Математика и секс
Март 20th, 2011

Большой шар в маленьком

Вот вам загадка: как можно разместить шар большего радиуса  в шаре меньшего радиуса?

Понятно, что в евклидовом пространстве этого сделать не получится — речь идет о том, чтобы построить такое метрическое пространство, в котором такое вложение возможно, ну и соответственно привести пример таких шаров.

Эту задачку выискал в «Элементарной топологии» Виро, Нецветаева, Иванова и Харламова. Задачка совершенно бесхитростная, но позабавила. Книжку кстати тоже рекомендую — она оказалась совсем для начинающих, но изложение хорошее, интересующимся математикой будет полезно почитать. Что примечательно — вполне подойдет даже для людей с минимальной подготовкой, хотя для них я бы начинал с «Наглядной топологии» Болтянского. А потом уже к этой переходил.

13 комментариев »

  1. В пространстве {0, 1} с метрикой из R шар (0.5, 0.6) содержит шар (0, 0.7).

    Comment by Namekj — 20.03.2011 @ 18:35
  2. @ Namekj:
    Не очень вижу каким образом. Либо не очень понимаю обозначения. Хотя идея в общем-то близко.

    Comment by Хеллер — 20.03.2011 @ 18:50
  3. можно и в евклидовом, достаточно лишь взять шар радиуса r в 100500-мерном пространстве. тогда проблемы вообще нет)

    Comment by kagaminator — 20.03.2011 @ 18:50
  4. @ kagaminator:
    Не уловил юмора.

    Comment by Хеллер — 20.03.2011 @ 18:52
  5. ну взять 100-мерный шар маленького радиуса. в него можно вписать трёхмерный шар большого радиуса.

    Comment by kagaminator — 20.03.2011 @ 18:58
  6. Берём граф с метрикой, равной кратчайшему расстоянию между вершинами. Граф из 3х вершин, с рёбрами (в одну из них из двух других) весов 2 и 3 соответственно. Тогда шар радиуса 3 в центральной вершине будет содержать шар радиуса 4 в той вершине, которая имеет ребро веса 2.
    Графически — 1-(2)-2-(3)-3. В скобках — веса рёбер. Шар (2, 3) содержит шар (1, 4).

    Comment by NoNamed — 20.03.2011 @ 19:07
  7. @ kagaminator:
    Все равно шар большей размерности вылезет за край шара меньшей — чтобы это увидеть, можно рассмотреть ограничение этого всего на плоскость, в которой содержится шар меньшей размерности.

    Кстати, в курсе топологии этого семестра мне привили привычку называть шары, размерности меньшей, чем размерность пространства — дисками. Не уверен насколько это стандартный подход, но Прасолов и Сосинский выражаются именно так.

    Comment by Хеллер — 20.03.2011 @ 19:11
  8. Ia do konza ne ponial oboznacheniy Namekj’a, no dumaiu on tozhe samoe chto i ia hotel skazat.
    Berem standartnuiu metriku iz R i ostavliaem 3 tochki {1; 2; 3}
    Shar B1 s zentrom v tochke 3 i radiusom 1,5 soderzhit tochki {2; 3}
    Shar B2 s zentrom v tochke 2 i radiusom 1,1 soderzhit tochki {1; 2; 3}
    sledovatelno B1 iavliaetsia podmnozhestvom B2.
    Dovolno zhilnicheskiy priem.
    Proshu proshenia za latinizu

    Comment by Дима — 20.03.2011 @ 19:18
  9. @ NoNamed:
    Да, решение именно такое. Ну либо можно сказать более общо: надо, чтобы само пространство являлось шаром некоторого радиуса. Тогда шар большего радиуса (но не больше, чем удвоенный радиус пространства) будет просто содержаться целиком в нашем пространстве, при этом не совпадая с ним.

    Так же можно поступить, если взять произвольный шар радиуса r в пространстве R^n и рассматривать его как пространство. Тогда шары радиуса меньше, чем 2r, будут содержаться в нем (то что там вылезает за границы нам не важно — мы эти точки выкинули). Это как я понимаю как раз то, что пытался сделать Namekj.

    Comment by Хеллер — 20.03.2011 @ 19:21
  10. Кажется, уже в любом нормированном пространстве такой конструкции уже не существует.

    Comment by Дементий — 21.03.2011 @ 01:19
  11. @ Дементий:
    Похоже на то, хотя если строить векторное пространство над произвольным полем, я уже в этом не уверен, но каких-то конкретных соображений по этому поводу не имею, увы.

    Comment by Хеллер — 21.03.2011 @ 10:19
  12. @ Дементий:
    Хотя вообще вы правы. Я почему-то не подумал сразу, что нормируемыми являются только пространства над полями нулевой характеристики. Ну а в этом случае да, такой пары шаров не найдется, довольно вроде очевидно, хотя строгие выкладки проводить лень.

    Comment by Хеллер — 21.03.2011 @ 12:42
  13. @ Роман

    > Все равно шар большей размерности вылезет за край шара меньшей

    *голосом пролетария* Так его надо вчетверо свернуть и делов!!

    Comment by Pavel Shved — 22.03.2011 @ 00:09

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Оставить комментарий

This work is licensed under GPL - 2009 | Powered by Wordpress using the theme aav1
SEO Powered by Platinum SEO from Techblissonline