Математика и секс
Сентябрь 14th, 2010

О зацепленных кольцах

Попросили объяснить решение задачи про зацепленные кольца. Задача как вы увидите на самом деле крайне элементарная и вообще не требует раздумий. Для начала для удобства сформулирую ее еще раз:

Вот есть у нас в трехмерном пространстве два кольца, которые зацеплены так, что их нельзя разъединить. Можно ли их разъединить, если мы перейдем в четырехмерное пространство?

В трехмерном пространстве кольцо задается неким множеством точек $latex \{x, y, z\}$. Для понимания решения нам даже не обязательно знать как именно это множество устроено, но для определенности можно считать, например, что множества точек задаются как $latex \{\cos \phi, \sin \phi — {r \over 2}, 0\}$ и $latex \{0, \cos \phi + {r \over 2}, \sin \phi\}$.

Какое-либо движение кольца в пространстве описывается непрерывным изменением координат этого кольца. По-хорошему что такое это «непрерывное» надо описывать строго и формально, но мы не будем. Достаточно понимать, что при таком изменении не меняется расстояние между точками кольца, и при том если мы описываем движение во времени, то всегда можно выбрать такой маленький отрезок времени, что сдвиг точек кольца не будет превышать какой-либо произвольной наперед заданной величины.

Например, если обозначить время за $latex t$, и двигать первое кольцо по прямой вдоль оси $latex x$, то тогда положение точек кольца можно описать так: $latex \{cos \phi + t, \sin \phi — {r \over 2}, 0\}$.

Тот факт, что мы с помощью какого-то движения разъединили кольца, можно описать как то, что мы отвели кольца на достаточно большое расстояние друг от друга, где уже явно никакого зацепления быть не может. Если например в описанном выше прямолинейном движении за $latex t$ принять величину $latex 100r$, то это кольцо явно не будет зацеплено со вторым кольцом.

Важно однако понимать, что при движении таких двух колец в физическом мире, нам не удастся их разъединить, потому что при разведении их на достаточно большое расстояние неминуемо какие точки двух колец совпадут, то есть эти кольца пересекутся, что недопустимо. То есть при любом движении найдутся такие числа $latex \alpha, \beta, \gamma, \delta, t_o$, что будут выполнится равенство $latex (\cos \alpha + t_0, \sin \beta — {r \over 2}, 0) = (0, \cos \gamma + {r \over 2}, \sin \delta)$ (уравнение в векторном виде, то есть равенство должно выполняться покоординатно). Строго математически доказать, что это действительно всегда так, вообще-то не просто, но однако можно поверить что это так просто из физических соображений. Над строгим доказательством я рекомендую подумать читателю самому. Нас же в этой заметке интересует лишь возможность разведения этих колец в четырехмерном пространстве.

Переход в четвертое измерение выражается в добавлении к координатам точек четвертой координаты. Тогда наши кольца можно описать следующим образом: $latex \{\cos \phi, \sin \phi — {r \over 2}, 0, 0\}$ и $latex \{0, \cos \phi + {r \over 2}, \sin \phi, 0\}$. Четвертую координату мы мы могли бы на самом деле задать произвольно, лишь бы она совпадала для обоих колец, так как оба они лежат в одном трехмерном пространстве и сдвига между ними по четвертой координате быть не должно.

Теперь уже в общем-то понятно как описать движение колец. Изменяя вначале четвертую координату первого кольца мы можем отвести его на какое-то расстояние: $latex \{\cos \phi, \sin \phi — {r \over 2}, 0, d\}$. Теперь как бы мы не двигали первое кольцо в направлении первых трех координат, два наших кольца никогда не пересекутся, так как у них всегда будет отличаться последняя координата. После того как в первых трех координатах вы отведем кольцо на довольно большое расстояние, его можно опять вернуть в плоскость с нулевой четвертой координатой. В итоге мы разъединили два кольца, ни разу не получив пересечения. полное движение выглядит так:

$latex \{\cos \phi, \sin \phi — {r \over 2}, 0, 0\} \\ \to \{\cos \phi, \sin \phi — {r \over 2}, 0, d\} \\ \to \{\cos \phi + 100r, \sin \phi — {r \over 2}, 0, d\} \\ \to \{\cos \phi + 100r, \sin \phi — {r \over 2}, 0, 0\}$

Обратите внимание, что ровно таким же способом можно развести без пересечения вообще любые две трехмерные фигуры в четырехмерном пространстве, как бы они ни были зацеплены.

20 Комментариев »

  1. Эта задача вызывает затруднение только из-за того, что условие плохо сформулировано. Что такое трехмерное кольцо в четырехмерном пространстве? Что значит разъединить кольца в четырехмерном пространстве?

    Если были бы четкие условия, то результат стал бы очевиден. Пусть есть два кольца в обычном трехмерном пространстве. Теперь добавим четвертое измерение, интуитивно понимаемое как время. Пусть одно кольцо лежит в векторном подпространстве, где t = 0, а второй в каком-нибудь афинном подпространстве, где t = c, так чтобы проекции этих колец на R^3 давали
    сцепленные кольца. Тем не менее, очевидно что их можно как угодно двигать внутри их подпространств, в том числе и так, чтобы их проекции на R^3 давали раъединенные кольца.

    Comment by measure_0 — 14.09.2010 @ 15:26
  2. measure_0, ну я не согласен. Что такое кольцо в R^3 — понятно. Логично предположить, что при переходе в R^4 мы получим нечто изометрическое кольцу в R^3 (как правильнее назвать такое отображение? — в любом случае интуитивно все равно понятно). Тут вариантов не так много.

    Собственно именно так часто и формулируются задачи, что в листках НМУ, что в учебниках. Именно это задача — из учебника «Геометрия» Прасолова и Тихомирова.

    Comment by Хеллер — 14.09.2010 @ 15:35
  3. Трехмерное кольцо это пространство с топологической размерностью 3, а не 1 (или 2, если это 2-тор), каким оно является в задаче.

    Это плохо, что в листках используются задачи, где используются размытые определения или вообще вещи неопределенные.

    Comment by measure_0 — 14.09.2010 @ 16:03
  4. То есть, если бы я первый раз пришел в НМУ, то стал бы гуглить что такое многомерное кольцо. Наткнулся бы на определение тора, а потом долго пытался бы представить трехмерный тор в четырехмерном пространстве.

    Comment by measure_0 — 14.09.2010 @ 16:07
  5. measure_0, в задаче же не скажано «трехмерное кольцо». Там «в трехмерном пространстве два кольца». Вряд ли кто-то из начинающих начнет думать о трехмерных многообразиях в R^4.

    Comment by Хеллер — 14.09.2010 @ 16:11
  6. Тем не менее гуглил бы я именно по словам «четырехмерное» кольцо. Да и не только я, думаю :)
    Непонятно, опять же, как происходит переход в четырехмерное пространство.
    Понятно, что для опытного человека все это очевидно. Но для freshman’а это сущий ад, хотя если было бы сформулированно строго, то наверняка большинство бы решило.

    Comment by measure_0 — 14.09.2010 @ 16:19
  7. «долго пытался бы представить трехмерный тор в четырехмерном пространстве.»
    Same shit.

    Comment by Siddhattha — 14.09.2010 @ 18:12
  8. Какие трехмерные торы? Сказано же было: задачка очень простая, т.е. обычные окружности. Понятно, что одну можно без пересечений непрерыво увести сначала в четвертое измерение, там двигать куда угодно, а потом опять вернуть в подространство с нулевой четвертой координатой.

    Comment by Zhido — 14.09.2010 @ 18:21
  9. Вот наглядно: http://www.youtube.com/watch?v=GhBoY6s-Fhw

    Comment by Zhido — 14.09.2010 @ 20:18
  10. Ну наверно надо разобраться в понятии зацелены. Если в нем разобраться, то и решать ничего не надо (возможно я и не прав). Похожие задачи мы рашали, если мне не изменяет память, с помощью аппарата матриц (например, как могут пересикаться плоскости(гиперплоскости) в 4 мерном пространстве и т.д.)

    Comment by Здоровье — 14.09.2010 @ 22:01
  11. Вообще-то в книжке Прасолова так. В пр-ве R^3 расположены 2 зацепленные окр-ти. Пр-во R^3 помещено в R^4. Можно ли перемещать одну окр-ть так, чтобы ни в какой момент окр-ти не пересекались, а в конце окр-ти были бы расцеплены в R^3

    Comment by Сергей — 15.09.2010 @ 22:38
  12. Сергей,
    Так гораздо лучше.

    Comment by measure_0 — 15.09.2010 @ 22:41
  13. Роман хотел наверно упростить условие задачи для колхозников или сделать задачку какбэ элегантнее. Но вышло-то наоборот. Отсюда профит: не насилуй условия задач.

    Comment by Сергей — 16.09.2010 @ 11:47
  14. Сергей, я не хотел упростить. Я писал как сам его запомнил.

    Comment by Хеллер — 16.09.2010 @ 14:19
  15. Вообще в той книге есть и более содержательные задачи. Странно, что тебя именно эта привлекла.

    Comment by Сергей — 16.09.2010 @ 15:03
  16. Сергей, она интересна тем, что она крайне простая, но в то же время сильно на понимание. Плюс, страшная формулировка при элементарной подоплеке. На мой взгляд как раз то что нужно для приходящего в первый раз в НМУ.

    Comment by Хеллер — 16.09.2010 @ 15:07
  17. Жалко, что в НМУ нет заочного отделения. Для меня.

    Comment by Bro — 29.04.2011 @ 14:42
  18. @ Bro:
    Никто не мешает учиться самостоятельно, а если надо сдавать потом только в сессию.

    Comment by Хеллер — 29.04.2011 @ 14:45
  19. Задачки понравились. Компания понравилась.Я не из престольной.Завидую.

    Comment by Bro — 30.04.2011 @ 08:46
  20. […] Для тех, кому интересно: обсуждение этой задачи имеется по ссылке: http://heller.ru/blog/2010/09/3d-rings/ […]

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Оставить комментарий

This work is licensed under GPL - 2009 | Powered by Wordpress using the theme aav1
SEO Powered by Platinum SEO from Techblissonline