.

    Но в целом вы демонстрируете полоное незнание физики (так же как и выше — портфельной теории). Уж извините за прямоту.

    Тот факт, что значительная часть физики не имеет практических применений сегодня — не значит, что ей не надо заниматься или что она не демонстрирует истину. Результат может быть очень отдалён во времени. Мой любимый пример — формула Эйлера из алгебры (m^phi(n)=1 mod n, (m,n)=1) которую он доказал в XVIII веке, а первое применение нашлось лишь в 1977 — и произвело революцию в мире криптографии. Теория графов, которая опять же во многом разрабатывалась в XVIII и XIX веках, позволяет вам сегодня находить этот блог в Гугле.

    Противопоставление технаря и гуманитария мне совершенно неинтересно на самом деле. Если бы я писал эту статью сегодня, а не 7 лет возможно сформулировал бы по-другому. Но в целом и то и другое сообщество в массе своей — удручающие. Что не значит, что и там и там нет прекрасных образованных людей.

    Вы абсолютно правы, что многие попытки поставить социальные науки на строго математические рельсы не увенчивались успехом. Это однако не значит, что это принципиально невозможно и что все такие попытки неверны. Если вы посмотрите на историю математики, то её восхождение в плане строгости и формальности никак не прослеживалось исторически и такой тенденции никогда не было — напротив, иногда случались совершенно непредвиденные «революции строгости», когда кто-то в значительной степени неожиданно предлагал какой-то новый аппарат формализма, который оказывался очень удачен.

    Comment by Heller — 21.06.2017 @ 14:21

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Оставить комментарий

This work is licensed under GPL - 2009 | Powered by Wordpress using the theme aav1
SEO Powered by Platinum SEO from Techblissonline