Математика и секс
Июль 16th, 2012

О мозге и математике

Эта заметка как бы о математике, но написана на самом деле для всех. Так что даже если вы к математике вообще не склонны — читайте.

Мы уже очень давно спорим с measure_0 (вернее не то чтобы спорим — скорее иногда возвращаемся к вопросу и расходимся во взглядах) о необходимости изучения математики среднему человеку.

Взгляды measure_0 кратко можно охарактеризовать так:

— для занятий математикой не у всех есть способности, и заниматься ей стоит только тем, кто к ней склонен;

— не любой человек мотивирован к занятию математикой и это никак не изменишь, да и не нужно;

— вообще занятия математикой большинству и не нужны, ибо пользы не принесут.

Если я где-то не так донес позицию measure_0, прошу его меня простить, но в общем-то дело и не конкретно в measure_0 — это на самом деле общее мнение.

Я с этими тремя пунктами категорически не согласен. Моя позиция полностью противоположна: математикой может заниматься каждый, каждому она может оказаться интересной и каждому она будет полезна. Далее в заметке я постараюсь подвести какую-то более-менее логическую базу под это свое утверждение. Дополнительно скажу, что в общем-то заметку можно трактовать и более широко: почти везде, где я говорю о математике, можно подразумевать любую естественную науку, хотя математика, как наиболее чистая наука, тут подходит лучше всего.

Позиция моя основана на трех базовых тезисах:

— математика действительно способна развивать мышление;

— что такое математика средний гражданин не имеет ни малейшего представления, а мотивация заниматься ей убивается социумом искусственно, хотя на самом деле интересна она может оказаться каждому;

— не существует никаких «математических способностей» или «технического склада ума» — математика доступна абсолютно каждому.

Начну с первого. Обычно считается, что человек либо умный, либо глупый, либо у него гуманитарный склад ума, либо технический, и ничего особо с этим не поделать, да и не нужно. Мол, мозг не мышца, чтобы его накачать. Это является заблуждением: существуют например такие явления как нейропластичность и нейрорегенерация. Если кратко, то в статьях, на которые я привел ссылки, описывают два явления: изменение структуры головного мозга во время всей жизнедеятельности человека и адаптацию его под решаемые задачи, а так же процесс роста новых нервных клеток (да, то что «нервные клетки не восстанавливаются» — это миф). О том как именно нейропластичность работает в процессе определенных деятельностей человека можно прочитать например в статье про медитацию или про связь нейропластичности и деятельности человека.

Ну это так, небольшое научное обоснование того, что развитие мозга все же возможно. Не так просто и не так гарантированно, как развитие мышцы, но определенно возможно. Аргумент этот хоть и аргумент, но не особо убедительный: развитие мозга все равно не гарантировано, а какого-то результата можно ожидать лишь в сравнительно долгосрочной перспективе пары-тройки лет.

Чтобы увидеть развитие в перспективе краткосрочной, что более привлекательно большинству, надо рассмотреть как вообще происходит процесс мышления. Это сложная тема, которую так просто не изложишь, да и я не особо компетентен в ней, но можно однако довольно легко выделить ряд базовых логических приемов, которыми мозг оперирует ежедневно.

Как один пример можно привести метод доказательства от противного. Помню, я смотрел передачу, где все ратовали за возврат смертной казни. Было жутко скучно, потому что все сводилось либо к соображениям банальной мести, либо к аргументам необходимости борьбы с преступностью. И одна баба такая говорит: «У нас преступность огромная! Нам надо вводить смертную казнь, чтобы боялись!» Правозащитник отвечает: «Статистические исследования показывают, что введение смертной казни не сокращает уровня преступности, а преступник почти никогда не верит или не думает о наказании». А баба ему и отвечает: «Но ведь у нас такая большая преступность! Надо с этим что-то делать! Как же тут без смертной казни?»

Любой математик знает, что если доказано, что из A следует B, и так же доказано, что B неверно, то и A не может быть верно (иначе в силу следствия было бы верно и B). Рассуждения в таком формальном виде почти ни у кого наверное не вызовут сомнений, хоть и тут найдутся люди, которые не поймут что я только что написал. Тем не менее даже у многих из тех, кто все же понял суть прошлого предложения, как только мы заменим A на «смертная казнь помогает в предотвращении преступлений», а B на «статистика показывает снижение преступности после введения смертной казни», логику отобьет напрочь и спор для них приобретет смысл не поиска истины, а самоутверждения в собственной вере, основанной на довольно первобытных эмоциях.

Человек же, занимающейся математикой (не головоломками и не решением интегралов, а именно нормальной такой теоретической математикой), принцип «от противного» применяет десять раз в день — этот принцип чувствуется интуитивно и интуитивно же применяется в жизненных ситуациях при оценке каких-то событий и при выборе своей модели поведения.

Подобных примеров можно привести множество. Любой математик привычен к длинным цепочкам следствий: если из A следует B, из B следует C, из C следует E, из E следует F, а F известно что ложно, то и A значит ложно. Или наоборот, если A истинно, то и F истинно. Хотя в действительности никто так формально строго не мыслит — подобные длинные следствия происходят где-то в подсознании уже автоматически, и через какое-то время любой математик вместо длинных выкладок по поводу каких-то формул, начинает писать в статьях и книгах фразы вроде «отсюда очевидно следует, что».

В отличие от математика в голове среднего человека роится куча несвязных фактов: «на фондовой бирже можно заработать денег», «у меня жирная жена», «на фондовой бирже можно заработать много денег», «надо платить по ипотеке», «были люди, которые заработали на фондовой бирже целые состояния», «на бирже выигрыш одного участника — это проигрыш другого», «хочется купить новую машину», «в школе я не отличался способностями», «я не знаю экономики», «меня выперли с прошлого места работы», «я умнее большинства знакомых», «на бирже выигрывают самые умные ребята», «иногда я слишком быстро кончаю», «иногда я слишком долго не могу кончить», «тех денег, что некоторые заработали на бирже, хватило бы не только на машину, но и на квартиру». Эту кашу случайных сведений человек с логическими навыками довольно быстро скомпонует по парам «причина-следствие», что-то отбросит как несущественное, в чем-то увидит противоречия, поймет какие из суждений ложны, и в результате сделает вывод.

Подавляющее большинство на это не способно, и максимум, что они видят в этом длинном списке, это три предложения:  про то что на бирже можно много заработать, про то что хочется новую тачку и про проблемы с эрекцией. Вывод, который они из этого делают, до боли банален: «Надо нести сбережения на биржу». Если вы думаете, что я утрирую, то отнюдь. 95% людей, торгующих на фондовом рынке рассуждают именно такими категориями и не более. Им никогда ничего не добиться просто потому что они в прямом смысле тупые. Даже если они заработают случайно (это возможно, как и в казино), то тут же всё спустят, поскольку даже после того как заработал, логические навыки все равно остаются нужны. Замечу так же, что я нарочито привожу вопиющие примеры тупости, но если вы считаете, что вам подобные промахи не грозят — вы скорее всего ошибаетесь. В более тонких ситуациях вы скорее вероятно наделаете тех же ошибок, что и идиоты с фондового рынка.

Однако как может быть понятно из моих примеров, подобные навыки мышления — это не какая-то врожденная черта человека, этому можно учиться. Это мастерство, которое можно тренировать и оттачивать, а не особенность нервной системы.

Двумя примерами тут конечно не ограничивается, но дальше я не буду рассматривать подробные ситуации — получится слишком затянуто. Лишь кратко обозначу еще полезные мыслительные навыки, которые легко тренируются математикой:

— Умение правильно применять индукцию. Если вы знакомы с тремя калмыками, и ни с одним из них у вас не сложились отношения, то это еще не значит, что все калмыки такие.

— Привычка оперировать точными определениями и понятиями, а не домысливать значения тех терминов, которые вы не знаете. «Я за коммунизм, потому что при Сталине в космос полетели». «Я против демократии, потому что при Горбачеве уже посмотрели что такое демократия». «Я правый, потому что я за спорт и за процветание нашего народа». У математика существуют лишь аксиомы, определения и следствия. Он знает что такое «коммунизм» по определению и в чем заключается его теория, а не то «как было при коммунизме».

— Умение работать одновременно сразу со многими понятиями из разных областей, которые находятся в голове. Например, в заметке «Один прикольный ряд», я для одного только доказательства одновременно использовал сведения из комплексной арифметики, алгебры полиномов, комбинаторики, тригонометрии и анализа. Обычный человек не умеет мыслить так широко: он упрется в один аргумент, который кажется ему наиболее удачным, и не хочет видеть другие. Если он способен перебрать два-три аргумента, то он уже считается умным и его приглашают на всякие программы с Гордоном. Математик же легко отказывается от одних аргументов в пользу других, а так же легко может оперировать совокупностью аргументов. И это опять же касается не только споров, но и выработки каких-то решений просто в обычной жизни.

— Привычка понимать информацию, а не запоминать ее. Поскольку в математике десятки тысяч определений и теорем, запомнить их невозможно, можно только понять. Поэтому процесс усвоения информации как правило резко отличается у математика и нематематика — достаточно хотя бы посмотреть на ту разницу, с которой написаны учебники по математике и по какому-нибудь бухучету. Математик всюду ищет мотивацию для введения какого-либо понятия и старается максимально полно понять природу объекта. Нематематику необходимость этого чаще всего неочевидна, что еще более ограничивает его способности. Это и выражается в стилистике написания учебников: математик всегда точно описывает любое понятие и тут же объясняет базовые, но достаточные свойства, в то время как бухгалеру достаточно, чтобы в тексте какое-то слово было написано жирным шрифтом.

— Понимание богатого математического языка. Многие базовые вещи из анализа или алгебры здорово упрощают жизнь в любой околонаучной области, даже той, которая на первый взгляд не связана со сложной математикой напрямую. В любом учебнике по финансам пару глав отводится такому безусловно важному понятию как дюрация облигации. Математику же для того, чтобы знать о дюрации практически все, достаточно знать, что это производная теоретической цены по процентной ставке. И все, две главы книги оказываются не нужны. Подобные же примеры можно привести и из других областей, если конечно хоть какая-то область знаний вас интересует.

Я перечислил только самые явные и простые для восприятия примеры. Список можно продолжать на самом деле еще достаточно долго: умение обобщать и, напротив, конкретизировать (это важно уметь делать корректно), умение мыслить строго формально, а не опираясь на интуицию,  так как интуиция не работает (посмотрите на парадокс Банаха-Тарского), сюда же можно включить владение теорией игр и теорией вероятностей, которые сами по себе очень хорошо учат принимать решения и корректно мыслить в вероятностных терминах и терминах неопределенности. Здесь везде можно было бы привести подробные и интуитивные примеры, но не будем гнаться за количеством.

Сказанное выше конечно хорошо было бы подтвердить практикой, однако с этим, увы, все получается гораздо сложнее.  Вряд ли кто-то из академических исследователей мозга брал сорокалетнего уголовника и учил его математике, заодно замеряя его умственные способности в течение нескольких лет. Маловероятно, во всяком случае я не смог найти таких научных статей даже среди публикаций британских ученых.

Максимум, что здесь можно привести как какое-то подтверждение практикой — это исторические личности и их роль. Вот некоторое количество наблюдений:

— Значительный процент успешных людей занимались и занимаются математикой. Чтобы это понять достаточно оглянуться вокруг и посмотреть на образование окружающих вас преуспевающих директоров. Бесконечно можно вести список фамилий типа Березовского, Канта, Льюиса Кэрролла, Азии Каррэры, Наполеона, Махно и прочих. Никто из перечисленных не является выдающимся математиком, но тем не менее они ей занимались. Если вы посмотрите просто вокруг себя на успешных людей, то обнаружите подозрительно большое количество математиков (кстати, интересно что среди основы или просто известных участников антифа-движения полно людей, связанных с математикой напрямую либо косвенно).

— Почти всегда позитивные сдвиги в развитии общества поддерживались математиками и другими учеными естественных направлений, но воспринимались в штыки многими из гуманитариев. Не смотря на любовь последних порассуждать о культуре и обществе и их вкладе в развитие. Эмми Нётер именно гуманитарии задавливали в университетах, а математики ее пытались проталкивать вверх, отрицая сексизм. Именно гуманитарии травили Алана Тьюринга, в то время как математикам не мешала гомофобия оценить его работы. Довольно мало математиков, если такие вообще были, выступали на стороне диктаторских или фашистских режимов, зато многие были известными гуманистами.

— Открытые технологии и образовательные программы неизменно связаны с именами математиков и околоматематиков: OpenCourseWare, образовательные проекты вроде Udacity и Coursera, Open Source движение, открытые стандарты, Википедия, открытые бесплатные лекции, даже обычные выложенные lecture notes в Интернете (часто в формате TeX) — все подобные инициативы изначально исходят от людей, занимающихся в той или иной степени математикой. Все остальные представители околонауки тоже принимают в этом участие, но гораздо более скромное, и они скорее подтягиваются за технарями когда инициатива становится известной, а не находятся в авангарде. Если же говорить о чистых гуманитариях или людях с «тонкой душевной организацией», то их деятельность чаще ассоциируется с вопиющей копирастией и цензурой. Не всегда, но частно.

Здесь конечно можно привести контраргумент, что математикой изначально занимаются способные на это люди, и их положением и умением мыслить они математике не обязаны. Возможно это и так, но даже если закрыть глаза на аргументы и примеры о способе мыслить, приведенные мной выше, вряд ли кто-то будет спорить, что если бы Леонард Эйлер вместо занятий математикой пил водку и смотрел сериалы скачанные с торрентов, он вряд ли что-то сумел бы доказать. Зато если бы Вячеслав Дацик читал матанализ и алгебру, а не участвовал в боях без правил, то возможно и не сидел бы сейчас в тюрьме, а был бы каким-нибудь улыбчивым менеджером или банкиром.

Мы постепенно подошли к мотивационной части. К сожалению у меня нет способа мотивировать людей начать заниматься математикой (хотя я честно говоря все же надеюсь кого-то мотивировать этой статьей), но по крайней мере в рамках спора с measure_0 я могу показать почему такая мотивация теоретически возможна и почему в современном мире эта мотивированность у людей отсутствует. Возможно эти рассуждения тоже окажутся полезны и кому-то интересны.

Для начала довольно легко понять, что мотивированность и математические способности не даются человеку от природы, а являются следствием культурного фона. В разное время совершенно разные нации занимали передовое место в математике или занимались ей вообще: когда-то расцвет математики переживала Индия, арабские страны, Германия, Франция, Греция. Сейчас из перечисленных стран только Франция осталась на плаву, а у остальных вся наука скатилась на уровень полугодичных курсов C++, а то и вообще целиком сводится к троекратному вознесению хвалы Аллаху прежде чем войти в супружеское лоно. В то же время сейчас активно, в основном в США, нарождаются очень способные негры-математики, о которых еще лет 50 назад подумать было нельзя — в такую возможность совсем недавно вряд ли верило даже большинство убежденных антирасистов.

То есть то что математические способности и процент людей, занимающихся наукой, связаны с внешними факторами, а не с какими-то генетическими, национальными или прочими врожденными особенностями — несомненно. Влияет здесь и мода, и общее отношение людей к образованию как таковому, и культура, и само преподавание. В современном мире со всем перечисленным дела обстоят очень плохо, что я сейчас попробую показать, не углубляясь особо в детали и конкретные примеры.

Грубо говоря математика представляет из себя некоторое начальное количество аксиом теории множеств (о теории категорий сейчас не говорим) с разрастающимися в разные стороны определениями и следствиями, которые формируют различные взаимосвязанные (ибо имеют общие корни) области математики. Чтобы понять в математике хоть что-то и вообще понять как устроена эта наука, логично двигаться именно в этом направлении — на базе в виде теории множеств строить уже определения и преподавать ученикам различные теории, показывая их взаимосвязь. Довольно глупо рассчитывать, что кто-то поймет что такое «производная функции» не зная что такое «функция».

Вместо этого школа дает ученику лишь две области математики (я не говорю о всяких физ-мат лицеях, где ситуация вроде лучше, но тоже с оговорками): так называемую «алгебру» и так называемую «геометрию».

На уроках так называемой «алгебры» ученики зубрят формулы, а потом на время возле доски подставляют в них цифры. Ни одна теорема, даже самая элементарная, в обычном школьном курсе алгебры сейчас не доказывается. Хорошо, если формулы дают просто зубрить. В нашей же школе вместо этого учителя кидались фразами вроде «это сложно доказывается, такое только всякие профессора понять могут, но вы в это должны просто поверить и запомнить». На вопрос «Зачем?» учитель типично отвечает что-нибудь о том, что математика развивает мышление.

Естественно, что всерьез воспринимать такую учебу невозможно. В сознании формируется миф о какой-то чрезмерной сложности и недоступности математических знаний, а как следствие и недоверие к этой науке. Когда же формулы ученик не доказывает сам, а принимает их на веру, у него возникают справедливые сомнения и в том, что подставляя цифры в формулы, он станет умнее.

Школьные уроки геометрии оказываются еще вреднее чем школьные уроки алгебры. Казалось бы, должно быть наоборот: в геометрии приводятся (даже зубрятся) доказательства теорем, там вроде как объясняется аксиоматический подход. На самом же деле если задуматься, все это не работает.

Во-первых, школьная геометрия тратит совершенно чудовищное количество часов на одну очень узкую область математики — евклидову геометрию в двух- и трех-мерном пространстве, хотя она ни в коем случае не является какой-то особенно важной и нужной. Школьник заучивает сотни сложных теорем планиметрии, но при этом не знает ни о топологии, ни о геометрии Лобачевского, ни о геометрии Римана, ни о проективной геометрии, хотя все перечисленное ничуть не сложнее и ничуть не менее важно, чем геометрия Евклида.

Во-вторых, само изложение следует во многом изложению геометрии самим Евклидом, а он ее излагал более двух тысяч лет назад — это давно. С тех пор математика изменилась кардинально, причем все это время развивалась она по пути постоянного упрощения. Современное строгое изложение многомерной геометрии на деле оказывается на порядок проще, короче и полнее, чем школьное изложение геометрии Евклида. Доказательство формулы Герона (площадь треугольника по трем сторонам) некогда занимало целую брошюру. Современное доказательство занимает пару строчек и действительно элементарно.

В-третьих, в школьной геометрии доказываются лишь самые базовые факты, которые чаще всего очевидны визуально. Когда от ученика требуют доказательства теоремы, которая и так кажется очевидной «на глаз», то ничего кроме скуки и непонимания это не вызывает. В то же время большинство важных и неочевидных теорем не доказываются. Так, даже самая базовая формула «синуса суммы углов» преподносится как нечто, что сложно доказывается и что надо просто запомнить. Ученики остаются в недоумении, если к этому моменту вообще еще продолжают хоть что-то слушать на уроках.

Четвертая проблема математического образования кроется в очень узком обзоре математических тем. В число самых базовых математических направлений, которые по моему убеждению куда важнее геометрии Евклида, я бы отнес основы комбинаторики, теорию множеств, теорию вероятностей. Не плохо было бы включить в базовый курс формальную логику, топологию и графы.

Дело тут не только в том, что я считаю перечисленное более важным нежели геометрию Евклида, а в том, что важно показать ученикам, что математика бывает разной, и при занятиях математикой мозги могут работать совершенно по-разному. Сами математики как правило (за исключением отдельных гениев) копают лишь одну какую-то область математики и не особо способны в остальных. Я знаю несколько профессиональных математиков, которые как и я до сих пор не запомнили таблицу умножения. Я лично сам в математике кое-как справляюсь только в области алгебры, и совершенно невменяем в более геометрических областях. Это не потому что я такой тупой, а потому что такие все — я знаю ребят, которые напротив занимаются только геометрией, или только топологией, или только какими-то конкретными группами. Это нормально. Причем в школьной геометрии многие из них совершенно не преуспевали.

Таким образом получается, что современное образование не дает человеку должного выбора областей науки, в которых он мог бы себя найти, а их между тем существую десятки, и наверняка каждый мог бы что-то для себя выбрать. Если бы в школе формировали реальный научный кругозор, а не пичкали ненужными фактами «для общего развития», то развитие школьников могло бы быть не «общим», а вполне себе осязаемым.

Ну и я уже упоминал, хоть и вскользь, что при преподавании очень важно добиваться полного понимания всех математических понятий, которые используются. В школе, к сожалению, учителя вообще к этому не стремятся. В наших школах люди «решают задачи» по математике у доски на время, что совершенно исключает время подумать — на время можно лишь воспроизводить что-то по памяти, но никак не рассуждать. Для сравнения, я сам над отдельными задачами думал месяцами. Что-то в результате решил, что-то нет, но независимо от результата, даже если я шел по совершенно неправильному пути рассуждений, я получал гораздо больше понимая, нежели чем при ответе у доски, где я максимум запоминал последовательность действий, необходимых для удовлетворения учительницы. Это помимо того, что, как я уже упоминал, многие понятия вообще предлагается принять на веру и просто подставлять числа в формулу.

Если бы система образования строилась с пониманием описанного мной, и имела целью действительно научить чему-то и привить ученикам какую-то интеллектуальность, то мы возможно жили бы уже совершенно в другом общества. Подобные перемены конечно не в наших силах, так что эта моя статья вряд ли будет иметь какой-то серьезный эффект, но по крайней мере может быть она мотивирует кого-то для самостоятельных занятий (как именно заниматься я еще напишу). Каждую мою математическую заметку читает около 2000 человек в сумме, так что если хотя бы процентов 5 я как-то смогу мотивировать, это уже будет не плохо.

100 комментариев »

  1. В конце этой статьи очень органично смотрелся бы список литературы, или онлайн-курсов которые ты бы порекомендовал.

    Comment by Артем — 16.07.2012 @ 14:08
  2. @ Артем:
    Со списком литературы сложно — я совершенно не представляю что хорошего можно рекомендовать на начальном уровне. По продвинутой математике полно хороших книг. По начальной мне такие почти не известны, не истая отдельных вводных узконаправленных брошюрок.

    Comment by Хеллер — 16.07.2012 @ 14:37
  3. «Алгебра» Шеня и Гельфанда для начала, например.
    Она всем нравится.
    «Что такое математика?» Курранта.
    Но это начальный уровень.

    Comment by Vadiboom — 16.07.2012 @ 14:45
  4. @ Vadiboom:
    Но это именно «вводные брошюрки», да.

    Comment by Vadiboom — 16.07.2012 @ 14:46
  5. Все так.

    Comment by Alexey — 16.07.2012 @ 15:12
  6. Интересный пост. Очень хочется теперь прочитать как заниматься математикой.

    Хотя с другой стороны, что останавливает сделать это самому прямо сейчас. Я думаю это тоже часть проблемы, вот это желание самому сесть и начать разбираться, без пинка от Хеллера или кого то еще.

    Со мной такое происходит, но в области программирования, а не математики. Хотя математикой тоже хочется заняться, но почему то нету такой легкости в изучении, навверное потому что нет результата который можно увидеть, пощупать, запустить, поделиться с кем то.

    Comment by Егор — 16.07.2012 @ 15:32
  7. Частично из-за тебя прочел две книги по популярной физике довольно известного паралитика. Особо не помогло, но сейчас в поисках более серьезной литературы по физике.

    Comment by R2xD2 — 16.07.2012 @ 15:43
  8. @ Егор:
    @ R2xD2:
    Я довольно скоро наверное начну писать о математике что-то систематическое и последовательное. Возможно это как-то поможет желающим учиться математике.

    К популярным книжкам я кстати отношусь довольно негативно — это форма массовой культуры, которая лишь повышает продажи журналов типа «популярная механика» или «наука и жизнь», но не дает реальных научных навыков читателям.

    Comment by Хеллер — 16.07.2012 @ 15:54
  9. Во-первых про логику. Наверно, можно научиться выстраивать мысли и логически что-то доказывать и через изучение математики, но, на мой взгляд, это очень неэффективный способ, как носить воду решетом. Например, гораздо быстрее этими навыками можно овладеть, участвуя в форумных дискуссиях и холиварах. Кстати, не так уж редко математики оказываются неспособными к построению длинных рассуждений за пределами математики.
    Ты, в общем, смешиваешь в одну кучу критическое мышление, формальную логику и умение приводить мысли в порядок.

    Во-вторых, абстрактное мышление прекрасно тренеруется и другими способами. Умение распознавать в математике категорные конструкции не сильно отличается о умения применять design patterns в ООП или использовать тимплейты для функционального программирования в C++. У меня же сложилось впечатление (поправь если это не так), что ты считаешь, что у математики монополия на абстракции.

    Тут еще такой момент: все эти абстракции использовать за пределами математики проблематично. Даже если брать теорию категорий, то знание того, что такое «монада» в математике (абстрактная алгебраическая теория) слабо поспособствует пониманию монады в Хаскеле.

    Кстати, в реальной жизни полезнее использовать не индукцию, а статистическое тестирование гипотез и вероятностный анализ.
    То есть, если отношения не сложились с тремя калмыками, то это уже повод задуматься о статистической силе гипотезы о том, что все калмыки такие.

    >>> Математик же легко отказывается от одних аргументов в пользу других, а так же легко может оперировать совокупностью аргументов.
    >>> Если же говорить о чистых гуманитариях или людях с «тонкой душевной организацией», то их деятельность чаще ассоциируется с вопиющей копирастией и цензурой.

    Математики в плане нежелания принимать мнение отличное от их собственного ничем не отличаются от обычных людей. Например, я где-то читал, что Тихонов достаточно долго не мог опубликовать свое доказательство теоремы о произведении компактов из-за того, что его более авторитетные товарищи считали такой результат невозможным. Также, среди выдающихся математиков хватает людей, чьи мысли (за пределами математики) многие считают мракобесием. Шафаревич, к примеру, был антисемитом, а школьная программа по геометрии, от которой все плюются, была во многом обусловлена предпочтениями Понтрягина. Арнольд, при всем его вкладе в математику, нес околесицу про алгебраическое мышление и бурбакизм. Ну и так далее.

    Comment by measure_0 — 16.07.2012 @ 16:19
  10. Ок, спасибо за пару названий. Бегло посмотрел «Алгебру» Гельфанда. Очень похоже на самую стандартную школьную алгебру: класса для девятого: дроби, теорема Виета и т.п. В чем соль?

    Вот «Что такое математика» Курранта выглядит намного веселее. Теоримя множеств, топология, «альтернативные» геометрии.

    Еще интересует пара вопросов:

    1. Заниматься математикой — это как вообще?
    В программирование можно поставить себе некую прикладную задачу — написать там драйвер, или ридер какой-нибудь, или троян. А в математике?

    Доказывать уже доказанные теоремы? Решать задачки?

    2. На западе любят делать красочные диаграммы, схемы и прочую визуализацию. Нет ли такой картинки по математике — какие есть области, как друг от друга зависят, что из чего произошло, где фронтир?

    Можно и в текстовом виде, но в графическом было бы нагляднее.

    Comment by Artem — 16.07.2012 @ 16:46
  11. «где я максимум запоминал последовательность действий, необходимых для удовлетворения учительницы»
    Что не говори Хэллер, а эта фраза была чисто по Фрейду! :)

    Касательно «математики для начинающего», лично из своего не очень богатого опыта могу посоветовать начать с абстрактной алгебры и теории множеств, плюс Шень для теории множеств. Вообще, самый главный навык который я осознал и сейчас пытаюсь развивать, это умение давать четкие определения и мыслить именно подмножествами универсума когда даешь определения. Типа, что такому свойству в таком универсуме (наборе элементов) отвечает такое подмножество. Если свойство А есть подмножество свойства Б то это и есть так называемая «импликация» из Б следует А. Если два свойства определяют одно и то же подмножество, это и есть тогда и только тогда, то бишь эквивалентность свойств. Рисую соответствующие свойствам множества и пытаясь описать элементы в каждом куске пирога, который получается (а-ля диаграммы венна) достигаешь четкой картины происходящего. Ну и конечно функции, которые есть ни что иное как отношение называния. Вообще по этому поводу ОЧЕНЬ еще советую введение к книжке Черча «Введение в математическую логику». В нем особенно важно подчеркнуто то, что является на мой взгляд самым важным для начинающего — умение разделять понятия. В частности, я раньше имел довольно смутное представление о том, что значит «A = B». Это в частности было препятствием при изучении абстрактной алгебры. Когда я допер сам, что это значит «A и B есть два различных имени для одного и того же объекта, целого», для меня это было вспышкой в темноте. Далее, когда читая «Что такое математика?» понимаешь, что «535» это, строго говоря, не само число как оно есть, а лишь особое имя, которое обозначает его некоторым алгебраическим путем (а само «число» есть 535 палочек в куче) — это тоже вспышка — научился отделять обозначение от того что имеется ввиду (как и предыдущий пример). Еще одна вспышка была, когда изучая кардиналы доказываешь, что множество рациональных чисел «равно» по «количеству» множеству натуральных чисел — эта вспышка разделяет в голове понятие «количества» и «величины». Или когда понимаешь, что понятие «предел» черпает свою силу в отношении всюду плотного линейного порядка, а не в «величине». Эти ещи как правило, к сожалению, не объясняются в книжках по математике, скорее всего потому что могут показаться слишком элементарными профессиональным математикам, или может они в силу привычки оперирования этими понятиями никогда даже не задумывались, что такие вещи могут быть проблемами, но вот именно эти невидимые рифы, связанные с необходимостью показывать четко где и как разделяются понятия (моя ярчайшая вспышка — когда разделилось понятие величины и количества) и отнимают больше всего времени и создают, возможно, миф «сложности» и «недоступности» математики. Я бы очень хотел, чтобы кто-нибудь объяснил эти тривиальные вещи мне, и я бы не тратил столько времени догадываясь о них сам.

    Comment by borzy — 16.07.2012 @ 16:59
  12. @ measure_0:
    >>>Ты, в общем, смешиваешь в одну кучу критическое мышление, формальную логику и умение приводить мысли в порядок.

    Это очень тесно переплетенные вещи, и все это присутствует в математике. При доказательстве часто требуется учет многих тонких нюансов — а целостное ли кольцо, а достаточное ли количество раз дифференциируема функция, а используется ли здесь аксиома выбора. Это не напрямую, но таки в какой-то степени критическое мышление. Поиск собственных ошибок в доказательствах чего только значит.

    В то же время довольно сложно найти форум и коллектив там, где холиворы будут вестись хоть по каким-то канонам формальной логики. Я вот таких форумов не знаю — там больше именно что религиозные споры, не более.

    >>>(поправь если это не так), что ты считаешь, что у математики монополия на абстракции.

    Да, это не так. Я писал: «почти везде, где я говорю о математике, можно подразумевать любую естественную науку, хотя математика, как наиболее чистая наука, тут подходит лучше всего». Я не против заменить тут «естественные» на «естественные и инженерные». Просто математика на мой взгляд наиболее насыщенна и глубока. Мы же с тобой оба в свое время согласились, что любой CS — куда примитивнее любой математики. Книги по паттернам я так вообще не умею читать — скучно. Абстракция есть, кому-то полезна, но слишком примитивна.

    >>>Кстати, в реальной жизни полезнее использовать не индукцию, а статистическое тестирование гипотез и вероятностный анализ.

    Это тоже вероятность и тоже математика. Я не говорю в заметке о чистой математики в виде когомологий и категорий. Я не против, если люди будут заниматься теорвером и статстикой (я их ниже упоминал как необходимые в начальном образовании). Но только чтобы ими заниматься математика необходима все же — производная, интеграл и линейная алгебра как минимум.

    >>> Тут еще такой момент: все эти абстракции использовать за пределами математики проблематично.

    C++ и ООП тоже использовать проблематично, если ты не программист. А еще более проблематично использовать темплейты и паттерны, если не зарабатываешь на этом. Рекомендовать для развития мыслительных навыков C++ вместо математики мне кажется странным.

    >>> Математики в плане нежелания принимать мнение отличное от их собственного ничем не отличаются от обычных людей.

    У меня есть гипотеза, что во время занятия математикой развивается некоторое фричество и пофигизм, связанное с принятием жизненной позиции, близкой к позиции Диогена. Во всяком случае сильно на то похоже. То есть у них часто помимо глупой упертости присутствует еще и упоротость, крайний нон-конформизм, ненависть и эксгибиционизм. Это впрочем не влияет на их приятность как людей и интеллектуальнось. То есть я не уверен, что в данном случае их упертость имеет такие простые корни.

    Comment by Хеллер — 16.07.2012 @ 17:03
  13. P.S.: когда я говорил о «пределе», я безусловно имел ввиду предел на R со стандартной топологией — там ведь и топология во многом как раз порядком обусловлена (я имею ввиду базу — открытые интервалы). Вообще предел конечно гораздо шире

    Comment by borzy — 16.07.2012 @ 17:04
  14. >>> Эти ещи как правило, к сожалению, не объясняются в книжках по математике, скорее всего потому что могут показаться слишком элементарными профессиональным математикам

    Объясняются, на самом деле. Ну, то есть, даются же определения, что натуральные числа это конечные множества, а действительные — бесконечные ряды. Что объект и его представление (например, координатное) это разные вещи. Что один и тот же объект можно описывать разными способами (изоморфизм).

    Comment by measure_0 — 16.07.2012 @ 17:05
  15. @measure_0
    согласен, просто возможно было бы веселее, если бы следствия таких определений по-подробней развертывались в «философском» плане. Для начинающего фраза «один и тот же объект можно описывать разными способами (изоморфизм)» — это белый шум, особенно если ты один. Далеко не сразу начинаешь ценить эти определения. Хотя, с другой стороны, возможно это акт посвящения, который необходимо пройти, чтобы стать ниндзей.

    Comment by borzy — 16.07.2012 @ 17:14
  16. @ Хеллер:

    >>> Рекомендовать для развития мыслительных навыков C++ вместо математики мне кажется странным.

    Нет, я не это имел ввиду. Я говорю о том, что практически в любой области этих абстракций полно. То есть, программисту, чтобы научиться формально мыслить, математика и не нужна, ему хватает и паттернов.

    >>> В то же время довольно сложно найти форум и коллектив там, где холиворы будут вестись хоть по каким-то канонам формальной логики.

    Любой MMORPG форум с разделом посвященным оптимизации персонажей, где люди пытаются доказать почему именно их билд круче. На каждом форуме есть некоторое количество адекватных людей, с которыми можно спорить.

    >>> При доказательстве часто требуется учет многих тонких нюансов — а целостное ли кольцо, а достаточное ли количество раз дифференциируема функция, а используется ли здесь аксиома выбора

    Мне казалось, что математики, наоборот, вырабатывают интуицию о математических объектах и тут же забывают о деталях. Думаю, что половина математиков не воспроизведет какие-нибудь редко используемые штуки типа аксиом отделимости в топологии, кроме хаусдорфовой.

    Comment by measure_0 — 16.07.2012 @ 17:27
  17. @ borzy:
    Я не очень уверен, что это возможно как-то нормально и убедительно объяснить. С изоморфизмами должен быть просто опыт и большое количество нетривиальных примеров (типа изоморфности разных представлений геометрии Лобачевского, неизоморфность p-адических чисел с разными основаниями в контраст натуральным числам, изоморфность векторных пространств пространствам случайных величин и т п.)

    Кстати, а где хорошо объясняется

    >>> понятие «предел» черпает свою силу в отношении всюду плотного линейного порядка, а не в «величине»

    Я не очень понимаю этого утверждения, если честно.

    Comment by Хеллер — 16.07.2012 @ 17:29
  18. «>>> понятие «предел» черпает свою силу в отношении всюду плотного линейного порядка, а не в «величине»

    Я не очень понимаю этого утверждения, если честно.»

    Не обращай внимания, это просто мое личное некоторое интуитивное представление навеянное Зоричем. Это я попытался поэтически выразить аксиому полноты.

    Comment by borzy — 16.07.2012 @ 17:38
  19. >>>Любой MMORPG форум с разделом посвященным оптимизации персонажей, где люди пытаются доказать почему именно их билд круче

    Честно говоря это как-то очень слабенько выглядит. Как холиворы на айтишных форумах — там интеллектуальность бесед практически нулевая. Ну и опять же даже если подберется интеллектуальная компания, твои логические ошибки тебе никто не будет объяснять, да и не факт что тебя в интеллектуальную компанию пустят вообще.

    >>>Мне казалось, что математики, наоборот, вырабатывают интуицию о математических объектах и тут же забывают о деталях. Думаю, что половина математиков не воспроизведет какие-нибудь редко используемые штуки типа аксиом отделимости в топологии, кроме хаусдорфовой.

    Ну аксиома выбора на мой взгляд куда более существенна, чем аксиомы отделимости (кроме хаусдорфовой). Так что тоже полезно — отделение зерен от плевел.

    Кстати, тут ведь речь еще идет в моей заметке не о том, что большинство людей не развиваются и не могут развиваться без математики, а то том, что они и вовсе не знают что такое математика, и познакомиться на начальном уровне им было бы полезно. По крайней мере это дало бы им какой-то старт для роста. Если они программисты, то было бы полезно анализ алгоритмоа те же задрочить, например. А там уже какая-никакая дискретка, теорвер и индукция. Большинство быдлокодеров этим не владеют.

    Comment by Хеллер — 16.07.2012 @ 17:42
  20. @ borzy:
    Да, аксиома полноты крутая кстати, да. А она у Зорича вводится именно как аксиома? Она же доказывается вроде довольно просто, если я все правильно помню.

    Comment by Хеллер — 16.07.2012 @ 17:45
  21. @Роман

    Вещественную прямую можно построить конструктивно конечно, но Зорич изначально берет аксиоматический подход. Это по своему эффективно, потому что цепочка короче.

    Comment by borzy — 16.07.2012 @ 17:51
  22. наконец-то хороший пост

    Comment by hui — 16.07.2012 @ 18:30
  23. А можно, пожалуйста, пруф к утверждению про очень способных негров-математиков? Я не расист, но меня это очень удивило.

    Comment by fgsfds — 16.07.2012 @ 19:29
  24. @ fgsfds:
    Я писал заметку про негров-математиков, но она куда-то исчезла. Может быть в кеше кто-то откопает, но сам не могу найти — там были ссылки вроде подробные. Вероятно исчезли, когда база падала не так давно.

    Ну а так вообще легко довольно гуглится (не смотрел подробно):
    http://www.math.buffalo.edu/mad/madgreatest.html
    http://www.math.buffalo.edu/mad/special/index.html

    Но как говорят знакомые, в Стэнфорде и MIT сейчас наплыв будущих черных Ph.D по математике — там их около трети способных ребят. Среди негров есть небольшой процент людей, которые решили всем доказать, что «тоже могут». Такой этнический комплект, выливающийся в хорошие результаты. Вроде как говорят у них не плохо получается.

    Comment by Хеллер — 16.07.2012 @ 19:36
  25. Роман, указывая, что математика развивает мышление вы не даете определение, что такое мышление. А ведь это не так просто, как думается. Та же психология утверждает, что человек использует мышление крайне мало, просто в силу того, что вполне хватает неких навыков. Будь то решение формул или еще чего.

    Comment by Роман Патрикеев — 16.07.2012 @ 20:34
  26. Я про работы Веккера по исследованию психических процессов. Мышление — один из процессов, далеко не самый важный и далеко не самый нужный.

    Comment by Роман Патрикеев — 16.07.2012 @ 20:37
  27. Про то, что сдвиги в обществе поддерживались математиками — это не так. Пример Огюста Коши, роялиста-клерикала, и не самого последнего математика, говорит об обратном.

    Comment by Роман Патрикеев — 16.07.2012 @ 20:42
  28. Мне кажется, чем сложнее(умнее) человек, тем труднее ему выцеплять телок и быть счастливым в жизни. Развитие ума — это развитие коммуникативных способностей в минус.
    Григорий Перельман очень умный, но явно несчастный человек.
    Марафонскому атлету с его весьма сухим, практически субтильным телосложением гораздо сложнее выцепить чику, чем метановому качку, пол-года потягавшему железо, даже несмотря на то, что благодаря выносливости, он может жариться часами без остановок.

    Comment by Мурат Тхагалегов — 16.07.2012 @ 22:27
  29. @ Мурат Тхагалегов:
    Откуда инфа про Перельмана? Радость математического открытия может быть в тысячу раз сильнее чем от оргазма

    Comment by Alexey — 16.07.2012 @ 22:50
  30. @ Alexey:
    Просто Григорий Яковлевич не производит впечатления такового, живя в однушке с матерью и не имея постоянного полового партнера, совсем как наш Хеллер)
    Радость одного важного твоего достижения конечно охуенна, но за ней стоит битье об лед неудач и дни и недели творческих депрессий.

    Comment by Мурат Тхагалегов — 16.07.2012 @ 23:56
  31. Люблю математику, понимаю её, но всегда возникает проблема, в том что при изучении новой теории все предыдущее успешно понятое уходит в небытие, не знаю, что с этим делать. Может кто что посоветует?

    Comment by Ruslan — 17.07.2012 @ 01:19
  32. Кстати, еще один вопрос в догонку. В данный момент я абитуриент, и я решил, что поступать на математику в ВУЗ я не буду, а сразу пойду в НМУ, ибо мат база у меня довольна сильная, а поступать буду в ВШЭ на более или менее экономико-айтишную специальность, как сообщество Роминого блога оценит данное решение?

    Comment by Ruslan — 17.07.2012 @ 01:29
  33. Благодаря тебе и начал угорать по математике, няша.

    Comment by anon — 17.07.2012 @ 05:25
  34. Я раньше думал, что академическая математика это вместилище духа, и что учёные через будничную необходимость ясно мыслить являются честными, цельными людьми.

    На самом деле 99% учёных такое же конформистское говно, как и все, а наука такое же ремесло, как и всё остальное говно, за которое платят зарплату.

    Comment by Д С — 17.07.2012 @ 11:27
  35. >>> По крайней мере это дало бы им какой-то старт для роста. Если они программисты, то было бы полезно анализ алгоритмоа те же задрочить, например. А там уже какая-никакая дискретка, теорвер и индукция.

    С этим я согласен, но тут уже важно, что именно считать основами. Теорвер и индукция очень даже нужны. А вот аксиома выбора сомневаюсь, что нужна кому-то кроме математиков.

    В целом, насчет математики в школе я думаю так:
    http://unknown-orient.livejournal.com/90948.html#cutid1

    Comment by measure_0 — 17.07.2012 @ 11:28
  36. @ Д С:
    Вы путаете российскую «науку» и нормальную науку.

    Comment by Хеллер — 17.07.2012 @ 11:32
  37. Кстати, тезис, что не бывает математиков-фашистов вообще-то неверен (это какое-то уже общее место стало). Из великих, Тейхмюллер, Витт были нацистами, идейными; есть известный анекдот, что Тейхмюллер ходил на домашний семинар к Эмми Нётер в СС-овской форме. Понтрягин зоологический антисемит итд.

    Comment by Д С — 17.07.2012 @ 11:47
  38. @Хеллер

    не путаю, российскую науку я даже толком не видел никогда.

    Comment by Д С — 17.07.2012 @ 11:48
  39. @ Д С:
    Да, про этих товарищей не знал. Но я в общем-то писал с оговоркой: «Довольно мало математиков, если такие вообще были». Я не утверждал, что их не было вообще. Но в целом-то согласитесь, что в процентном соотношении у математиков с этих лучше, чем у остальных.

    Comment by Хеллер — 17.07.2012 @ 11:52
  40. @ Хеллер:

    Мне кажется, что это странный аргумент для апологетики математики. Среди математиков можно встретить разных людей, как-то это по-детски считать одно сообщество «улучшеной версией» общества at large.

    Comment by Д С — 17.07.2012 @ 12:05
  41. @ Д С:
    Почему странно? Общество математиков at large значительно восхитительнее чем общество людей без образования вообще. По-моему довольно логично и справедливо, почему нет?

    Comment by Хеллер — 17.07.2012 @ 12:07
  42. Рома, интересует как можно заниматься самообразованием после(!) школьной программы!?

    Comment by missisisca — 17.07.2012 @ 12:11
  43. @ missisisca:
    Читать университетские учебники, параллельно залечивать пробелы школьной программы.

    Comment by Хеллер — 17.07.2012 @ 12:46
  44. @ Хеллер:
    Ок, тогда от тебя хотелось бы увидеть тот список учебников, по которым, по твоему мнению, стоит обучаться.

    Comment by missisisca — 17.07.2012 @ 13:01
  45. @ Ruslan:
    А почему не матфак?
    IT и экономика только вредят изучению чистой математике.

    Comment by Alexey — 17.07.2012 @ 13:58
  46. Да действительно, интереcно бы увидеть такой себе туториал небольшой от Романа. Более подробно чем «Читать университетские учебники,»
    Натыкался на рекомендации книг на этом блоге, может структурированно напишешь, как продолжении мотивационной статьи?

    шаг А
    шаг Б
    …..
    Profit!!!

    :)

    Comment by Trn — 17.07.2012 @ 15:52
  47. Всем жаждущим рекомендаций на всякий случай
    http://lj.rossia.org/users/tiphareth/1259916.html

    Comment by Alexey — 17.07.2012 @ 16:26
  48. Книжки, которые стоит читать: http://lj.rossia.org/community/studium/1717.html#cutid1

    Comment by measure_0 — 17.07.2012 @ 16:35
  49. Хеллер написал:

    @ Д С:
    Почему странно? Общество математиков at large значительно восхитительнее чем общество людей без образования вообще. По-моему довольно логично и справедливо, почему нет?

    Роман, вы же претендуете на звание ученого. С чего вы взяли, что общество ученых (математиков) в целом лучше? У вас есть какие-то исследования на этот счет?

    Comment by Роман Патрикеев — 17.07.2012 @ 16:40
  50. @ Хеллер:

    А по факту. Обыватель удавится за форд фокус в кредит, математик — за теньюр. Обыватель голосует за путина, боясь перемен, математик поддерживает устаревший и ублюдочный куррикулум своего университета, потому что за преподавание по этому куррикулуму ему платят. Обыватель интересуется сплетнями про селебрити, математик рассказывает, как он здоровался за руку с Эндрю Вайлсом на банкете.

    Comment by Д С — 17.07.2012 @ 16:50
  51. @ Alexey:
    Матфак с его устаревшей программой вызывает отвращение, а насчет изучения математики, я же написал, что буду в НМУ ходить.

    Comment by Ruslan — 17.07.2012 @ 18:57
  52. Напомнило «Lockhart’s Lament»

    Comment by shvedsky — 17.07.2012 @ 19:45
  53. Ruslan написал:

    при изучении новой теории все предыдущее успешно понятое уходит в небытие, не знаю, что с этим делать.

    Какую-то часть ты всё равно запоминаешь. Я так думаю, что нужно экспериментальным путём узнать каким образом тебе легче изучать математику. Например, если ты не можешь читать книгу не отвлекаясь, то попробуй вести краткий конспект с формулировками основных теорем и минимальным описанием доказательства (по индукции, рассмотреть такое-то множество, применить теорему 2.16 и т.п.). С таким конспектом можно сразу несколько книг по одной теме читать и потом закончить со своей собственной мини-книгой. Лично я это дело бросил, потому что на это уходило много времени, (попутно приходилось учить LaTeX, чтобы всё было красиво) я учился медленно и было ощущение хаоса и беспорядка в мире. К тому же авторы хороших книг уже организовали всё как надо.
    Можеть быть тебе не хватает мотивации (крайне редкий ресурс в моём случае) и ты читаешь поверхностно (не так как рекомендуют в этой статье http://web.stonehill.edu/compsci//History_Math/math-read.htm), выполняя задания от автора не особо вникая в их суть. Тогда я не знаю что делать. Посмотри порно или аниме.

    Comment by the_ancient_greek — 17.07.2012 @ 21:10
  54. @ the_ancient_greek:
    Спасибо! Мотивация в моем случае непостоянная штука, а за идею с своей мини книгой спасибо, обязательно попробую.

    Comment by Ruslan — 17.07.2012 @ 23:17
  55. Складывается впечатление, что вы с measure_0 спорите несколько о разном.
    measure_0 не выступает против основной идеи, что математикой заниматься полезно и что она развивает логическое мышление. Он говорит, что «в жизни» важны мышление и логика несколько отличные от математических. Либо мышление то же (тут у меня нет полной уверенности, правильно ли понимаю его позицию), но тогда для применения в повседневности (ведь именно это, а не наука, является сферой приложения знаний для среднего человека) разумно и усваивать логику на практике, из ведения дискуссий, например, как было предложено. Это эффективно и легко, так как происходит само собой при естественном взаимодействии с социумом.

    Еще у вас то математики всех превосходят не только в математике и смежных с ней областях, но и на самом общем уровне, то они практически одни противостоят глупому обществу и двигают мир вперед, то в бытовых спорах с обычными людьми математикам скучно, т.к. они одни видят истину.

    Естественно, читатели помнят, что вы сами математик, неважно какого уровня, и вы, получается, так «незаметно» характеризуете и себя. При этом вы активист антифа, который пиздит плохих парней и таким образом творит добро. Вам хочется душевного тепла, но вы продолжаете ходить по проституткам. Хотели попробовать глубокие серьезные отношения с каким-никаким пониманием, а выбрали для этой цели малолетнюю боняшу и страдали, и искренне как-то удивлялись последствиям. Где ваше развитое (уж по сравнению со средним обывателем-то точно) критическое мышление было? Понятно же, что вас сложно воспринимать всерьез.

    Думаю, об этом и говорил measure_0: среднему человеку неразвитые мат. способности не мешают принимать верные решения на бытовом уровне, тогда как некоторым развитые мат. способности не мешают по жизни почему-то творить хуйню.

    Comment by putamadre — 18.07.2012 @ 05:17
  56. Автору предыдущего комментария (55) респект. По делу, четко, логично.
    От себя могу добавить, что говорить об обучении людей математике, не имея соответствующего опыта — не самая лучшая идея. 3 года назад (когда я еще не учил несколько балбесов математике) я бы согласился с вашей статьей и был ЗА!. Сейчас — я уверен, что не у каждого есть способности к математике, или подходящее мышление.
    putamadre абсолютно прав: «среднему человеку неразвитые мат. способности не мешают принимать верные решения на бытовом уровне». Более того, во многих вопросах, нелогичных по сути, но крайне важных, логика мешает. Возьмите извечный «любит-не любит?», «почему она ушла?», «почему он меня бросил (я его)?».
    Кроме того, вы предложили изменить курс школьной математики, предложив свой набор дисциплин. Вы нелогичны дважды. Первое: вы полагаете, что изменив набор дисциплин, покажете ученикам всю ширину математики. Учитывая качество современных учителей — ничего не изменится. Школьники так и будут зубрить теоремы и решать задачи у доски на время (я говорю о 95%). Второе: вы желаете показать, что мозги работают по-разному при различных мат.науках. Где вы найдете людей для преподавания по всей России, если шарящих в разных областях математики — единицы.
    Вы правильно заметили, что работать нужно с целым комплексом фактов. Поверьте человеку с практикой: вы их знаете не все.

    Comment by Sailar — 18.07.2012 @ 11:38
  57. > умение мыслить строго формально, а не опираясь на интуицию
    Мне кажется, что если бы все математики так и делали, то значительную часть теорем никто не что не доказал бы, но до их доказательства не были бы сформулированы даже соответствующие гипотезы.

    >— не существует никаких «математических способностей»
    Несомненно существуют. И если математика развивает логику, то, стало быть, во время занятий математикой логика задействована. А ведь с биологической точки зрения уровень развития этой вашей логики определяется генетическими факторами. Несомненно, её можно развивать и в конечном итоге уровень её развития будет определяться еще и внешними факторами. Но кто знает, какие факторы играют первостепенную роль?
    По поводу гуманных парней математиков, обдумывающих свои действия: есть у меня один знакомый, который в свое время неплохо выступал на олимпиадах уровня страны и даже что-то выиграл на международной. Так вот, по правде говоря, я не уверен, что пообщаясь с ним, большая часть людей смогла бы назвать его более-менее умным человеком. И в социуме он, кажется, чаще всего действует вопреки логике. Во время спора передергивает факты, а если видит, что начинает проигрывать, ссылается на свою математическую компетентность, которая, как он считает, автоматически делает его гораздо большим экспертом в области жизни ему незнакомой, чем других людей, которые так само экспертами в данной области не являются, но не являются и математиками. По поводу его гуманности могу лишь сказать, что лично я гуманным его не считаю по ряду причин. Другой знакомый математик, сын профессора, всех считает тупицами, о чем всем своим видом пытается поведать остальным студентам в коридоре. Кратко: я считаю, что никакой связи между личностными качествами человека + поведением его в социуме со знанием математики нету. И об этом, кстати, как-то писал тифарет. Да тут, собственно, спорить не о чем: если подмножество множества обладает каким-то свойством, то это не значит, что все множество им обладает.

    Comment by некто — 18.07.2012 @ 22:38
  58. Роман, тут у вас противоречие, или я чего-то не понял

    >> Тем не менее даже у многих из тех, кто все же понял суть прошлого предложения, как только мы заменим A на «смертная казнь помогает в предотвращении преступлений», а B на «статистика НЕ(?) показывает снижение преступности после введения смертной казни»

    Без моего НЕ смысл этих двух абзацев ускользает от меня.

    Comment by Name — 19.07.2012 @ 06:41
  59. Name написал:

    Без моего НЕ смысл этих двух абзацев ускользает от меня.

    Смысл как раз в том, что без «НЕ» утверждение неверно, а значит, неверно и утверждение «смертная казнь помогает в предотвращении преступлений».

    Comment by putamadre — 20.07.2012 @ 03:06
  60. […] так же для начала прочитать мою недавнюю статью про математику и мозг, объясняющую мое видение необходимости изучения […]

    Уведомление by Учебник §0: Введение | Блог Хеллера — 20.07.2012 @ 14:11
  61. http://lenta.ru/articles/2012/05/30/bombpulse/
    «„Нервные клетки не восстанавливаются“ — это миф» — это, вполне вероятно, тоже уже миф.

    Comment by Михаил — 21.07.2012 @ 08:25
  62. Здравствуйте, обычные люди!

    Comment by Я — 21.07.2012 @ 12:21
  63. Спасибо, статья мотивирует.

    Comment by Davie California — 21.07.2012 @ 22:44
  64. Программистам, которым интересен вопрос, я бы порекомендовал начать с этого:
    http://www.lektorium.tv/course/?id=22827

    Comment by Дмитрий — 22.07.2012 @ 02:10
  65. > умение мыслить строго формально, а не опираясь на интуицию, так как интуиция не работает (посмотрите на парадокс Банаха-Тарского)

    Вы приводите один пример, и подразумеваете что это достаточное обоснование того, что интуиция не работает.

    Мне ничто не мешает мыслить строго формально, опираясь на интуицию.

    Формальное мышление — медленный, последовательный, точный способ обработки. Подходит для малых объемов информации, когда требуется абсолютно корректный ответ. Например в математике.

    Интуиция — быстрый, параллельный, вероятностный способ обработки большого объема информации, чем-то похожий на баесовскую сеть. Интуиция основывается на опыте, ее нужно нарабатывать в каждой новой области. Она подходит для больших объемов информации, или чтобы сузить поисковое пространство для последующей формальной обработки. Интуиция может выражаться и как смутное чувство где нужно искать, и как четкое железное знание, которое просто слишком многокомпонентно, чтобы выразить словами. Оно воспринимается целиком, как фотография, и нет смысла пытаться объяснить ее перечисляя цвет каждого пиксела. И та и другая градация может давать ошибки, но в любой жизненной ситуации и я бы доверил твердой интуиции больше, чем формальным умозаключениям. Дизайн интерфейса или программы может быть хорошо обоснован на бумаге и обладать большим перечнем полезных свойств. Но если ты смотришь на экран и видишь говно, то это скорее всего и есть говно.

    Современная культура слишком превозносит формальные рассуждения. Как нас в школе учат? Смотрите дети на правило, запомните его и применяйте. Хоть один человек цитирует себе правила когда пишет? Да никаких сил не хватит. Либо у тебя есть наработанная интуиция, либо ее нет, и ты пишешь безграмотно. Или посмотрите как преподают иностранные языки и физику. Пустые формальные манипуляции оторванные от реальности и лишенные всякого смысла. Попытка научить через объяснения. С таким же успехом могли бы учить через объяснения плаванию.

    > Значительный процент успешных людей занимались и занимаются математикой. Чтобы это понять достаточно оглянуться вокруг и посмотреть на образование окружающих вас преуспевающих директоров.

    Я вижу совсем другое. «Успеха» добиваются активные упорные люди с социальными навыками. Образование ни о чем не говорит, престижный университет можно закончить не благодаря математическим способностям, а несмотря на их отсуствие, за счет более ценных для успеха качеств.

    > Если бы система образования строилась с пониманием описанного мной, и имела целью действительно научить чему-то и привить ученикам какую-то интеллектуальность, то мы возможно жили бы уже совершенно в другом общества.

    В том же самом. Когда человека пичкают против его воли, даже полезными знаниями, и за него решают что для него лучше, он этому противится. Аргументы вроде «умения работать одновременно сразу со многими понятиями из разных областей» — это пустой звук. Даже, казалось бы, куда более конкретный и осязаемый пример: хорошо известен вред курения, и польза ежедневных физических нагрузок. Но многие ли люди достаточно рациональны чтобы предпринять какие-то действия основываясь на этих знаниях?

    Есть порода людей, которые любят учиться потому что это интересно. Но они в меньшинстве. Так же как люди способные делать что-то ради своего будущего. Большинству искренне, от всего сердца, насрать что вокруг чего вращается в солнечной системе, и каковы преимущества той или иной политической системы. Дело не в образовании, не в воспитании и не в окружении. Просто люди разные. Мне неинтересна математика. Та самая, настоящая, не только школьная. Но мне интересны вещи, которые требуют знания математики. Так что я плююсь и продолжаю есть кактус. Но конечно ни эта, ни любая другая заметка не сделает так, чтобы я полюбил математику. Хотя отлично понимаю тех, кто любит.

    Comment by Алексей Лебедев — 22.07.2012 @ 20:49
  66. Однако, трешак.. давненько я так не смеялся… Математик потешил свое ЧСВ?

    Сначала автор говорит об индукции, а потом выводит, что все математики успешные люди на основании того, что часть из них были успешными (кстати какой критерий успешности — богатство, известность, эрудированность?) Естественно, дурак заниматься математикой не сможет и будет отсеян из этой выборки. Это как утверждать, что на основании интернет-опроса — 100% опрошенных пользуются сетью Интернет.

    С обратной стороны, можно легко увидеть _факт_, что есть ну очень большое людей, знающих математику на уровне средней школы, что не помешало им стать богатыми и/или известными и/или эрудированными. Что позволяет говорить, что владение математикой не является достаточным условием успешности. Можно было бы конечно построить модель, чтобы выявить корреляции, но я, к моему большому сожалению, не силен ни в статистике, ни в теории вероятности. Что очень, надеюсь не помешает мне стать успешным.

    Мда… впрочем, что можно было ожидать от человека, который не смог освоить таблицу умножения.

    Comment by Виктор — 23.07.2012 @ 18:03
  67. Черт-побери, это шикарно.
    Голосую всеми конечностями.
    Впервые встречаю не просто грамотного, но и адекватного математика с широкими взглядами.
    Целиком и полностью разделяю Ваш подход к математике.

    Comment by jazzros — 27.07.2012 @ 13:35
  68. В чём суть вышнаписанной стены текста(кратко)?

    Comment by Андрей — 28.07.2012 @ 13:45
  69. @ Андрей:

    «Учи математику! Учи, математику, сука!»

    Comment by Д С — 28.07.2012 @ 15:33
  70. Очень круто, вообще супер! Особенно объяснение, что можно реально сильно поумнеть, даже если тебе уже не 12лет. Это так мотивирует, спасибо.

    Comment by амуа — 30.07.2012 @ 02:27
  71. @ Алексей Лебедев:

    Большинству искренне, от всего сердца, насрать что вокруг чего вращается в солнечной системе, и каковы преимущества той или иной политической системы.
    ================
    Это, мягко говоря, спорно. Я бы даже сказал, что это снобистская хуйня.

    Comment by амуа — 30.07.2012 @ 02:31
  72. @ putamadre:

    Думаю, об этом и говорил measure_0: среднему человеку неразвитые мат. способности не мешают принимать верные решения на бытовом уровне, тогда как некоторым развитые мат. способности не мешают по жизни почему-то творить хуйню.
    =============
    Вот и пресловутая лажа с индукцией. Мешают неразвитые мат.способности принимать верные бытовые решения, еще как мешают.
    И развитые мат.способности мешают творить хуйню. Очень мешают.
    Просто неразвитость мат.способностей не всегда означает, что решение будет неверным, как и их развитие не гарантирует верных решений.
    Пример отсутствия влияния математического мышления на амурные дела настолько очевидно некорректен, что даже и сказать нечего.

    Comment by амуа — 30.07.2012 @ 02:38
  73. @ амуа:
    Обоснуйте. Вы же пишете
    > развитые мат.способности мешают творить хуйню. Очень мешают.
    Амурные дела — это какая-то особая, сакральная сфера жизни, где законы логики не действуют? Да ладно.
    Что касается других противоречий, вы их удобно проигнорировали.
    Также вы сами пришли к тому, что
    > их [математических способностей] развитие не гарантирует верных решений

    Comment by putamadre — 31.07.2012 @ 06:05
  74. Фееричная статья в The New York Times http://www.nytimes.com/2012/07/29/opinion/sunday/is-algebra-necessary.html

    Comment by Valery — 01.08.2012 @ 11:33
  75. @ Valery:
    Там читать надо с последнего абзаца: «Andrew Hacker is an emeritus professor of political science».
    Хоть статья сама по себе и никчёмная, но требовать знание «алгебры» там, где оно не нужно, аналогично требованию подтянуться 10 раз для поступления на математический факультет. Математики после такого отбора, безусловно, станут здоровее, но не понизит ли это средний уровень понимания предмета?

    Comment by Anonymous — 01.08.2012 @ 13:04
  76. http://nbspace.ru/math/

    Comment by Terkin — 01.08.2012 @ 23:08
  77. @ Anonymous:
    А как это может понизить уровень понимания предмета?
    Может понизиться число студентов, проходящих отбор при поступлении, об этом говорится в статье (касаемо не связанных с математикой специальностей).
    >читать надо с последнего абзаца: «Andrew Hacker is an emeritus professor of political science».
    Не думаю, что его это должно дискриминировать. Профессор-то прошел университетский курс математики в процессе получения высшего образования, пусть даже в области political science. Это сейчас он говорит о реформе в преподавании математики. Некоторые здравые мысли имеются, и даже созвучные мыслям Романа:
    >John P. Smith III, an educational psychologist at Michigan State University who has studied math education, has found that “mathematical reasoning in workplaces differs markedly from the algorithms taught in school.”
    >What is needed is not textbook formulas but greater understanding of where various numbers come from, and what they actually convey.
    Но вообще статья оставляет хреновый осадок, т.к. под видом реформы почему-то предлагается какая-то хуета. Если необходимость в изменениях видна всем, то сами изменения и составление адекватных новых программ нужно доверить профессионалам в области математики.

    Comment by putamadre — 02.08.2012 @ 05:31
  78. putamadre написал:

    А как это может понизить уровень понимания предмета?

    Если из ста лучших студентов 50 будут отсеяны по второстепенным предметам, то места этих 50-ти займут те, кто был хуже, но прошёл второстепенный барьер. Подумай как при этом изменится средний уровень по основному предмету.

    дискриминировать

    Его статья дискредитирует его в значительно большей степени. Не факт, что описываемая им проблема вообще существует.

    Comment by Anonymous — 02.08.2012 @ 08:26
  79. @ Anonymous:
    Спасибо за пояснение. В мое время (2007 год) в ВУЗ принимали по результатам экзаменов, и, когда по профильному предмету более 90 баллов из 100, второстепенные предметы не рассматривали вообще. То есть, лучших студентов не выкинуть все равно.

    Comment by putamadre — 02.08.2012 @ 08:43
  80. Статья очень интересная, а дискуссия в комментариях еще интереснее. Мне кажется, что автор одержим идеей развития некоторого специфического набора навыков. Бодибилдер таким же образом может быть одержим увеличением объема мышц.

    Вообще, мне показалось, тут речь идет о таком саморазвитии, которое подменяет собой достижение результата в какой-то практической сфере. Если, например, я уже сейчас отчетливо вижу нелогичности в споре про смертную казнь, то мне все еще нужно заниматься математикой, чтобы развить свою логику еще сильнее? Может быть лучше потратить свое время на что-то другое? Если у меня появились пара лишних килограмм веса, то я немного позанимаюсь и сброшу их, но не буду делать карьеру профессионального спортсмена.

    Comment by tikh — 05.08.2012 @ 14:15
  81. Какие к черту негры?Сейчас всеми науками заправляют только азиаты(китайцы-корейцы-японцы).Посмотрите чьи команды на олимпиадах по математике/физике/химии занимает первые места,посмотрите на команду США-она полностью состоит из азиатов(даже тренера-и те азиаты).
    Ps статья такая,с пафосом.У того же Толпыго,или у Куранта намного лучше написано.

    Comment by Math09 — 09.08.2012 @ 02:04
  82. @ Math09:
    Уже как бы и надоело каждому повторять, что олимпиады имеют весьма малое отношение к науке. Участие в международной олимпиаде в 80% случаев оказывается самым ярким фактом научной биографии. Ну и остальное у вас в каждом слове фактически бред написан.

    Comment by Хеллер — 09.08.2012 @ 02:27
  83. И на счет разнообразия.Вы сами пишите,что не все осваивают даже элементарный курс,тогда какая геометрия Лобачевского и топология?Думаете дети в 7-8 классе поймут это?Нет,я знаю одну ф-м школу,так там это и преподают,но отбор в эту школу очень серьезный,да и учителя практически индивидуально работают с учениками,и то не все успевают.А вы говорите в обычных школах..Или даже так:сколько вообще часов в неделю есть в обычном классе на изучение математики?3-5-это максимум(в фм классах,конечно,гораздо больше-10-14)Ведь ученик должен же знать не только математику.Физика,химия,биология,география,в конце концов русский язык и литература.И если учитель начнет в программу пихать ненужную топологию и теорию графов,то из учеников получатся обычные недоучки-они не будут нормально знать ни одной области,знания будут только поверхностные.Да и вообще,тем кому интересна математика-сами узнают о топологии и пр.,или,в конце концов,узнают в вузе.Теперь на счет геометрии.Я полность поддерживаю изучение эвклидовой геометрии.Ну к чему,скажите,обычным школьникам проективная геометрия?Тем кто захочет,узнают в вузах(художники и архитекторы,кстати,тоже ее изучают в вузах).В фм классах,на сколько я знаю,она и так изучается.Но в ней нет той обширности,той простоты,какая есть в эвклидовой.Именно эвклидова геометрия лучше любой другой науки(историки бьются в истерике) развивает причинно-наследственную связь(ну например:эти стороны равны-значит треугольник равнобедренный;или:сумма противоположных углов в четырехугольнике 180градусов,значит около него можно описать окружность.),а следовательно и логическое мышление.
    Ps не знаю как у вас,но у меня,в обычном классе,абсолютно все теоремы,
    как по алгебре,так и по геометрии,доказывались.Но делалось так:на уроке давалась теорема/утвеждение,а домы мы сами пытались это доказать.потом нам рассказывали док-во,а на следующем уроке мы писали в виде ср док-во это теоремы(кто хотел,писал свое доказательство-это только поощрялось).А аксиомы(как по алгебере,так и по геометрии)мы просто учили на изусть.И ничего в этом плохого нет-аксиомы на то и аксиомы,чтобы принимать их без док-ва.
    Pss выучите,наконец,таблицу умножения,не позорьте математическое сообщество.

    Comment by Math09 — 09.08.2012 @ 02:41
  84. Сам такой, но привели довод — критерии оценки искусства и эмоций не работают с помощью логики и математики. А ведь то, какого цвета небо, как заорал твой первый ребенок, насколько удачно ты сегодня посрал — для счастья гораздо важнее, чем теория струн и полудохлый кот шрёдингера.

    Comment by x413 — 10.08.2012 @ 01:13
  85. @ Math09:
    Я честно не понимаю зачем обычным школьникам евклидова геометрия. Я сам как-то сумел без нее обойтись — начал я там что-то понимать лишь когда начал изучать ее в курсе алгебры сразу в n-мерном случае.

    3-5 часов в неделю математики — это мало, конечно. Но глупо тратить их на то на что они тратятся.

    Вообще по вашим комментариям можно понять, что вы плохо владеете различными геометриями. То есть даже хуже, чем я (хоть я и не геометр совершенно).

    Про причинно-следственную связь тоже глупость. Вся математика так построена, а не только евклидова геометрия.

    Тот факт, что ученики не осваивают школьного курса математики говорит лишь о том, что школьный курс плохой.

    P.S. Таблица умножения мне не нужна, у меня есть Python.

    Comment by Хеллер — 10.08.2012 @ 10:57
  86. Однако же, для того, чтобы разобраться, что просто, а что не очень, для обучения школьников, необходимо работать в области возрастной педагогики и психологии.

    Comment by Сергей Копылов — 23.08.2012 @ 11:49
  87. @ Сергей Копылов:
    Ну я например не говорю про детей младше 10-12 лет. А так возрастная педагогика у меня вызывает большие сомнения в адекватности — я например вообще не понимаю чем руководствуются люди, составляя школьную программу. Такое чувство, что они просто сумасшедшие.

    Ну и еще надо понимать, что помимо педагогики, есть еще и наука. Большинство педагогов просто не в курсе современного положения дел в математики и не могут адекватно давать оценки математическим курсам. Математики — могут.

    Comment by Хеллер — 23.08.2012 @ 12:18
  88. Советую прочитать эссе Шопенгауэра «On the Method of Mathematics» и статью в Edinburgh Review 1986 года (http://books.google.com/books?id=BGUJAAAAQAAJ&source=gbs_navlinks_s) которая там упомянута. Там как раз на эту тему написано.
    Эссе можно найти во втором томе The World as Will and Representation, который можно скачать с gen.lib.rus.ec

    Comment by Кирилл — 07.11.2012 @ 11:21
  89. Каждому математика нужна?
    Да она вообще никому не нужна. Ты правильно отметил, что быдло вообще не имеет представления, что такое математика. Но при этом, 99 процентов математического быдла тоже считает, что математика это числое_ство.
    Однако вопрос по существу: вот математик А считает что верна теория а_штрих, а мат Б — что Б_штрих.
    Чтобы у обывателя сложилось какое-то мнение, ему нужно перевернуть кучу матанов, включая изучение синтаксиса etc. А все только для того, чтобы в один прекрасный день убедится что верна С. А мозги-то уже трансформированы безвозвратно. Поможет только лоботомия. Так-то сынки.

    Comment by foo — 27.10.2013 @ 09:06
  90. Вспомнилось, что Paul Graham написал в «How to start a startup», что управленцы с техническим образованием более успешны, чем с MBA. Цитирую:

    If you work your way down the Forbes 400 making an x next to the name of each person with an MBA, you’ll learn something important about business school. After Warren Buffett, you don’t hit another MBA till number 22, Phil Knight, the CEO of Nike. There are only 5 MBAs in the top 50. What you notice in the Forbes 400 are a lot of people with technical backgrounds. Bill Gates, Steve Jobs, Larry Ellison, Michael Dell, Jeff Bezos, Gordon Moore. The rulers of the technology business tend to come from technology, not business. So if you want to invest two years in something that will help you succeed in business, the evidence suggests you’d do better to learn how to hack than get an MBA.

    http://paulgraham.com/start.html

    Comment by Penguin — 07.08.2014 @ 02:09
  91. То, что в списке Форбс в основном люди с техническим бэкграундом — следствие расцвета технического бизнеса в целом. Рекомендовать именно на этом основании получать техническое образование — по-моему, чушь.

    Comment by dannnny — 12.10.2014 @ 16:19
  92. кому мало математики в интересном изложении, загляните на khanacademy.org

    сам иногда смотрю, правда на англ

    Comment by Василий — 29.10.2014 @ 17:04
  93. Интересная статья. К сожалению, она попала мне только сегодня (18 января 2015-ого), нужно было бы пораньше, но что поделать — на собственных ошибках учатся, так сказать. Помимо того, что статья полезная, Вы подкинули мне информацию для моей идеи, за что Вам огромное спасибо. И знаете, после Вашей такой статьи захотелось не то чтобы начать изучать математику, даа. А открыть свою школу в которой создать свою собственную форму образования. Потому что то, что творится в школе сейчас — это тихий ужас. И все, что перечислено в статье про школьную математику — true story, так скажем.
    Еще, у меня возник недавно такой вопрос. Вот смотрите. Математика, да? Царица наук. Она позволяет развить важные умственные качества, такие как: аналитические способности, дедуктивные там. Тренирует память, способность анализировать. Или как Вы написали — «что из A следует B». А главное — умение логически мыслить и рассуждать! Делать логические выводы на основе грамотных мыслей, даа, т.п. . Так вот, собственно, я знаю парочку людей, которые по своей специальности технори, то есть, у них техническое образование, так же они знаю физику, конечно, в области своей специальности, но скорей всего и обширно тоже имеют представление. Так вот кульминация: почему тогда пообщавшись с этими людьми можно сделать вывод, что они ни чуть не логичны? Хотя казалось бы, что человек на полном серьезе имеет представлении о математике и даже физики, но на общении или даже каких-то простых вещей — напрочь отсутствует логика. Почему так? Я понимаю, что Вы может сказать и обратное, что, мол, может это у меня отсутствует логика и поэтому я не понимаю этих людей. Что может я гуманитарий, что тонко — дурак. Но честно. И серьезно — даже если я дурак, но мой вопрос, который связан с реальным наблюдением задался же не случайно — значит это существует на самом деле.

    Comment by Татьяна — 18.01.2015 @ 19:18
  94. @ Татьяна:
    Технари редко что-либо понимают в математике как таковой. Техническое образование в ВУЗе, что по физике, что по математике, учит только ограниченному набору трюков — решать интергралы и дифуры, находить решение стандартными способами в стандартных задачках. То есть то что дают в России в технических ВУЗах к математике никакого отношения не имеет.

    Comment by Хеллер — 18.01.2015 @ 19:32
  95. @ Татьяна:
    Я кстати ради интереса нагуглил ваш e-mail и узнал ваш возраст. Ничего вам не поздно на самом деле, я математикой озаботился примерно только в 21 год, а серьёзно ей занялся и того позже.

    Comment by Хеллер — 18.01.2015 @ 19:33
  96. @ Хеллер:

    Да заняться математикой по чесноку — мне стоило еще с 5-ого класса, а не с того момента, когда однозначно стрельнула такая штука, как ЕГЭ. Но так сказать, развитие берет вверх и тут ты понимаешь, что математика — это реально круто. Такова была моя первая мысль после просмотра нескольких серий сериала «Теория большого взрыва». А потом, рождение идеи, а также осознание, что , да действительно — надо заняться математикой. И жить станет легче и сделать смогу больше. А также ИНТЕРЕСНО. Но пришло ко мне это все только в 17 лет, когда на носу ЕГЭ, а ты такой «гуманитарий». Так что, учебник «Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С» и Вашу статью «План изучения математики», а так же еще кучу интересной литературы, которой я нашла, придется отложить в ящик под названием «после сдачи ЕГЭ». Что очень печально. Изучение «все по новой» и даже больше лучше и с новыми мыслями, что математика , это классно — дало бы мне больше удовольствия и знаний, чем я сейчас сижу и прорешиваю до автоматизма прототипы ЕГЭ заданий. Но что делать, что делать.

    Comment by Татьяна — 18.01.2015 @ 20:47
  97. @ Татьяна:
    Главное чтобы после сдачи ЕГЭ не пропало желание читать математику.

    Comment by Хеллер — 22.01.2015 @ 21:35
  98. То, что математика доступна каждому (почти), возражений не вызывает. То, что очень часто детям ее неправильно преподают, тоже факт. Что такое число 2 в конечном счете все знают, но… многие ли видят в этом загадку? Увы. Можно хорошо знать теорию упругости, хорошо решать дифуры, но почитайте работы Гаусса. Он видел красоту там, где большинство ее не видит. Почитайте воспоминания Пуанкаре. Для занятия математикой важнее всего повышенная чувственность и это нужно понимать. Детям нужно читать сказки, развивать их воображение, учить видеть красивое. Понимает ли ребенок сказки? Это же так просто! Если ребенку повезет и он встретит человека, который его удивит математическими рассказами, то это самый главный шаг для понимания математики. Вспомните Лузина, у которого были проблемы с математикой в гимназии. Пришлось нанять репетитора, студента, и жизнь Лузина изменилась.

    Было бы, что «организовывать». Только в этом случае слова Ломоносова имеют смысл.

    Comment by Сергей — 06.07.2015 @ 09:51
  99. @ Артем:
    Вот тут — http://www.mathprofi.ru/ на определенном этапе, много полезного.

    Comment by Aradiel — 07.10.2015 @ 16:33
  100. Очень полезный учебник по «Теории вероятностей» Гмурман, эх если бы другие учебники по математике писались подобным образом было бы от чего отталкиваться дальше.

    Comment by Aradiel — 07.10.2015 @ 16:37

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Оставить комментарий

This work is licensed under GPL - 2009 | Powered by Wordpress using the theme aav1
SEO Powered by Platinum SEO from Techblissonline