В школе всем рассказывают о непрерывных функциях как о функции, график которой можно нарисовать, не отрывая ручки от бумаги. Чуть позже, на первом семестре факультета какой-нибудь инженерной направленности студенту рассказывают о непрерывных функциях уже несколько по-другому, и определение выглядит при этом так:

Функция называется непрерывной в точке , если найдется такая окрестность , что .

Обычно оно правда звучит несколько по-другому. Традиционно то же самое формулируется как-нибудь более абстрактно вроде «для любого эпсион существует дельта, такое что…». Я сформулировал на самом деле то же самое, только сразу же использовал термин окрестности и воспользовался отображением множеств ( — это множество всех точек , где берется из множества ). Это делает определение более простым и интуитивным, а так же более близким к современному топологическому определению.

Смысл данного определения очень прост: чем меньший мы будем рассматривать интервал нашей функции, тем меньше эта функция будет изменяться на этом интервале. В пределе к интервалу нулевой длины это и означает непрерывность. Замечу, что удобно ввести понятие колебания функции на множестве: это разница между максимальным и минимальном значением функции на множестве. Используя такую терминологию мы можем сказать, что функция непрерывна в точке, если при уменьшении интервала, содержащего эту точку, мы можем сократить колебание функции на этом интервале сколь угодно сильно, в пределе до нуля. Обозначать колебание будем так ( — точная верхняя грань, — точная нижняя грань):

Однако это всего навсего непрерывность в точке. Говорят, что функция непрерывна на интервале/отрезке (более общо множестве), если она непрерывна в каждой точке этого множества. В этой заметке я рассмотрю функции, которые не удовлетворяют этому определению, однако которые непрерывны в отдельно взятых точках. Как обычно математикам данную заметку читать нет смысла — рассказываю банальные для математика вещи, которые тем не менее редко известны физикам и инженерам.

В качестве первого примера рассмотрим функцию Дирихле. Ее значение равно единице для рационального аргумента и нулю для иррационального:

Функция Дирихле разрывна в каждой точке, так как какой бы мы интервал не взяли, он будет состоять как из рациональных, так и из иррациональных точек, и соответственно колебание функции на любом интервале будет от нуля до единицы. (Кстати, в качестве не сложного упражнения попробуйте доказать, что функция Дирихле может быть так же записана как )

Ее можно использовать для построения такого примера:

Эта функция будет уже непрерывна в точке , однако разрывна во всех остальных, что происходит как раз за счет того, что умножение на фактически сжимает функцию Дирихле в окрестности нуля. Колебание выглядит следующим образом:

Понятно, что если мы устремим «дельту» к нулю, то и колебание так же устремится к нулю.

Рассмотрим теперь еще более изысканный пример (ниже я предполагаю, что и взаимопросты):

Прежде чем читать дальше, попробуйте сами догадаться как будет вести себя функция и где она будет непрерывна, а где разрывна. (Не читайте дальше, пока не подумаете!)

Случай рациональных точек очень прост. В любой окрестности рациональной точки найдется иррациональная точка, и поэтому колебание функции как минимум будет составлять (ноль в иррациональной и в рассматриваемой рациональной). Стало быть во всех рациональных точках функция разрывна.

Чуть сложнее обстоит дело с иррациональными точками. Рассмотрим какую-нибудь конкретную точку и какую-нибудь ее конкретную окрестность (для определенности пусть она будет настолько мала, что в нее не входит ни одно целое число). Колебание функции в этой окрестности будет зависеть только от того, какие рациональные точки в ней содержатся. Заметим, что для любого наперед заданного количество точек вида будет в этой окрестности конечным. Стало быть и общее количество точек со знаменателем будет конечным. Раз так, то мы можем выбрать некоторую другую окрестность такую, что она не будет содержать ни одной точки, знаменатель которой был бы и в этом новом интервале колебание нашей функции так же будет . Поскольку в качестве мы можем взять любое число, то и колебание функции в нашем интервале мы можем сократить сколь угодно сильно, а стало быть в точке (а это произвольная иррациональная точка) наша функция непрерывна.

Все что я написал — вещи в общем-то совершенно контринтуитивные. Приведенные примеры на самом деле ничего совершенно не говорят об устройстве мира (как многие воспринимают математику), а лишь демонстрируют, что математические определения вроде той же непрерывности — лишь формальный инструмент, который вовсе не обязательно согласуется с бытовыми представлениями о понятии, так как во всех приведенных мной случаях уже никакой речи о «нарисовать график не отрывая руки» идти не может. Справедливости ради надо заметить, что и само понятие «непрерывности» не особо интуитивно и даже не особо из физики — просто его так прививают на уроках в школе. Понимание этих формальных моментов весьма полезно для общего развития на мой взгляд. То есть не именно то, что есть вот такие примеры, а конкретно как строится математика и откуда там растут ноги у всяких парадоксов и «странных определений».

Кстати, выше я упоминал, что приведенное мной «стандартное» определение не особо «современное» (утверждение не безупречное, но давайте оставим это так). Приведу заодно «современное»:

Пусть и — топологические пространства. Функция называется непрерывной, если для любого открытого множества его прообраз открыт.

Под топологическим пространством принято считать любое множество, в котором дополнительно заданы подмножества, которые называются открытыми, с дополнительным условием, чтобы объединение любого количества открытых множеств было открытым, а так же чтобы пересечение конечного числа открытых множеств так же было открытым. Заодно открытыми считают пустое множество и само множество, на котором это топологическое пространство определено.

Это определение хорошо тем, что оно позволяет определить понятие непрерывности для очень нетипичных объектов, для которых определить то же самое в терминах эпсилон-дельта просто невозможно. В случае «стандартного» евклидова пространства, открытыми множествами называют обычно такие, у которых для любой точки можно найти окрестность, которая будет полностью принадлежать этому открытому множеству. Например, любой интервал открыт, так как для любого окрестность будет принадлежать , если в качестве взять, например, величину . В случае, если мы рассмотрим отрезок , то он уже открытым являться не будет — мешаются граничные точки и , для которых не получится найти нужную окрестность, так как они лежат на границе. Таким образом очень утрированно для евклидова пространства со стандартной топологией можно сказать, что открытое множество — это множество без границы.

Требование конечности пересечения открытых множеств для того, чтобы результат был открытым, произрастает как раз из соображений совместимости с евклидовыми пространствами. Например, легко проверить равенство — пересечение бесконечного числа открытых множеств само уже открытым являться не будет. Для объединения можно легко доказать, что в евклидовом случае объединение любого числа открытых множеств открыто.

В качестве упражнения предлагаю читателям доказать, что топологическое определение непрерывности для евклидова пространства полностью эквивалентно определению непрерывности на множестве, что я приводил выше. Для этого интуитивно полезно мыслить не в терминах открытых множеств, а именно в терминах окрестностей, кстати. Ну а формально доказательство вообще сводится к простым алгебраическим операциям, главное, нащупать и осознать саму концепцию.

Разыскивая вчера по Интернету ссылки на себя, наткнулся на прекрасный парадокс, который вроде бы как кажется общеизвестным, но я его узнал только вчера. Формулируется так:

Проводится лотерея. Предлагаются два конверта, в которых находятся две суммы денег, причём в одном из конвертов сумма отличается от суммы в другом конверте ровно в два раза. Никакие действия (измерительные и т. п.) совершать с конвертами нельзя. Можно лишь открыть один любой конверт и посчитать в нем деньги, после чего сделать выбор — взять этот конверт или взять другой конверт, чтобы получить большую сумму.

Сколько именно там денег и никакие другие параметры не известны. На первый взгляд от смены выбора конверта ничего не зависит (будем считать, что деньги измеряются вечественной переменной; если там должно быть например обязательно целое число копеек, то в случае нечетной суммы выбор конверта очевиден — это не интересная ситуация). Однако вот что получается, если подойти к вопросу математически:

Пусть в конверте, который мы открыли, содержится денег. Тогда во втором конверте может быть либо денег, либо денег, причем оба эти варианта равновероятны. Тогда посчитаем матожидание количества денег во втором конверте:

А это явно больше, чем в первом конверте.

Понятно, что это бред — такого быть не может потому что не может быть (хотя подобные интуитивные рассуждения в случае с загадкой Монти-Холла приводили к неверному ответу) . Собственно вопрос: где подвох? В следующем абзаце я привожу ответ, поэтому прежде чем переводить взгляд, подумайте сами.

А ответ очень прост. Само понятие матожидания мы можем определить лишь тогда, когда у нас есть некий закон распределения.  В рассуждениях выше мы об этом забыли, и поэтому наш расчет матожидания просто напросто не имеет смысла. Более того, можно легко показать, что на самом деле не существует такого распределения вероятностей, чтобы условные распределения всегда были равны как для , так и для при любом (с учетом симметрии конвертов, то есть , так как для игрока они неразличимы). Это уже другая задача, причем совершенно простая.

Ссылки по теме: Википедия, Двач (дерьмовое место, не ходите туда, но нашел я задачу именно там, так как на меня оттуда ссылались; кстати обсуждение задачи там вполне демонстрирует уровень интеллекта завсегдатаев этой помойки — адекватных высказываний единицы, не смотря на то, что в той же Википедии все разжевано).

У одной знакомой девушки возникли проблемы со сдачей математического анализа (читателя может заинтересовать откуда у меня вдруг знакомые девушки — дело тут в том что она подрабатывает иногда проституткой). Она учится не на математика, а по гуманитарному направлению, так что сложного там у них ничего нет, и вот она попросила меня помочь ей с теорией. Когда я стал ей рассказывать теорию, то с ужасом обнаружил, что она не умеет выполнять арифметические операции над отрицательными числами. То есть 12+34 она знает чему будет равно, а вот что получится в результате 12−34 уже не знает. При этом в институте она учится на четверки и сдает почти без троек.

Собственно такие ее способности в арифметике совершенно никак не говорят о ее собственном интеллектуальном ресурсе, а лишь о степени деградации нашей системы образования. Анализ я ей кстати все же в какой-то мере объяснил на уровне абстрактного языка формул, отображений и касательных. Она вроде как даже разобралась и теперь сможет сдать что ей там надо, так как чисто механически умеет брать производные. Лишь бы задачи с отрицательными числами не попались.

Меня довольно часто спрашивают как начать учить английский. К прошлой заметке тоже задали такой вопрос, я написал ответ в комментарии, но потом решил, что будет более правильно сделать отдельную запись, так как интересно это может оказаться действительно многим. Пусть будет, в общем.

На самом деле мне сложно что-то советовать для новичков, так как я никогда как новичок не учился. В свое время я пытался учить английский самостоятельно по Бонку, меня пытались научить английскому в институте и в школе, но все это не имело никакого на меня воздействия. Потом со временем постепенно само собой, играя в англоязычные компьютерные игры, лазая по англоязычным сайтам и читая короткие технические заметки, я начал более-менее что-то понимать, во всяком случае у меня сформировался какой-никакой словарный запас и минимальное чувство того, как примерно строится предложение в английском, хотя грамматики я и не знал. Ну а дальше уже я попал на курсы сразу на средний уровень.

Тем не менее кое-какие рекомендации я могу все же дать, и главная из них, как я понял со временем, такая: ни в коем случае не следует учиться по русским учебникам, так как это только трата времени. Учебник должен быть английского производства, английского автора и отпечатанный в Англии. Российская школа английского языка просто ужасна, с ней связываться совершенно точно не стоит (есть конечно отдельные исключения, есть даже очень хорошие учителя, но вероятность нарваться на такое исключение очень низка — Бонк в число исключений не входит совершенно точно). Да, и все объяснения грамматики нужно читать только на английском языке, а не на русском (на русском любят проводить всякие дурацкие аналогии и сравнивать английский с русским, что совершенно не правильно).

Из конкретных материалов можно выделить сайт study.ru — мне сложно оценить насколько он подойдет новичку, но вроде не плохой. По крайней мере там как-то разумно разграничивают грамматику по сложности и темам на начальном уровне. Сам же я в свое время учился по учебнику Murphy «English Grammar in Use for intermediate students»* — пожалуй самое лучшее что видел, но это учебник уже для подготовленных. Есть однако точно такой же учебник и для начинающих «Essential Grammar in Use» того же автора, про который сказать уже ничего не могу, но вряд ли окажется совсем плохим. К нему же есть учебники серии «supplementary exercises» с дополнительными упражнениями и «English Vocabulary in Use» (положительных отзывов о нем мало, но мне в голову не приходит никакая альтернатива — это по крайней мере хоть что-то, я привел ссылку на самое элементарное, но можно так же найти и среднего уровня и для продвинутых студентов).

Еще полезно иметь в голове следующие ссылки:
Internet Polyglot — уроки и упражнения для заучивания слов по темам.
AgendaWeb — куча упражнений.
LiveMocha — сообщество людей, изучающих языки. Можно найти друзей-иностранцев или просто людей, изучающих язык, с которыми полезно общаться, хотя сами уроки там более чем дурацкие. Относитесь тем не менее настороженно ко всем заявлением там, так как там полно дегенератов.

Для заучивания слов могу посоветовать делать карточки — кусочки бумаги, на которых с одной стороны пишется английское слово, а на другой его значение. Их можно совершенно ненапряжно просматривать в туалете или за обедом. Времени почти не отнимает, а эффект хороший (в отличие от классического способа закрывать рукой русский перевод в самодельном словаре). Часто рекомендуют так же читать адаптированные книги — выглядит вообще хорошо, хотя я ни разу не пробовал. Для себя я предпочитаю всякие форумы и развлекательные сайты вроде NewGrounds — там простая лексика, довольно живой и в то же время простой язык. На идиомы (устойчивые выражения типа «on cloud nine», что в русском звучит как «на седьмом небе от счастья») лучше наплевать и не заучивать их, но особое внимание уделить фразовым глаголам (конструкции вида глагол + предлог типа «put on», «take off» и «get out»).

Но самое главное — заниматься регулярно конечно. Чаще всего люди, открывающие учебник Murphy, сразу изучают несколько глав и делают все упражнения, после чего выясняется, что упражнения закончились, а в голове каша. Правильнее поэтому особо не торопиться, а изучать английский постепенно, растягивая каждый урок дня на три. Лучше заниматься понемногу каждый день, чем заниматься усердно и целенаправленно, но раз в две недели. Полезно составить себе какое-то четкое расписание (я, например, каждое воскресенье смотрю по фильму на английском, если конечно не иду в этот день митинговать).

Ну вот пожалуй это и все, что я могу порекомендовать. Оговорюсь, что я излагаю лишь свое субъективное мнение основанное на личном опыте, однако я знаю множество людей, которые не согласятся с моими советами, но которые тем не менее сами уже прошли путь изучения английского и владеют им очень хорошо. У каждого должен быть свой успешный подход, который надо найти, поэтому не относитесь к моим рекомендациям как к догмам, а пробуйте разное.

UPD: Загляните так же в комментарии, там тоже приводят дополнительные полезные ссылки.

* Я ставлю ссылки на Ozon, так как сам закупаюсь именно там по привычке. Однако мне уже говорили, что он вроде бы очень дорогой и выбор небольшой, так что вы прежде чем затариваться книгами, поищите в окрестных магазинах.

Current music: Дельфин — Без нас

Есть такой вредный миф советского образования о том, что дескать в английском языке на точность употребления артиклей и времен никто не смотрит, и сами американцы с англичанами их употребляют как придется. Корни этого заблуждения лежат конечно же исключительно в очень низком уровне советской подготовки по английскому языку, а не в каких-то реальных иностранцах, которые плюют на собственные правила. А многие элементы иностранной речи русский человек и подавно не в состоянии расслышать в английском без специальной подготовки, поэтому большая часть наших людей при просмотре фильмов на английском и общении даже и не услышит, что там где-то закралось «a» между словами.

Вообще тема артиклей поднялась в прошлой заметке, где в комментариях measure_0 высказал как раз ту давнишнюю советскую гипотезу о необязательности правил связанных с артиклями в английском. В связи с этим мне вспомнился интересный достаточно пример, которым в свое время заделился со мной мой преподаватель-американец:

— We stayed at the Foobar hotel.

— Why didn’t you choose [a/the] cheaper hotel?

Здесь употребление артикля «a» имеет ожидаемый смысл «Почему вы выбрали такой дорогой отель, а не более дешевый?». Если же сказать «the cheaper hotel», то будет ясно, что более дешевый отель в городе только один, и собеседник остановился чуть ли не в самой зловонной дыре. Таким образом неправильное употребление артикля резко меняет нейтральную вполне фразу на оскорбление (в живом разговоре конечно все еще будет зависеть от интонации, которая в английском гораздо более важна чем в русском).

Пример конечно вырожденный, но даже в случаях, когда разночтения не получится, неверное употребление артикля жутко режет ухо. Многие русские, имеющие богатую разговорную практику, но слабую грамматическую подготовку, часто в беглой речи употребляют артикли совершенно хаотично, вплоть до абсурдных конструкций вроде «I like an apples», что звучит примерно как «секаса очена не хватает насяльника». Все понятно, разночтения невозможны, но самому так говорить не хочется.

Я к сожалению не помню деталей, но тот же учитель рассказывал про какой-то шпионский американский фильм, где была как раз использована игра на незнании русскими людьми артиклей (как говорят, это в основном славянская черта). В фильме какой-то из наших засланных шпионов имел очень правильное произношение и отличную грамматику, но вот только постоянно путал артикли, и поэтому всем зрителям в кинозале было сразу понятно, что он на самом деле уже раскрыт, хотя сам об этом не догадывается, и это только потому что лишь русские так безбожно игнорируют артикли. Учитель называл мне что это был за фильм и рекомендовал к просмотру, но я не запомнил, к сожалению.

Хотя так же возможно, что он просто таким образом провоцировал меня на то, чтобы я вдвойне внимательно отнесся к этой теме. В любом случае как бы там ни было, с тех пор как я изучил под его руководством артикли (на это было потрачен где-то месяц серьезных тренировок), я начал внимательно вслушиваться в иностранную речь дабы найти хоть одну ошибку. Как ни старался — не нашел. Зато русские эмигранты, даже уже совсем ассимилированные и говорящие на русском с американским акцентом и имеющие всякие дипломы, артикли путают совершенно безбожно и действительно определяются на раз.

Current Music: 2К — Тем кто