Математика и секс
Май 30th, 2013

План изучения математики

Я думал, что напишу короткий текст-набросок, но как обычно накатал гигантскую простыню. Здесь фактически объединено три темы: примерная программа по математике для среднего школьника (гуманитария или инженера, но не математика), методические рекомендации по тому как выбирать книги и темы для чтения, как относиться к задачам и доказательствам, а так же набор задач для самостоятельной проверки собственных знаний. Если вам интересны лишь отдельные эти темы, то вы можете проматывать до соответствующего параграфа, поскольку я отлично понимаю, что осилить весь текст целиком — сложно и большинству скучно. В то же время я убеждён, что именно отдельные фрагменты текста могут быть полезны многим читателям.

Мне постоянно, практически каждый день, присылают один и тот же вопрос: «Как изучить математику с самого начала?». Проблема обычно у всех одна и та же: в школе не учил, в институте не понял, наверстать не получается. Либо в институте даже нормально учился, был уверен, что его хорошо и правильно учат мудрые профессора в каком-нибудь МИФИ или Бауманке, решал интегралы и пределы, но как только после института столкнулся с реальной математикой в какой-то не совсем тривиальной задаче, понял наконец, что учили не тому и не так.

Я много писал о том, что у нас математике правильно почти нигде не учат, многие воодушевились, и решили математику таки изучать, попутно задавая мне вопросы. И тут выясняется, что как её учить не понятно: есть много хороших университетских учебников, но нет ничего хорошего по начальному курсу. Я эту проблему многократно обозначал, но не наметил никаких ориентиров как её преодолеть желающим. Начал писать свой учебник, но он получился слишком сложным и теоретическим (вплоть до того, что за сотню с лишним страниц я даже не успел ввести понятие натурального числа).

В этой заметке я постараюсь дать максимально подробное изложение того, как изучать математику с нуля так, чтобы потом можно было браться за университетские учебники, а заодно изложу в каких направлениях вообще стоит двигаться и в каких случаях.

Свой план изучения математики я разбиваю на подпункты, к каждому из которых прилагается три задачи, которые вы должны уметь решать. Это не совсем простые задачи, но если вы понимаете материал, то вы должны справиться. Это так же может быть хорошим тестом для обучающихся в технических ВУЗах — если вы успешно учитесь, но не можете решить хотя бы половины приведенных задач, значит вы однозначно учитесь не тому.

Источники

По школьному курсу я не знаю ни одной хорошей книги. Есть отдельные хорошие брошюры МЦНМО, ориентированные главным образом для 57-ой школы и подобных заведений, но они часто либо совсем узконаправленные, либо сложные для неподготовленного. Почитать их может быть интересно, они все составляются очень хорошими грамотными людьми, но надо понимать, что ориентированы они на тех, из кого есть шанс вырастить математика-теоретика, и у кого есть на это время. Если вы студент престижного инженерного ВУЗа и вынуждены каждый день решать интегралы, пределы, дифуры и урматы, либо вообще работаете по 8 часов в день, у вас скорее всего не будет времени в них углубляться. То есть путь чтения МЦНМО-шных книг хоть и правилен с методической точки зрения, но скорее всего не подойдёт большинству читателей.

Наверное самый быстрый и правильный путь наверстать школьную программу  — это иметь перед глазами ориентировочную адекватную программу того что надо учить и какие области необходимо затронуть. Придерживаясь такой программы, необходимо искать информацию по каждой отдельной теме в Интернете. Часто хорошим источником становится Википедия, но далеко не всегда. Тогда может помочь Гугл, какие-то учебники либо ресурсы типа math.stackexchange.com. Такую примерно программу я сейчас и предлагаю читателю. Ниже излагается краткий перечень того, что необходимо изучить, в каком порядке и в каком виде, а так же что из чего выводится. По замыслу это должно стать хорошим ориентиром для тех, кто хочет самостоятельно наверстать математику, которую он плохо понимает.

Обозначу сразу, что моя программа ориентирована на прикладников, а не на теоретиков. Это накладывает очень большой отпечаток на спектр тем, определения и рассматриваемые теоремы, включая их общность. Какие-то понятия могут профессиональным математикам показаться определенными не правильно, но я осознанно стараюсь в этой программе идти по пути наименьшего сопротивления. Так же я тут не составляю идеальной математической программы — то что я пишу ниже сильно отражает существующий школьный курс, который сам по себе можно раскритиковать. Я это делаю осознанно, чтобы учащемуся было легче ориентироваться и он мог быстрее усваивать материал. Из отклонений от школьной программы я допускаю лишь минимальные нововведения (то что совсем уж стыдно не знать) и выкидываю ненужное главным образом в виде геометрии.

Не смотря на прикладную ориентированность, впрочем, возможно что даже интересующемуся теорией окажется вначале полезно пойти по пути изучения именно этой программы, а потом переходить к более абстрактным темам.

1. Английский

Один из самых важных навыков, которым должен владеть человек, изучающий математику (да и почти что угодно) — это английский язык. Как только вы становитесь способны читать на английском, множество источников для изучения материала у вас расширяется многократно. При том, что есть много хороших книг на русском, на английском их несравнимо больше даже по школьной программе. Многие теоретические темы, даже самые базовые, на русском языке вообще никогда и никем не излагались, либо излагались крайне неудачно. В той же Википедии аналогичные статьи зачастую оказывается куда лучше на английском языке, нежели на русском. Бывают и обратные примеры, но редко. Даже многие очень адекватные российские ученые пишут свои учебные материалы сразу на английском, русский язык полностью игнорируя, поскольку в России для этих материалов будет крайне малая аудитория.

Так что первым делом, как только вы прочитаете этот текст — начинайте изучать английский язык. Потратив пару лет на то, чтобы уметь бегло и без напряжения читать английский текст и общаться на английском, вы потом сэкономите себе кучу времени, пользуясь куда более качественными источниками при изучении любой другой области, в том числе и математики.

Стоит так же отметить в целом гораздо более хороший научный уровень англоязычной аудитории. В России вам очень мало людей смогут дать адекватный совет по той или иной области, в отличие от англоязычных форумов. На русском языке вы так же не сможете адекватно оценить современное положение вещей в науке, 99% инженеров и кандидатов наук вас скорее всего будут пичкать рекомендациями считать больше интегралов по задачнику Демидовича и читать про то как считаются определители матриц. Это самые бредовые рекомендации, которые можно дать, но понимают это единицы.

Для изучения английского лучше идти на групповые занятия на курсы. Так же полезно читать на английском (есть много адаптированных книг), пытаться переводить интересные вам тексты, искать собеседников-иностранцев для переписки (тут помогут сайты типа livemocha.com и специализированные форумы), могут помочь самоучители типа Мерфи (English Grammar in Use, Eglish Phrasal Verbs in Use и подобные), полезны бесплатные онлайн-курсы типа study.ru.

Даже если вам очень тяжело даётся иностранный язык, вы всё равно должны учить английский. Это действительно самая важная рекомендация, которую в принципе можно дать для изучения любой околотехнической науки и математики в том числе.

Начинайте изучать английский прямо сегодня.

2. Натуральные числа

Начать именно математику логично с арифметики натуральных чисел (это числа 0, 1, 2, 3 и так далее). Вы должны знать основные операции над натуральными числами и их взаимосвязь: сравнение чисел на больше-меньше, сложение, вычитание, умножение, деление с остатком, возведение в степень.

При изучении всех этих тем желательно иметь в голове три интерпретации натурального числа (здесь в порядке убывания важности):

Комбинаторная интерпретация. Число обозначает количество неких объектов в каком-то наборе. Если x>y, то это значит, что в наборе x больше объектов. Сложение чисел — это объединение двух наборов объектов (у одного человека 100 рублей, у другого 200 — сумма, это когда они скинулись). Умножение чисел — это способы составить пары. Например, у нас x мужиков и y баб. Умножение xy — это количество способов выбрать из них одну пару мужик-баба. Возведение в степень xy — это количество способов составить из алфавита, содержащего x символов, слова длины y. Именно комбинаторная интерпретация наиболее часто используется в приложениях математики, она же наиболее удобна при доказательстве арифметических свойств, она же наиболее близка к современному теоретико-множественному определению натуральных чисел.

Геометрическая интерпретация. Натуральное число — это отрезок на линейке. Сравнение чисел — сравнение отрезков по длине. Сложение чисел — склеивание двух отрезков. Умножение — площадь квадрата с заданными сторонами. Возведение в степень элементарной геометрической интерпретации не имеет (имеет интерпретацию в многомерной геометрии, но на начальном этапе об этом не стоит думать).

Индуктивная интерпретация. Натуральные числа получаются одно из другого, то есть есть выделенное число «ноль», и так же есть куча чисел, которые получаются прибавлением единицы. Другими словами для каждого числа определено число, следующее за данным. Эта интерпретация наиболее близка к тому, что рассказывают в начальной школе о том, что чтобы умножить x на y нужно посчитать сумму $latex x +\ldots + x$, где сложение происходит y раз. Аналогично возведение в степень — это многократное умножение.

В каких-то ситуациях полезна одна интерпретация, в каких-то другая. Например, свойства степени довольно легко выводятся из индуктивной интерпретации, однако в ней совершенно непонятно почему $latex xy = yx$, однако это же свойство элементарно видно в интерпретации геометрической или комбинаторной.

Весьма полезно, хотя и опционально, на начальном этапе изучить подробно алгоритмы операций в столбик (самое важное — деление в столбик), свойств делимости, алгоритм Евклида для нахождения наибольших общих делителей и вытекающую из него основную теорему арифметики. В прикладной математике эти вещи нужны довольно редко (если только вы не занимаетесь криптографией), хотя иногда встречаются. Алгоритм деления в столбик важен для понимания аналогичного алгоритма деления в столбик полиномов, который в свою очередь может быть полезен при решении уравнений и интегралов, хотя сами эти вещи тоже весьма необязательны — подавляющее большинство студентов оканчивают технические ВУЗы и решают интегралы не умея делить полиномы.

Если вы тяготеете не к прикладной математике, а к теоретической, то изложенное в прошлом параграфе для вас обязательно. Если математика вам нужна только с прикладной точки зрения, то вам достаточно знать формулировку основной теоремы арифметики, чтобы хотя бы на базовом уровне понимать важную роль простых чисел как строительных кирпичиков натуральных чисел. После основной теоремы арифметики совершенно обязательным для всех является доказательство теоремы Евклида — она отвечает на вопрос о том, сколько всего существует простых чисел. Это одно из самых простых и одновременно с тем сильных доказательств. Пропустить его никак нельзя.

Для людей, занимающихся информационными технологиями, равно как и для математиков-теоретиков, будет полезно изучить каким образом строится позиционная система счисления с произвольным основанием.

В качестве проверки того, насколько вы хорошо знаете арифметику натуральных чисел, попробуйте самостоятельно выполнить следующие не сложные упражнения:

а) Докажите лемму Евклида: если p — простое число, которое делит xy, то оно делит хотя бы одно из x и y (считайте эти числа взаимопростыми). Докажите это не пользуясь основной теоремой арифметики (поскольку она сама вытекает из леммы Евклида; при доказательстве полезно использовать следствие из алгоритма Евклида).

б) Докажите, что для того, чтобы число делилось на 3, надо чтобы сумма его цифр в десятичной системе счисления делилась на 3. Аналогично объясните как проверить делимость на 9.

в) Объясните, каким образом можно возвести число 123 в 64-ю степень, используя только 6 операций умножения.

3. Целые, рациональные, вещественные, комплексные числа

Их следует изучать именно в этом порядке. Возведение в соответствующие степени пока следует отложить.

Опять же, важно рассмотреть несколько интерпретаций. Для целых чисел вы можете рассматривать отрицательные числа как отрицательный денежный баланс (долги, недостаток средств), геометрически как продолжение линейки натуральных чисел в обратную сторону (сложение и умножение будет определяться как движение по этой линейке), либо как чисто формальную конструкцию: целые числа — это расширение натуральных чисел такое, что для каждого натурального x найдется новое число -x, обладающее свойством $latex x + (-x) = 0$. С этой точки зрения целые числа — это такое расширение натуральных чисел, чтобы всегда было возможно произвести операцию вычитания (для натуральных чисел $latex x-y$ имеет смысл лишь тогда, когда $latex x \ge y$).

При рассмотрении целых чисел хорошо обратить внимание на операцию модуля числа, он же абсолютное значение (чуть позже, после знакомства с тригонометрией и геометрией, проделать то же самое для модуля комплексного числа). Вы должны понимать откуда берутся формулы типа $latex ||x|-|y||\le |x-y|$.

Рациональные числа опять же можно рассматривать геометрически (доля целого отрезка), количественно (куски целого) и формально: как числа получающиеся из целых добавлением чисел вида 1/x для каждого ненулевого целого x, а так же всех их возможных произведений (из обычных свойств произведения будет легко вывести правила сложения дробей). Последний способ наиболее удобен для определения арифметических свойств. В этом случае рациональные числа — это такое расширение целых чисел, чтобы всегда было возможно выполнить операцию деления без остатка.

Отсюда полезно понять каким образом устроены десятичные дроби, затем вывести такую простую теорему: десятичное представление любого рационального числа либо конечно, либо периодично.

Для перехода к вещественным числам можно рассмотреть функцию квадратного корня и понять как его можно вычислить последовательным перебором. Затем показать, что корень из двойки не может быть рациональным, хотя вы можете его сколь угодно точно приближать поразрядно. Это даст основания для рассмотрения бесконечных непериодических десятичных дробей, которые и называются иррациональными числами. С точки зрения современной математики это самое неказистое и сложное определение, но оно позволяет понять что такое вещественное число не обладая никакой специальной подготовкой. Подробно доказывать арифметические свойства тут уже совершенно не нужно — знание как проводятся операции в столбик даст вам хорошую интуицию, а строгие формальные выкладки вы сможете понять позже, если будете копать в сторону теоретической математики.

С вещественными числами очень важен вычислительный аспект. Дело в том, что никакие счетные устройства, калькуляторы-компьютеры и прочие, не умеют работать с вещественными числами — только с рациональными, в силу того, что вещественное число требует для своего определения бесконечное число цифр. Таким образом всегда при вычислениях вы будете иметь некоторую погрешность. Будет полезно разобраться с тем, как увеличивается погрешность при выполнении простейших арифметических операций.

Про комплексные числа важно лишь знать, что $latex i^2 = -1$ и вывести отсюда формулы сложения, умножения и деления (в учебниках можно встретить много разных определений, чаще всего как пары вещественных чисел, но на начальном этапе самым корректным будет именно определение через формальную мнимую единицу). Это чисто формальная конструкция, которая должна стать понятнее, если вы справитесь с формальным определением отрицательных и рациональных чисел. Не пытайтесь найти комплексным числам физической или геометрической интерпретации — на данном этапе это совершенно ненужно и даже вредно.

Бытует мнение, что комплексные числа нужны только математикам, а простым инженерам они нужны не очень-то. Я спешу вас расстроить: без комплексных чисел не очень понятно как решать многие виды интегралов, рядов, дифференциальных уравнений. В теории вероятностей (крайне важная наука для анализа данных, а соответственно и для всяких там менеджеров, социологов и маркетологов) комплексные числа используются при определении характеристической функции, которая делает элементарными многие факты и вычисления в теории вероятностей. В современной геометрии комплексные векторные пространства позволяют эффективно исследовать свойства вещественной евклидовой геометрии и т. п. Можно было бы обойтись и без комплексных чисел, но тогда всё было бы намного сложнее. Тот факт, что комплексная арифметика не проходится ни в школах, ни почти в институтах, не делает её не нужной. Если вы хотите действительно стать нормальным инженером, вам строго необходимо понимание комплексных чисел.

Факультативно можно посмотреть в сторону кватернионов (там три разных мнимых единицы), октав (там их семь разных) и седенионов (там мнимых единиц пятнадцать). Это уже не является необходимым, но вероятно поможет понять формальность процедуры, которая даёт нам комплексные числа.

Для проверки того, насколько хорошо вы владеете арифметикой в этом пункте, попробуйте решить следующие упражнения:

а) Объясните, почему между любыми двумя вещественными числами найдётся сколь угодно много различных чисел, как рациональных, так и вещественных (здесь не требуется совершенно строгого формального доказательства, просто приведите рассуждения, убедительные лично для вас).

б) Объясните, почему не существует адекватного способа сравнивать комплексные числа на больше-меньше. (Подсказка: попробуйте определить является ли мнимая единица положительным или отрицательным числом).

в) Пусть рациональное число имеет вид a/bc, где b и c взаимопросты. Покажите каким образом отсюда можно получить его представление в виде $latex {a_1\over b} + {a_2\over c}$. Здесь, вероятно, вам будет полезно прочитать в общем виде об элементарных дробях (а для тех, кто интересуется теорией это вообще совершенно обязательно).

4. Начальная комбинаторика, матиндукция и суммы

Основы комбинаторики вы должны знать уже из изучения натуральных чисел. После того, как вам понятен комбинаторный смысл умножения и возведения в степень, надо идти дальше и понять что такое факториал, расстановки и сочетания. При изучении этого материала избегайте неинтуитивных рассуждений путём вывода формул одной из другой, а так же метода индукции. У каждой комбинаторной формулы есть простая интерпретация, которую и нужно понять, а вовсе не формальные выкладки.

Узнав про сочетания, которые называются так же биномиальным коэффициентом, изучите мультиномиальный коэффициент. Отсюда изучите Бином Ньютона (опять же не по индукции, а интуитивно комбинаторно — если вы хорошо понимаете биномиальный коэффициент, то сможете вывести формулу бинома как упражнение), а так же обобщение на случай суммы нескольких переменных (в этой ситуации биномиальный коэффициент заменяется на мультиномиальный).

Так же выведите $latex \sum_{k=0}^n {n\choose k} = 2^n$ и дайте комбинаторную интерпретацию этому результату.

Выведите по аналогии $latex \sum_{k=0}^n (-1)^k{n\choose k} = 0$.

Данные результаты очень просты, желательно, чтобы вы вывели их самостоятельно.

Следующая формула к комбинаторике имеет уже мало отношения, но имеет интуитивную связь с биномом Ньютона, если рассматривать его как «формулу сокращенного умножения» и доказывается во многом так же:  $latex x^n-y^n = (x-y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + \ldots + y^{n-1})$ — её нужно знать, особенно в частном случае для $latex n=2, 3$.

Полезно так же почитать про приём двойного счета, принцип Дирихле и правило включения-исключения, а так же рассмотреть примеры применения этих приёмов.

Обязательно поймите принцип математической индукции. В самой комбинаторике гигантское количество утверждений может быть доказано методом математической индукции (хотя лучше её именно в комбинаторике и избегать из-за неинтуитивности), полно доказательств есть из теории чисел. Полезно найти формулу и доказать её по индукции для сумм $latex \sum_{k = 1}^{N} k^p$ для значений p равных 1, 2 и 3. (Это не сложно сделать самостоятельно). Для теоретиков можно найти и разобраться в формуле Фаулхабера (позволяет считать такую сумму в общем виде) и числах Бернулли, но это уже только для теоретиков.

Так же изучите арифметические и геометрические прогрессии.

Для того, чтобы понимать как хорошо вы ориентируетесь в этой области, решите следующие упражнения:

а) Если в формуле разложения $latex x^n-y^n$ заменить y на -y, то можно понять каким образом записать аналогичную формулу для суммы $latex x^n+y^n$, однако это сработает лишь в случае нечетного n. Тем не менее, иногда может помочь замена y на мнимое значение iy. Покажите для каких n будет возможно подобное разложение суммы степеней n и запишите его.

б) Любое натуральное число можно записать в виде суммы других натуральных чисел. Например, $latex 10=2+7+1$. Таких разложений, естественно, очень много разных. Сколько именно? (Разложения следует рассматривать с точностью до порядка слагаемых).

в) Функция Эйлера $latex \phi(n)$ — это количество чисел, меньших чем n и взаимопростых с ним. Используя приём включения-исключения, выведите формулу для неё: $latex \phi(n) = n-{n\over p_1}-\dots-{n\over p_k}+{n\over p_1p_2}+\dots + (-1)^k{n\over p_1\dots p_k}$, где $latex p_i$ — простые множители числа n.

5. Графики функций

Прежде чем строить графики функций, необходимо сделать небольшую подготовку: научиться решать квадратные уравнения и делить полиномы в столбик. Квадратные уравнения необходимо уметь решать через дополнение до полного квадрата — именно этот подход даёт логичное обоснование формулы с дискриминантом. Сам приём дополнения до полного квадрата крайне часто употребляется в самых разных математических выкладках.

Необходимо знать как выглядят основные виды графиков: линейный $latex y = kx + b$, степенной $latex y = x^n$, график квадратичной функции $latex y = ax^2 + bx + c$ и дробно-линейный $latex y = {ax + b \over cx + d}$. График квадратичной функции поможет строить умение решать квадратные уравнения, график дробно-линеной функции как раз умение делить полиномы.

Если вам уже известен график некоторой функции $latex f(x)$, необходимо уметь построить так же график функций $latex |f(x)|$, $latex f(|x|)$, $latex f(x + a)$, $latex f(x) + a$, $latex f(ax)$, $latex af(x)$. Важно уметь строить график обратной функции.

Так же на этом этапе полезно иметь хотя бы общее представление о том как устроены графики функций комплексного переменного как отображение кривых комплексной плоскости.

Несколько простейших вопросов, которые напрямую не связаны с графиками, но имеют графическую интерпретацию:

а) Функция называется четной, если $latex f(-x)=f(x)$ и нечётной, если $latex f(-x)=-f(x)$. Охарактеризуйте четность и нечетность с точки зрения графика функции. Может ли функция быть одновременно и четной и нечетной? Перечислите все такие функции.

б) Функция называется периодической, если существует такое T, отличное от нуля, что $latex f(x + nT) = f(x)$ для любого $latex n$. Охарактеризуйте это определение с точки зрения графика функции. Существует ли такая периодичная функция, что любое значение T будет её периодом?

в) Пусть даны две функции. Как найти точки пересечения их графиков?

5. Уравнения, неравенства, системы уравнений

К этому моменту вы уже должны уметь решать квадратные уравнения и понимать принцип дополнения до полных квадратов. В качестве факультатива можете посмотреть как решаются уравнения третьей и четвертой степеней. Это не особо важно, но занятно. Тут надо сказать, что наиболее часто встречающийся подход — это использование формул Кардано и метод Феррари, которые могут показаться сложными. Есть однако и довольно элементарные подходы к решению уравнений третьей и четвертой степеней через обычные подстановки переменных и введение дополнительных неизвестных, чтобы подогнать формулу под вид квадрата. Такие подходы имеют ряд недостатков и не раскрывают свойств многочленов, но они довольно элементарны для понимания на школьном уровне. Разбор этих методов моет быть полезным упражнением.

Надо уметь решать основные виды частных случаев уравнений более высоких степеней. Например, уравнения вида $latex ax^{2n}+bc^n + c = 0$ или уравнения с симметричными коэффициентами.

Сразу стоит оговориться, что аналитически уравнения старше четвертой степени в общем виде не решаются — это утверждение составляет выдающуюся теорему Абеля. Среднему читателю нет смысла углубляться в доказательство, но интересующимся теоретической математикой я настоятельно рекомендую ознакомиться с книжкой «Теорема Абеля в задачах и решениях» Алексеева А.Б.

Нужно знать основную теорему алгебры. Она заключается в том, что любой полином имеет комплексный корень. На данном этапе понять строгое доказательство этой теоремы вам не удастся, но элементарная интуиция о графиках комплексных функций может подсказать почему теорема верна. Для этого можно рассмотреть образ произвольной окружности в комплексной плоскости для произвольного полинома. Этим образом будет некая замкнутая линия. Начало координат окажется либо внутри этой линии, либо снаружи. В первом случае можно уменьшать радиус начальной окружности пока линия не пересечет начало координат (точка пересечения и будет корнем), во втором наоборот увеличивать радиус до пересечения образа с началом координат. В этом доказательстве очень много дыр, но пока вы вряд ли сможете сформулировать что-то более строгое. Однако такая иллюстрация даёт неплохую интуицию и понимание, строгость же придёт позже.

Из возможности делимости полиномов (с остатком и без) и из основной теоремы алгебры должен стать очевидным тот факт, что любой полином n-ой степени представим в виде $latex a\prod_{i=0}^n (x-x_i)$, где $latex x_i$ — комплексные корни данного полинома. Отсюда элементарно выводятся формулы Виета в общем виде (если вы вывели сами Бином Ньютона, то и формулы Виета отсюда выведете). Если мы знаем, что все корни многочлена рациональны, то из формул Виета следует очевидный способ нахождения их перебором.

Если известно, что комплексное $latex x_0$ является корнем многочлена $latex f$ с вещественными коэффициентами, то подставив в него сопряженное $latex \bar{x_0}$, мы убедимся, что оно так же является корнем. Отсюда можно получить аналогичное данному выше представление вещественного многочлена в виде $latex a\prod_{i=0}^n (x-x_i) \prod_{j=0}^m (x^2+p_jx+q_j)$, где используются уже только вещественные корни и коэффициенты. Теперь очевидно, что любой вещественный многочлен нечетной степени имеет вещественный корень.

В качестве дополнения, но очень важного и интересного, я рекомендую на этом этапе узнать про производящие функции. Их почти нигде не проходят в России на инженерных специальностях, но однако они крайне важны в современной науке и имеют широчайшие применения. В комбинаторных задачах средней сложности и некоторых смежных областях (анализ последовательностей, теория вероятностей) это сейчас  один из самых широкоупотребимых математических инструментов.

С неравенствами всё довольно просто — достаточно понять как решаются базовые случаи на уровне задачников к ЕГЭ. Там нет ничего сложного. Аналогично с системами уравнений. Важно понять общий принцип решения систем уравнений через выражение вначале одной из n переменных через $latex n-1$ других, затем подстановкой этого значения в систему, выражения одной из оставшихся через остальные и т. д.

Можно посмотреть так же в сторону метода Гаусса решения систем линейных уравнений, но на самом деле это пока не обязательно — мотивация для решения таких систем и их важность станут понятны несколько позже.

Упражнения:

а) Решите уравнение $latex x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x +1 = 0$ меньше чем за две минуты.

б) Используя формулы Виета, получите представление для дискриминанта квадратного уравнения в виде $latex D = a^2(x_1-x_2)^2$, где $latex x_i$ — корни многочлена. В отличие от привычной школьной формулы, это определение обобщается на случай многочленов произвольного порядка: $latex D = a_0^{2n-2}\prod_{i<j} (x_i-x_j)^2$. Пользуясь этим определением и формулами Виета найдите дискриминант для многочлена $latex x^3 + px + q$.

в) При каких параметрах a уравнение $latex \sum_{i=1}^x {1\over i(i+1)} = a$ имеет решение и какое? (Стоит рассматривать только целые $latex x\ge 1$).

6. Показательная и логарифмическая функции

Определить строго эти функции в школьном курсе весьма сложно, поэтому придётся опираться не на строгость, а на интуицию.

Начать следует с показательной функции $latex a^x$. Как строить такую функцию для целых $latex x$ понятно (из индуктивного определения легко следует как считать отрицательные целые степени). Степень вида $latex a^{1/x}$ можно определить как корень степени $latex x$ и использовав приём поразрядного подбора. Это следует из свойства $latex (a^b)^c=a^{bc}$. Воспользовавшись этим же свойством еще раз, можно определить возведение в любую рациональную степень.

Теперь встает вопрос как определять значения для иррациональных показателей степеней. Поскольку каждое иррациональное число сколь угодно точно может быть приближено рациональным числом, то и иррациональные показатели степени могут быть приближены рациональными степенями. Опять же строгое проведение этих рассуждений требует базовых сведений о пределах и топологии, поэтому на среднешкольном уровне оно невозможно. Однако можно найти много неформальных рассуждений в этом ключе, дающих хорошее понимание и интуицию.

Когда определена показательная функция, можно определить логарифм как функцию, обратную к показательной.

Следующими шагами является изучение максимума свойств логарифмов и показательных функций, включая неравенства и вид их графиков. Полезно почитать про выпуклость логарифма и показательной функции и следующих из этого неравенств.

Упражнения:

а) Пусть дано произвольное натуральное число x. Сколько разрядов потребуется для его записи в позиционной системе счисления с основанием k? (Для тех, кто пропустил системы счисления, рассмотрите только случай $latex k=10$).

б) Используя выпуклость логарифма докажите неравенство Юнга: $latex ab \le {a^p\over p} + {b^q \over q}$ при $latex {1\over p} + {1\over q} = 1$, $latex p,q\ge 1$ и $latex a,b\ge 0$. Факультативно можете посмотреть в учебниках как из него выводятся неравенства Гёльдера и затем Минковского (сейчас это не необходимо, но позже они сыграют важную роль).

в) Используя неравенство $latex a^x \ge x + 1$ докажите, что среднее геометрическое всегда меньше либо равно среднему арифметическому.

7. Геометрия

Если курс школьной алгебры составлен хоть как-то более-менее нормально, то школьная геометрия представляет собой полностью провалившуюся концепцию. Геометрия Евклида в том виде как он её излагал крайне не строга (даже самую первую теорему в своих «Началах» сам Евклид доказывает некорректно), а доказываются в ней зачастую совершенно интуитивные вещи, которые можно было бы и не доказывать. О самой сути и назначении доказательств я скажу немного в конце, пока же обозначу то, что требуется знать.

Во-первых, надо узнать про сумму углов n-угольников. Это очень простая теорема. Употребляется она не часто, но не знать её стыдно.

Затем надо принять число 2π как длину окружности единичного радиуса. Никакой строгости тут быть не может — школьник (да и студент технического ВУЗа) чисто физически не сможет определить понятие длины, а уж тем более доказать, что окружность этой самой длинной в принципе обладает. Это действительно не простые всё вопросы, требующие значительной подготовки, поэтому просто примите большую часть очевидных фактов как должное.

Затем полезно (но не обязательно) доказать (не слишком строго опять же) формулы площади и периметра для окружностей произвольного радиуса, в предположении, что радиус единичной окружности равен 2π, что мы пока условились принимать как аксиому.

Изучите измерение углов в радианах и как считать длину дуги окружности (можно пока только единичной).

Покажите, что если из одной точки A исходит два луча, пересекающих линию L в точках B и C, и линию L’, параллельную L, в точках D и E, то $latex {AB\over AC} = {AD \over AE}$. Это и подобные соотношения дают основания для введения тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса. Определяемые изначально как отношения между сторонами прямоугольного треугольника, тригонометрические формулы оказываются зависимыми в действительности не от сторон этого треугольника, а только от угла, что и должно быть видно из выведенного выше соотношения.

Используя тригонометрические функции научитесь определять площади и высоты простейших геометрических фигур.

Докажите теорему Пифагора и из неё установите основное тригонометрическое тождество $latex \sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и его следствия.

Докажите теорему синусов (для этого вам предварительно придется немного покопать свойства вписанных в окружность углов).

Изучите основы векторного исчисления в случае плоскости. Из многих подходов к изучению векторов следует выбирать те источники, где вектор представляется парой вещественных чисел, а арифметические операции над ним как покоординатные операции. Вы должны усвоить сложение векторов (правило параллелограмма), умножение на скаляр, понятие о сонаправленности и параллельности векторов, скалярное произведение и его связь с углами, проекции.

Из векторного исчисления выведите теорему косинусов. Из теоремы косинусов и основного тригонометрического тождества — формулу Герона.

Докажите теперь теорему Пифагора в чисто векторном смысле: определив ортогональность (перпендикулярность) векторов как $latex (x, y) = 0$ установите равенство $latex \|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$ для ортогональных векторов.

Рассмотрите уравнения прямой и окружности на плоскости. Если в дальнейшем вы хотите изучать теоретическую математику — изучить так же свойства инверсии.

Полезно изучить так же золотое сечение.

Упражнения:

а) Докажите неравенство Коши-Шварца (его еще называют неравенством Коши-Буняковского): $latex |(x, y)| \le \|x\| \|y\|$.

б) Дана единичная окружность с центром в начале координат. Найдите все уравнения прямых, проходящих через заданную точку $latex (x_0, y_0)$ и касающихся этой окружности.

в) Каждая точка плоскости может быть представлена парой координат $latex (x, y)$. Существует ли такая прямая, которая проходит в точности через одну точку, у которой обе координаты рациональны? (Более сложный вариант: установить существует ли прямая, которая вообще не проходит через точки с двумя рациональными координатами).

8. Тригонометрия

Рассматривая единичную окружность определите значения тригонометрических функций для произвольных аргументов углов. Отсюда установите периодичность тригонометрических функций, четность, нечетность, свойства типа $latex \sin(x+\pi/2) = \cos x$. Докажите неравенство $latex \sin x \le x \le \tan x$.

Самые сложные формулы, которые надо изучить в самом начале, это формулы синуса и косинуса суммы: $latex \sin(x+ y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ и $latex \cos (x + y) = \cos x \cos y-\sin x\sin y$. Их доказательство обязательно надо найти.

Затем надо научиться выводить кучу тригонометрических тождеств. Главные тут это тригонометрические формулы двойных углов, половинных углов и суммы и произведения тригонометрических функций. Выясните как они получаются. Время от времени они нужны, но довольно глупо пытаться их запомнить — правильнее помнить как они выводятся, это куда практичнее и проще.

Научитесь строить графики тригонометрических функций. Изучите обратные тригонометрические функции. Научитесь решать тригонометрические уравнения и неравенства.

Изучите геометрическую интерпретацию комплексных чисел и их тригонометрическое представление. Разберите формулу Муавра и вычисление комплексных корней. Применяя формулу Муавра и Бином Ньютона получите формулу n-кратного угла для синуса и косинуса.

В общем-то главная суть тригонометрии на данном этапе — усвоить всевозможные манипуляции с тригонометрическими тождествами и ряд стандартных трюков при решении уравнений. Здесь опять же можно почитать материалы для подготовки к ЕГЭ — какой-то специальной теории на данном этапе не удастся рассмотреть.

Уражнения:

а) Преобразуйте выражение $latex \sin\arctan x$ так, чтобы оно не содержало арктангенса (и любой другой обратной тригонометрической функции).

б) Пусть $latex \epsilon_n^k$ — k-ый комплексный корень n-ой степени из единицы. Докажите, что $latex \sum_{k=1}^n \epsilon_n^k = 0$.

в) Придумайте формулу разложения для произвольной суммы $latex x^n+y^n$.

9. К начальному институтскому курсу

Изложенного выше достаточно для того, чтобы начинать читать университетские учебники. Области математики, которые необходимо изучать, очень зависят от того, чем вы планируете заниматься. Я дам краткий ориентир что и как читать по самым основам в самом начале — все это вам пригодится 100%.

Одномерный анализ: это пределы, производные, интегралы и ряды. На начальном этапе я бы посоветовал избегать вникания в формализм. Запись $latex \lim_{x\to a} f(x) = b$ означает, что при приближении аргумента x к a, значение функции приближается к b. Довольно очевидно, что функция $latex 2f(x)$ при этом будет приближаться к значению $latex 2b$ даже без строгих доказательств. Если вы начнете зарываться в эпсилон-дельта формализм, который преподаётся в ВУЗах, то потратите уйму времени и ничего не поймёте. Причины ненужности этого формализма я подробнее поясню ниже.

По пределам вы должны усвоить два золотых предела, теорему Штольца (её возможно отложить на время, пока не займётесь формализмом), изучить о-нотацию и свойства бесконечно малых и бесконечно больших.

При изучении производных вы должны уметь выводить все формулы дифференцирования. Изучение дифференциала и производной композиции и обратной функции скорее всего получится весьма неформальным.

При изучении производных важно понять геометрический смысл и как он помогает определять экстремумы и области выпуклости функции, теорему Ролля, теорему Лагранжа, теорему Коши о среднем значении, правило Лопиталя, изучить ряды Тейлора, изучить взаимосвязь корней полинома с корнями его производной. Опять же, в большинстве случаев подойдут неформальные рассуждения.

Про интегралы важно узнать основную теорему анализа, правило интегрирования по частям и как производить замену переменных. Опять же важно узнать как интегрируются все стандартные функции, включая рациональные дроби (интересно посмотреть прием интегрирования Остроградского).

Про ряды особо ничего знать не надо. На практике вам мало что из теории рядов пригодится, кроме как самих рядов. То есть сама теория ставит много вопросов о сходимости, равномерной сходимости и подобном, однако все реальные ряды, которые встретятся на вашем жизненном пути, будут обладать весьма хорошими свойствами сходимости и не потребуют какого-либо специального анализа. Про это я опять же напишу ниже подробнее. Из прикладных аспектов хорошо посмотреть арифметические операции над рядами, как с помощью рядов решаются дифференциальные уравнения и как выводятся ряды для основных школьных функций. Посмотрите так же на аппроксимацию Стирлинга (в общем виде вы пока её не сумеете понять, но простейшее приближение $latex n! \sim \sqrt{2\pi n}(n/e)^n$ вы уже должны быть способны получить из Гамма-функции, пусть и не совсем формально).

Читать по анализу рекомендую учебники Зорича и Лорана Шварца. Если решите брать другой учебник и копать теорию, то критерием выбора книги должно быть использование языка топологии и векторных пространств в книге, а не эпсилоны и кучи неравенств.

Основы теории множеств. В теории множеств на начальном этапе надо понять операции над множествами и общее определение функции (как подмножество декартова произведения), такие свойства как инъективность, сюръективность и подобные, а так же ассоциативность композиции функций. В детали залезать с самого начала нет смысла, но ассоциативность композиции важно уметь доказывать. Читать можно что угодно, в том числе мой учебник (если хотите хардкора).

Основы линейной алгебры. Обозначить наиболее важные темы в линейной алгебре довольно сложно — там в принципе неважного нет. Поначалу можно опустить изучение тензоров, но это в принципе всё. При изучении линейной алгебры следует обращать внимание на следующие аспекты:

1) Материалы, которые вы будете читать, должны по минимуму использовать матрицы и по максимуму линейные операторы. В идеале вы не должны закладываться вообще на существование какого-либо базиса в линейном пространстве. Вы вначале должны узнать что такое линейный оператор, и лишь потом что такое матрица. Никак иначе.

2) Ваши учебники должны по минимуму опираться на определители и по максимуму на собственные вектора. Если учебник постоянно навязывает вам вычисление всяких там миноров и алгебраических дополнений с доказательствами по индукции, вместо того, чтобы применять формулу Гаусса или приводить матрицу к диагональному виду, вы такой учебник должны разорвать, выкинуть и сжечь.

3) Сам определитель должен быть определен как кососимметрическая форма либо как направленный объём. Если вам изначально предлагается формула с разложением по строке или столбцу, либо же здоровая сумма с перестановками коэффициентов — такой учебник так же никуда не годится (исключение составляет учебник Кострикина).

Именно с точки зрения линейной алгебры нужно подходить к евклидовой геометрии, вы должны постоянно держать в голове как проходимый вами материал может быть применен к геометрии и пытаться решать геометрические задачи методами алгебры.

Из конкретных учебников советую учебник Винберга, Кострикина и совместный учебник Кострикина и Манина. Говорят, что хороший учебник Шелдона Акслера «Linear Algebra Done Right», но сам я его не читал.

Многомерный анализ. Здесь на начальном этапе важны лишь производные и интегрирование. Производные хорошо изучать как аппроксимации произвольных функций линейными операторами. Здесь уже получится корректно и понятно ввести понятие дифференциала и изучить в общем виде свойства производных, которые ранее изучались неформально (типа производной композиции и обратных функций). Изучите обязательно как решаются оптимизационные задачи и условия для экстремумов (тут же посмотрите в сторону градиентной оптимизации).

В интегрировании опять же не стоит углубляться в теорию — просто посмотрите как считаются стандартные примеры интегралов. Например, обратите внимание на вычисление интеграла Гаусса и вычисление объема n-мерной сферы. Из теоретически важного можно выделить теорему Грина и интегрирование потенциальных векторных полей. Учебники все те же Зорича и Шварца.

Теория вероятностей и основы статистики. Эти темы сейчас являются очень важными практически во всех областях. Вообще очень сложно представить себе область знаний, которая не требовала бы понимания этих дисциплин. По теории вероятностей нужно знать аскиомы и свойства случайных событий, случайные величины и их характеристики (вы должны понимать, например, как связано скалярное произведение и СКО, а так же почему именно ковариационная матрица является положительно-определенной), иметь представление о характеристической и производящей функции. Полезно залезть в основы теории информации.

По статистике надо знать основы оценивания (включая информацию Фишера и информационное неравенство), проверки гипотез, понимать чем отличаются частотный и байесов подход, знать какие-нибудь алгоритмы анализа независимых компонент. Область эта сейчас очень динамично развивающаяся и полезно посмотреть просто современные статьи — они редко являются сложными, но содержат часто интересные и продуктивные идеи.

Комплексный анализ. Курсы комплексного анализа все довольно стандартны, можете брать любой, хотя комплексный анализ нужен уже только тем, кто собрался двигаться дальше. Хорошим критерием того, что вы неплохо разобрались в теме, является понимание как интегрировать и суммировать с помощью вычетов (вы должны быть способны посчитать сумму $latex \sum_{k=1}^{+\infty} {1\over k^2}$), умение доказывать основную теорему алгебры в одну строчку и понимание почему голоморфность эквивалентна аналитичности. С точки зрения комплексного анализа удобно рассмотреть анализ Фурье (хотя, если углубляться в теорию, еще лучше рассматривать эти темы с точки зрения функционального анализа).

10. Что дальше

Дальнейшее изучение зависит от того что вам надо. Приведенной мной выше список понадобится практически любому человеку, кто хотя бы косвенно связан с математикой. Естественно, что в конкретных областях знаний требуется отдельные разделы математики, которые надо изучать независимо. Например, если вы занимаетесь криптографией, вам потребуется серьезная подготовка по теории чисел и алгебре. Если в каких-то инженерных или физических задачах вам нужна теория поля (та что про ротор и дивергенцию), то вам будет полезно изучить основы топологии и дифференциальные формы с общей формулировкой теоремы Стокса. Если вам нужна вычислительная математика и анализ данных, то вам надо читать про численные методы, методы оптимизации и подобное. Если вы финансовый аналитик, вам потребуются случайные процессы и анализ Ито, а если экономист, то теория игр. Инженерам и физикам очень нужны дифуры и вариационное исчисление, а физикам-теоретикам вообще очень много чего надо из того, что я в этой подборке даже издали не касался.

По этой причине дать какие-то общие рекомендаций тут уже невозможно, после изучения того, что я изложил выше, надо смотреть нужное именно вам лично. Если вы хотите закрыть дырки в доказательствах, которые возникли при изучении, то вам уже следует изучать теоретическую математику — вначале теорию множеств (в части про бесконечные множества, аксиому выбора и ординалы), общую топологию и алгебру, затем функциональный анализ. Этого будет достаточно для того, что доказать и понять правильно как идейно, так и формально абсолютно всё, что могло вам встретиться в школьном и университетском курсе. Многие вещи вы определите при этом уже совершенно по-иному: так, вы поймёте, что самым корректным определением тригонометрических функций являются ряды, узнаете про интеграл Лебега, многообразия, из функционального анализа вы по-другому взгляните на вопросы сходимости, ну и так далее. После перечисленного уже можно ориентироваться на широкоизвестные списки типа списка Вербицкого или списка для студентов НМУ. Это собственно самое адекватное что есть.

Задачи

Надо сделать немного замечаний о том, как вообще изучать материал, потому что привычная схема изучения, которую навязывает школа и институт, очень глупа и не правильна в корне.

Институт и школа приучают решать кучу однотипных примеров на одни и те же темы. В школе вначале решается куча уравнений, потом куча неравенств, потом куча систем уравнений. В институте вначале куча пределов, потом куча производных, потом куча интегралов, потом куча дифуров. Причем чем больше и сложнее задачи, тем лучше, как считается, учат. Надо быть очень глупым человеком, чтобы правда верить в то, что это зачем-то может вообще пригодиться.

Задачи имеет смысл решать преследуя лишь одну цель: чтобы лучше понять материал. В этом плане вам могут пригодиться либо совсем простые задачи на несколько минут раздумий, которые помогают, если вы начинаете путаться в материале и теряете нить рассуждений, либо же сложные задачи, которые займут у вас уйму времени и вы вообще не факт что с ними справитесь, однако во время раздумий над задачей вы выполните определенное самостоятельное исследование темы. Даже если вы ничего нового в ходе этого не узнаете, вы пощупаете материал и уже будете в нем увереннее себя чувствовать.

Вообще в задачах не важно смогли вы ее решить или не смогли — важно лишь то, вынесли вы из процесса решения что-либо или нет. Ситуация, когда задачи решаются на время у доски под надзором учителя или в листке с контрольной работой призваны лишь проконтролировать, что ученик выполнил приказ учительницы и зазубрил нужную формулу. Есть определенный статистический интерес в контрольных с простыми быстрыми вопросами, чтобы учитель понимал догоняет ли вообще класс в целом что происходит на доске и какие темы требуют дополнительной проработки, но это именно статистическая мера, а не оценка понимая конкретного студента. О понимании конкретным студентом материала тут речи идти не может вообще никакой.

Часто учителя на этот аргумент возражают, что, мол, у доски отрабатываются основные техники решения. Однако и это является не правдой: никаких основных техник решения задач не существует. Посмотрите на доказательства теорем — в них нет ничего общего с теми тысячами однотипных задач нарешиваемых у доски. Если вы посмотрите в какие-то прикладные области науки, то убедитесь, что вообще все задачи даже на те же пределы или интегралы, которые в принципе способны попасться на практике, либо решаются совсем тривиально, либо наоборот очень сложно с помощью какого-либо хитрого трюка, который все равно в институте не изучался, либо вообще не решаются напрямую и там требуются численные решения.

Мой личный подход к задачам — не решать их вообще. Я за них берусь лишь когда чувствую, что начинаю плавать в изучаемом, и тогда прорешиваю простые задачки. Вместо же сложных задач я пытаюсь самостоятельно доказывать теоремы (прежде чем я читаю доказательство, я пытаюсь придумать его сам). Сложные задачи иногда я тоже решаю, но я их как правило сам себе ставлю, те же задачи, что ставит мне кто-то в учебнике у меня обычно нет мотивации решать, хотя это зависит от темы и от учебника.

Человеку, изучающему математику, есть смысл следовать именно этому принципу: решать лишь несколько задач на каждую тему и стараться во время решения оценить насколько вы понимаете саму тему, а не ориентироваться на вашу способность или неспособность решать задачу. Это важно так же и поскольку разные учебные пособия подразумевают совершенно разный уровень подготовки по смежным дисциплинам и различное планируемое время, которое требуется затратить на решение. Если у вас не получается решать задачи, то скорее всего это от того, что составитель учебника лично на вас не ориентировался, а не потому что вы тупой. Аналогично если вы легко решаете задачи, то скорее всего вы и не выносите из решения ничего для себя, и это так же плохо подобранный материал.

Доказательства

К доказательствам отношение в школе и в институте так же формируется некорректное. Надо понимать три вещи:

1) Целью доказательства является логически корректное убеждение спорящего оппонента, а не достоверное установление истины.

2) Достоверно корректных доказательств вообще почти не существует.

3) Доказательств каждого отдельного факта чаще всего существует довольно много и нет никакого единого доказательства, которое надо знать.

Я поясню что я имею ввиду.

Во-первых, вы должны знать, что вы скорее всего не видели ни одного действительно полноценного и строгого доказательства в своей жизни (это не относится к математикам-теоретикам и логикам). Большая часть доказательств в математике в том виде, как она представлена в учебниках, совершенно не формальна и содержит огромное количество дырок, и это не недостаток учебников, а суть нашего мышления.

Возьмём аксиомы Евклида и его книгу «Начала». Как я уже упоминал, в ней первая же теорема доказана некорректно. Некорректность заключается в том, что Евклид полагал очевидным тот факт, что две достаточно близко располагающиеся друг к другу окружности обязательно пересекутся (в его случае когда радиус равен расстоянию между центрами окружностей). Это действительно кажется очевидным, но, оказывается, из аксиом Евклида это невозможно доказать, и причина кроется в том, что его аксиомы не раскрывают сути непрерывности линии — вполне может быть, что окружности содержат большое количество «щелей», говоря неформально, в своей внутренней структуре, и если пересечение придется на такие «щели», то никакого пересечения по сути и не будет — у окружностей не найдется в этом случае общих точек.

Это очень тонкий момент, но для полноты строгости его необходимо рассматривать. Это приводит к тому, что вместо пяти аксиом Евклида приходится рассматривать двадцать аксиом Гильберта, которые закрывают дырки Евклидовой геометрии. Но возникает резонный вопрос: а нужна ли нам вообще такая строгость? Что реально получает студент-инженер или школьник, рассматривая вместо пяти аксиом двадцать аксиом? Ведь скорее всего эти щели в окружностях ему будут совершенно непонятны и будут казаться надуманными — чтобы вполне осознать их возможность, надо предварительно изучить понятие полноты метрических пространств, а это уже довольно продвинутый теоретический материал. Изучение же метрических пространств без предварительной геометрической интуиции так же будет бессмысленным.

Здесь как раз возникает вопрос убедительности. Аксиомы Евклида были сформулированы в третьем веке до нашей эры, а их неполнота стала понятна лишь во второй половине XIX-го века. Во весь этот промежуток времени ни у кого не было никаких сомнений в верности доказательств Евклида. В школе до сих пор используются аксиомы и доказательства Евклида — они некорректны, что очевидно любому математику, но они в то же время убедительны, и никого в школе они не смущают. Но тогда возникает вопрос, стоит ли тратить время вообще на эту формулировку неполноценных аксиом и неполноценные доказательства? Так факт, что вертикальные углы равны между собой очевиден на глаз, и никакой школьник никогда не поймёт зачем это надо доказывать. Так не логично ли выкинуть это доказательство вообще из курса школьной геометрии, наряду с другими? Моя программа по геометрии, данная выше, как раз предполагает именно подход доказательств, беря за основу не аксиомы и строгие выводы, а очевидные соображения.

Аналогичная ситуация наблюдается в матанализе. Исторически производные, пределы, интегралы и ряды появились гораздо раньше, нежели они были формально обоснованы с точки зрения эпсилон-дельта формализма. Такой выдающийся математик как Эйлер доказал огромное количество теорем, но за эти доказательства в современном российском ВУЗе ему поставили бы твёрдый кол: Эйлер просто не знал о том, что надо еще доказывать всякие там сходимости, произнося слова типа «для любого эпсилон больше нуля, существует такое эн, что…» Тем не менее, доказательства Эйлера казались совершенно строгими и убедительными его современникам — в то время никто не занимался поиском контрпримеров и тонким анализом сходимости.

Что здесь важно заметить: при всей нестрогости доказательств Эйлера, результаты, которые он получил (даже самые невероятные), оказались верны. Почему так произошло? Как я уже упоминал выше, вам очень маловероятно что попадутся примеры функций, обладающих какими-то неприятными свойствами, а если они и будут, то эти неприятные свойства чаще всего будут совершенно очевидны. Чтобы сконструировать какой-то контрпример, в котором будет важно тонко анализировать свойства сходимости, надо очень здорово попотеть. Посмотрите, к примеру, книгу Гелбаума и Олмстеда «Контрпримеры в анализе». Вы очень быстро поймёте, что такие функции вам никогда не понадобятся на практике.

На самом деле даже при всем желании провести корректное полноценное доказательство и построение математики, вам этого не удастся. Институтский эпсилон-формализм преподаватели обычно позиционируют как полноценное доказательство, хотя на самом деле это очень далеко от истины: студентам инженерных специальностей не доказывают, что вещественная прямая полна, а стало быть может случиться такое, что последовательность хоть и сходится по признаку Коши (является фундаментальной), но не имеет предела, ведь вещественные числа как пополнение рациональных на инженерных специальностях не вводятся — вещественные числа подразумеваются там чем-то очевидным, хотя это далеко не так.

Даже если определить вещественные числа как пополнение рациональной прямой, остаётся вопрос как ввести рациональные числа. Положим, с ними проблемы большой нет, в предположении того, что мы владеем теорией натуральных чисел. А как определить натуральное число? Очень непонятный и неочевидный (без дополнительной подготовки и подробного изучения вопроса) способ предоставляет теория множеств, которую лишь на базовом уровне преподают лишь на некоторых специальностях.

Тут возникает проблема аксиоматизации теории множеств, поскольку наивные представления о множествах тут же приводят к чудовищным противоречиями. Возникает потребность в строгой аксиоматике на языке формальной логики. Здесь уже сразу возникает вопрос о том, что аксиоматизаций теории множеств существует много разных и хорошо бы обсудить со студентами их различия, а так же следующие из некоторых из них парадоксы. Но даже если рассматривать лишь одну какую-нибудь аксиоматику, возникает вопрос строгого обоснования используемой логики, на которой мы формулируем аксиомы. Логических парадоксов ведь тоже довольно много, да и самих разновидностей логики существует изрядное количество: какое-то время назад многие математики активно выступали против классической логики в пользу интуиционистской, но даже в рамках привычной всем логики возникают вопросы использования логики более высокого порядка нежели первого, или необходимости рассматривать модальную логику, или же нашей правомочности в принципе рассматривать объекты бесконечной природы. Во Вселенной ведь судя по всему лишь конечное число частиц, так имеем ли мы право мыслить о всяких там континуумах и счетных множествах в математических рассуждениях? Не является ли это всё одним большим заблуждением? Эти вопросы не стоят сейчас на полном серьезе в математике, но тем не менее они показывают, что корректность математического доказательства — вещь очень относительная.

Конечно, какого-то уровня строгости рассуждения надо придерживаться, но непонятно кто имеет эксклюзивное право устанавливать эту границу формальности, которой должен следовать учащийся. Кто вообще придумал, что ровно эпсилон-формализм (или любой другой) является необходимым формализмом для любого студента? Почему в институте не принимают графические «доказательства», но принимают рассуждения никак не обозначающие свойства полноты вещественной оси и измеримости множеств, как данное?

Способен ли этот формализм, преподающийся на инженерных специальностях, убедить глубоко мыслящего, понимающего и дотошного человека? Очевидно, нет. Делает ли этот формализм материал проще и интуитивнее? Тоже, очевидно, нет. Является ли сам этот подход широко применимым и полезным? Да он вообще устарел, чрезвычайно сложен и громоздок. Сам Коши, используя эпсилоны и дельты, очень часто лепил ошибки и после публикации какой-нибудь «теоремы», тут же выпускал вторую публикацию вдогонку в духе «ой, извините, я ошибся, на самом деле там вот так должно быть». В современной математике этот формализм заменен более общими и простыми концепциями. Так логично ли требовать от студентов знать и изучать это? Существует ли вообще какой-либо формализм и доказательства, которые необходимо знать?

Поэтому я и утверждаю, что цель доказательства — убедить. В научном сообществе задачей является убеждение рецензентов. Это довольно хороший подход: если большое количество профессионалов за какое-то время, подробно изучая ваше рассуждение, не нашло в нем никаких недочетов и контрпримеров, мы можем утверждать, что это доказательство, видимо, хорошее. С точки зрения абсолютности философской истины это конечно же не так, но для научной практики этого достаточно.

Для студента задачей доказательства так же является убеждение, но в данном случае уже самого себя. Когда вы убедили себя в верности какого-либо утверждения и оно не вызывает у вас сомнений, вы можете считать, что вы это понимаете. Только когда у вас нет сомнений в истинности теоремы, вы можете её смело применять.

Предположим, вы начали изучать натуральные числа и хотите понять, почему $latex xy=yx$. Предположим, что вы перебрали очень много пар чисел (скажем, сто разных пар), и убедились, что во всех этих случаях данное свойство выполняется. Допустим, вы сочли, что этот перебор является замечательным доказательством требуемого утверждения, настолько замечательным, что вы сами вполне убеждены в верности теоремы и не мыслите себе иного. Учитель в институте скажет вам на такое доказательство, что вы идиот и отправит служить в армию. Я же вам скажу, что вы молодец, вы действительно доказали этот факт для себя и можете переходить к следующей теме. Через какое-то время, может быть при изучении графиков функций, может быть при изучении производных, вы всё же поймёте, что ваше доказательство никуда не годится — тогда вы вернетесь в самое начало и докажете это же самое свойство чисел уже по-другому. И будет наивно думать, что это станет окончательным вашим доказательством.

Идеальная ситуация — это когда у вас есть учитель, который показывает вам в чем ваше доказательство не верно. Если вы считаете какой-то шаг очевидным, учитель должен вам показать ситуацию, в которой такой шаг является явно некорректным. В некоторых книжках для некоторых доказательств отдельно рассматриваются тонкие моменты самих доказательств, но это лишь частные случаи. По большому счету у самоучки нет никакого способа достоверно проверить является ли его понимание доказательства полноценным или нет — единственный критерием здесь является лишь ваша личная убежденность в правильности доказанного утверждения. Чаще всего и у студента технического ВУЗа тоже нет такого учителя, который способен показать неверность доказательства — там требуется лишь ответ в соответствии с программой и не более того. Понимания от вас не требуют, дать вам это понимание там никто не способен.

Сказанное имеет важное методическое следствие. Во-первых, вы должны принять за правило не изучать строгие формальные доказательства на более глубоком уровне, чем это требуется лично вам. Если вам очевидно, что $latex xy=yx$ из геометрических построений, не стоит лезть в теорию множеств. Если вам очевидно, что предел суммы равен сумме пределов, потому что это довольно логично (если $latex x_n$ приближается к $latex a$, а $latex y_n$ приближается к $latex b$, то было бы странно, если бы $latex x_n+y_n$ приближался к чему-то иному, нежели к $latex a+b$), то наплюйте на строгое доказательство. Именно сам эпсилон-формализм вам нигде кроме этого и парочки подобных очевидных доказательств не пригодится. Так не тратьте время.

Второй методический момент связан с тем, как вообще человек мыслит при доказательстве чего-либо. Я очень сильно сомневаюсь, что какой-либо математик начиная думать о теореме, начинает с того, что произносит в голове фразу: «Пусть функция f равномерно непрерывна на замкнутом интервале $latex [a;b]$ и дифференцируема по крайней мере десять раз в некоторых окресностях точек x, y и z; выберем для каждой из этих точек такое положительное эпсилон и натуральное эн-большое, что…». Люди просто не умеют так думать, хотя это именно то, что требуют отвечать в институте.

Можно рассмотреть набросок доказательства основной теоремы алгебры, который я привёл выше. Данное «доказательство» совершенно неформально и не строго, но это хорошая идея, которая подсказывает, каким путем идти дальше. Попытки формализовать это доказательство и заполнить пробелы, которые имеются, приводят уже к доказательству в том виде, как оно публикуется в учебниках и научных статьях. Со всякими эпсилонами  и эн-большими. Но изучать математику именно в таком формализованном виде, не пытаясь обратить внимания на неформальную интуицию, скрывающуюся за определениями — не правильно. Первоначальна в рассуждениях почти всегда интуиция и неформальные построения, а лишь затем добавляется строгость.

Таким образом получается, что ваша личная интерпретация доказательства, пусть даже и неформальная и где-то что-то упускающая, оказывается гораздо более ценна, нежели целиком точное и формальное изложение. Гораздо ценнее, если вы понимаете интуитивно теорему, нежели чем если вы зазубрили доказательство и умеете его выдать у доски. Формальное же доказательство в учебнике дается не для того, чтобы вы разобрались именно в нем и знали именно его в том виде как оно дано, а для того, чтобы подсказать вам идею, которая стоит за утверждением и объяснить почему теорема имеет вообще место быть.

Через какое-то время самостоятельного изучения математики вы научитесь читать формальные выкладки очень быстро и бегло, и на лету выхватывать стоящую за ними идею. Понимание необходимости таких выкладок по идее должно придти при рассмотрении более-менее продвинутых тем вещественного и комплексного анализа, где появляется уже много совершенно не очевидных теорем, далеко не каждая их которых имеет хоть какую-то интуитивную трактовку. Набивание руки на изучении таких доказательств приучит вас легко их интерпретировать. Поэтому если на начальном этапе вам вдруг покажется, что какой-то факт и так понятен и не требует доказательства — пропускайте это доказательство. Если вы видите очевидное рассуждение, устанавливающее справедливость какой-то формулы, и не понимаете зачем в учебнике даны тонны непонятных выкладок — ориентируйтесь на своё рассуждение и плюйте на выкладки в учебнике.

Ваша личная интерпретация и понимание математики на порядок важнее того, что вам навязывают.

Помочь в развитии навыков доказательства могут два таких совета:

1) Иногда, не слишком часто, внимательно просматривайте все условия теоремы, и по каждому из условий задайте сами себе вопрос: «Где используется это условие? Что было бы, если бы это условие не присутствовало, каким именно образом доказательство развалилось бы?» Такие размышления со временем научат вас строгому мышлению и понимаю математического формализма.

2) Для каждой теоремы с не очень простым доказательством, спрашивайте сами себя: «Каким именно образом автор доказательства до него додумался? Какая у него была первоначальная неформальная идея?» Это научит вас понимать интуицию, которая кроется за формальными выкладками.

Последовательность изучения

Еще она важная ошибка современного образования заключается в попытке излагать материал последовательно и аксиоматично. Вначале без какой-либо мотивации вас пичкают анализом, затем, лишь через пару-тройку лет, когда вы всё забудете, вы вдруг обнаруживаете, что оказывается дифференциалы действительно нужны в методах оптимизации, которые правда сами не понятно где используются (не все же диеты для американской армии составлять).

В идеале прежде чем браться за изучение какого-то материала, вам нужно увидеть проблему, которую вам интересно решать. Это даёт мотивацию и понимание чего вы собираетесь получить от изучаемой дисциплины.

У разных людей мотивация может быть различной. Теоретику может оказаться интересно разрешить противоречия и неполноту доказательств в какой-то теории, либо же просто попробовать построить какие-то рассуждения в каких-то нестандартных условиях, и тогда он станет читать про теорию множеств и формальную логику. Финансист, попытавшись анализировать цены на рынке, неминуемо придет к необходимости изучать стохастические процессы и необходимые для них области математики. Программист, изучающий алгоритмы, может заинтересоваться комбинаторикой и теорией вероятностей.

В институтах почти никогда такой мотивации не дают. Можно услышать общие фразы типа «это имеет широчайшие применения в различных отраслях народного хозяйства и при анализе финансовых рынков», но это бессмысленный набор слов. Чтобы у вас была реальная мотивация и понимание того, что вы изучаете, вы должны на конкретном примере знать где изучаемая вами теория пригодится, в каких конкретных задачах.

У совсем начальных областей математики, программу по которым я набросал выше, есть лишь одна мотивация для изучения — использование этих материалов далее в каких-то областях уже более продвинутых или прикладных, но именно в рамках самой математики. На практике все перечисленные мной выше вещи действительно чаще всего не встречаются (кроме натуральных чисел при подсчете сдачи в магазине), но они необходимы как строительные кирпичики для других областей науки. Например, ни формулировка, ни ответ дифференциального уравнения не содержит никаких комплексных чисел, но без них невозможно развить и понять теорию. Ни формулировка, ни ответ задачи линейного программирования не содержит упоминания многомерной геометрии, но без нее невозможно понять симплекс-метода, используемого для решения этой задачи.

Поэтому довольно полезным может оказаться вначале беглый поверхностный просмотр сразу многих учебников и как можно более частое забегание вперед. Возьмите за правило читать параллельно много книг, ставя критерием на начальном этапе скорость прочтения. Если вы вдруг не понимаете какую-то теорему, то у вас есть два пути: либо засесть с ней на пару недель и не факт, что корректно её истрактовать в итоге, либо пропустить её и изучать этот или другой материал дальше. Последний подход намного лучше, так как в девяти из десяти случаев окажется, что либо вам просто попался учебник с не самой удачной формулировкой или доказательством (даже если автор — очень крутой мужик, он мог запросто написать что-то неудачно), либо вам эта теорема не нужна вовсе, либо ваша трудность возникла из-за того, что вы не видите её применения, либо учебник ориентирован на людей с другим уровнем либо другими целями. Часто абстрактная формулировка не даёт вычленить в теореме важность её как инструмента — именно поэтому забегание вперед и пропуск непонятного часто оказывается очень плодотворным, поскольку вы сможете увидеть, где именно и как эта теорема найдет своё применение.

Правда, с забеганием вперед и поверхностным знакомством надо тоже знать меру. Вы все же должны понимать, что вы читаете, и поддерживать в голове баланс из общих знаний что откуда берется и строгих доказательств. Я насмотрелся в своей жизни на кучу финансовых аналитиков, портфельных и риск менеджеров и подобных, которые умеют очень долго вести разговор на математическую тему, сыпать терминами и фамилиями, они знают названия кучи теорем, областей математики и что откуда берется, но при малейшей попытке как-то конкретизировать разговор, выясняется, что они вообще не понимают даже в общих чертах о чем они балаболят. Такому, как я понимаю, учат в разных там экономических ВУЗах. Это стыдно.

Что касается самого материала, то тоже нужно понимать, что в общем-то что действительно важно и нужно тоже нет никакой достоверности. Инженеры будут вас уверять, что обязательно надо изучать интеграл Римана со всеми строгими выкладками и читать про равномерную сходимость, однако студенты и преподаватели НМУ вам расскажут о том, что интеграл Римана не нужен, а нужен интеграл Лебега, а вместо равномерной сходимости надо изучать банаховы пространства в самом общем виде. Правильный ответ как учить скорее всего может дать лишь каждый отдельно взятый учащийся, и этот ответ будет правильным исключительно для него, в зависимости от его личных целей и того, как ему проще понимать материал. При всей абсурдности такого курса как «аналитическая геометрия» в институтах, если вам просто надо быстро понять свойства эллипса для прикладной цели, то вероятно будет эффективнее действительно почитать книгу по «аналитической геометрии», а не копаться в свойствах квадрик, хотя конечно последнее даст вам куда лучшее понимание вопроса.

То же самое касается и учебников и самого набора тем для изучения. Приведенный мной выше набросок того что надо изучать сам по себе весьма относителен. 99% инженеров живут не зная ни мультиномиального коэффициента, ни производящих функций, ни даже теоремы Евклида. Им это не не мешает изучать свою область, хотя я считаю, что эти темы были бы пусть даже и не полезны непосредственно всем, но интересны. Но вероятно в их ситуации действительно полезнее читать о чем-то другом. Мой набросок, к примеру, лишь поверхностно рассматривает геометрию Евклида на плоскости, рассчитывая на то, что поняв основы алгебры и анализа, школьные теоремы читатель сможет выводить сам, и совсем не рассматривает проективную или риманову геометрии, которые так же могут быть крайне полезны прикладникам, но лишь в частных случаях. Возможно, что многим прикладникам придутся более по душе простые книжки по проективным плоскостям и геометрии на сфере, а не абстрактные конструкции через векторные пространства и многообразия, и такой подход может оказаться продуктивнее, если вас интересуют только несколько основных результатов.

На этом я закончу. Меня только что (несколько минут назад) бросила девушка и я не могу собраться с мыслями, чтобы как-то осмысленно подвести черту под этим текстом.

140 комментариев »

  1. спасибо

    Comment by anonymous — 30.05.2013 @ 12:18
  2. Роман, вам не кажется, что советы о том, как учить математику, должен бы давать тот, кто её таки знает?

    Нельзя прыгнуть выше головы (разве что сальто сделать), а чтобы быть полезным, любой такой «план» должен провоцировать на изучение того, о чём читатель и представления не имеет и сам по себе его получить не может. Мне кажется, что советы типа «полезно также изучить золотое сечение» в этом смысле малополезны. Ну то есть найдутся конечно люди, которые об золотом сечении впервые здесь прочитают, но боюсь они быстро утолят голод познания, прочитав о нём на википедии и ещё где. А что дальше? Элементарный анализ? Теория множеств? Надо понимать, что математика совсем _не заключается_ в этих дисциплинах, которые являются пререквизитами к пререквизитам.

    В качестве позитивной программы всем проходящим мимо этого комментария рекомендую читать куррикулум Миши Вербицкого

    http://imperium.lenin.ru/~verbit/MATH/programma.html

    и решать его «тривиум»

    http://ium.mccme.ru/f04/experimental.html

    Comment by Дима Сустретов — 30.05.2013 @ 13:31
  3. @ Дима Сустретов:
    У вас какое-то явно предвзятое мнение. Вам не нравятся мои статьи о проститутках, или вы православный гомофоб и ксенофоб, признайтесь?

    Во-первых «кто её таки знает» — это кто? И какую математику надо знать? Вы предлагаете слушать мнение Вербицкого о теории вероятностей про то что «её не надо знать, там ничего нет кроме теории меры»? Или считаете, что лично вы знаете математику и можете дать рекомендации? Или мерять индекс Хирша? (Насколько он у вас отличается от моего, кстати? Вы уверены, что он у вас изменится?) Мне что-то подсказывает, что я лично вас легко смогу завалить по целому ряду математических вопросов поставив довольно простые задачи, на которых вы заткнетесь. Впрочем, не подлежит сомнению, что вы меня сможете завалить с той же легкостью. Так же как любые два человека, разбирающиеся в чем-либо, всегда смогут завалить друг друга, если захотят померяться пиписьками. Плюс, если говорить общо, то на практике советы одного учащегося другому по изучаемому материалу часто оказываются полезнее, чем советы преподавателя. Это к слову.

    Во-вторых о полезности можно судить по тому, как часто люди обращаются к материалу. При том что лично я считаю людей в НМУ крайне адекватными и экспертами высочайшего уровня, ссылок на мои статьи в Интернете больше, чем на тривиум НМУ. Не потому что он плохой, а потому что аудитория, которая способна тривиум НМУ воспринять очень мала.

    В-третьих, вы прочитали статью мою крайне выборочно. Я отчетливо объяснил, на кого статья ориентируется, какой уровень предполагает, и зачем она нужна. Ваш комментарий про «пререквезиты пререквезитов» и то, в чем «заключается математика», совершенно нерелевантен. Я раз десять в тексте указал, что многое по-хорошему определяется по-другому, что это годится только для начинающих, которые не собираются копать в теорию, что я беру за основу ту программу, которая предлагается в общеобразовательной школе. Вы вообще текст читали? У вас есть соображения по предмету изложенного, а не пустое тыкание? На все, что вы пишете в комментарии, я дал ответ в тексте.

    Ну и про «позитивную программу». Вербицкий с Калединым очень предвзяты (я понимаю как и вы), и считают что есть только математика первой культуры, причем только в узкой области. Вы серьезно думаете, что это адекватно — не включать в программу вообще теорию вероятностей, графы и комбинаторику? Однако важно еще заметить, что Каледин с Вербицким ориентируют программу на теоретиков, для них эта программа действительно хорошая, а я на прикладников. Вы прикладникам их программу рекомендуете? Вы серьезно думаете, что адекватно учащемуся на инженера или компутер-саентиста советовать изучать p-адические числа, геометрию Лобачевского, гомологии и Бурбаки? Вы в своем ли уме?

    Comment by Хеллер — 30.05.2013 @ 14:17
  4. воу-воу-воу. нет, я вообще даосит-хлыстовец и ебу собак, какие претензии.

    соображения у меня такие: математику просто так изучать не имеет смысла (это такой предмет веры, и обсуждать, если что, я это не хочу). в разных науках нужна разная своя математика, и если прицел стоит на другой науке, то выбор тем подскажет сердце и старшие товарищи. если же изучать собственно математику, то то, что я сказал выше, по-моему релевантно.

    прошу прощения за безапеляционный тон исходного комментария. если кому-то хочется возиться с математикой как с хобби, то ради бога. единственное, на что я хотел указать — это то, что есть другой путь, тоже весьма увлекательный.

    а вербицикий «тривиум» всё-таки хороший, правда-правда. хоть на него и мало ссылок.

    Comment by Дима Сустретов — 30.05.2013 @ 15:40
  5. @ Дима Сустретов:
    Не, ну да, мы оба грубо начали, оба не правы, предлагаю на этом сойтись.

    Я просто категорию людей, кому это надо, указал изначально, и посыл этого текста именно как «пререквезиты пререквезитов» тоже обозначил. Все те темы, что я затронул — это именно основы, дающие старт для дальнейшего изучения областей, необходимых в прикладных вещах. Какому-нибудь социологу, например, очень вероятно что понадобится какая-нибудь статистика, а он, вероятно, и интегралов-то не понимает (я говорю сейчас даже про банальное «площадь под графиком», а не про формализм). Тогда ему именно этот мой текст поможет.

    «математику просто так изучать не имеет смысла» — так 99% математики вообще никаких приложений не имеют, и вряд ли кто-то рассчитывает на то, что они эти приложения найдут. Или вы говорите исключительно про карьерный путь?

    Не для спора, а может быть будет интересно: http://heller.ru/blog/2012/07/brain-and-math/ — это зачем любому человеку изучать математику в принципе. В одном только контакте количество ссылок на эту статью около 60-ти, плюс куча в фейсбуке, твиттерах и блогах. По письмам читателей я знаю, что минимум порядка пятидесяти человек (те кто написали лично мне) эта статья мотивировала на профессиональное занятие математикой (я правда не уверен насколько им это удалось).

    Тривиум Вербицкого хороший, Вербицкий вообще умный очень. Если бы не поливал грязью всех подряд, задевая брызгами хороших людей, вообще бы цены ему не было. Я сам этот тривиум (вместе с программой лицентиата и его лекциями) рекламировал неоднократно, но все что у него идет выше школьного уровня — отражает исключительно его научный интерес. Даже первокультурная математика не ограничивается алгеброй и топологией — те же динамические системы, эргодическая теория, основания математики в виде всяких тем вроде форсинга в ZFC, Лёвенгейма-Скулема и прочего (хотя это конечно очень узкоспецифичные вещи) тоже я бы отнёс к фундаментальным математическим теориям, которые уже не являются пререквизитами.

    Comment by Хеллер — 30.05.2013 @ 16:10
  6. Хеллер написал:

    С вещественными числами очень важен вычислительный аспект. Дело в том, что никакие счетные устройства, калькуляторы-компьютеры и прочие, не умеют работать с вещественными числами — только с рациональными, в силу того, что вещественное число требует для своего определения бесконечное число цифр.

    Не знаю, в курсе ли ты, или просто упрощаешь, но всё же множество чисел, с которыми может работать компьютер — оно всё же шире(хотя всё равно счетное).

    http://ru.wikipedia.org/wiki/Вычислимое_число

    Если я пишу 3 + pi, то, на мой взгляд я «работаю» с числом 3 + pi. То, что не получится записать в виде конечно десятичной дроби — это уже вопрос представления. 1/3 я тоже не могу записать в виде конечной десятичной дроби(хотя можно в виде периодической).

    Тащемта нет никакой проблемы написать, например, библиотеку для работы с радикалами. Думаю даже она наверное даже была бы кое-где полезна, хотя и очень ограниченно.

    Comment by Anon — 30.05.2013 @ 16:51
  7. @ Anon:
    Да, я в курсе. Про невычислимые числа даже писал в свое время (опять же сильно упрощая, рассчитывая на вау-эффект): http://heller.ru/blog/2011/09/non-computable-numbers/

    С символьной математикой я знаком, собственно насколько я понимаю, по умолчанию большинство математических пакетов используют именно её, когда это в принципе возможно, в противном же случае во многих ситуациях накопленная погрешность была бы гигантской. Манипуляция радикалами не многим сложнее манипуляции полиномами. Но это уже все же сравнительно сложные структуры данных (рациональные числа как пара целых в принципе тоже, но там всё тривиально), которые вряд ли стоит затрагивать в этой статье.

    Comment by Хеллер — 30.05.2013 @ 17:06
  8. Почему ты все время учишь как учить математику если ты её нихрена не выучил. Хинт: науку освоил тот, кто написал хотя бы одну статью с новыми результатами. а ты в сотый раз пережевываешь остопиздевшую всем хуйню.

    Хватит пиздеть. Иди доставай листик и решай дзетта функцию.

    Comment by asp — 30.05.2013 @ 17:07
  9. @ asp:
    Еще один.

    Comment by Хеллер — 30.05.2013 @ 17:15
  10. @ Дима Сустретов:
    Кстати, посмотрел сейчас Тривиум, оказалось что раньше я его не видел — я его поначалу перепутал с лицентиатом НМУ. На самом деле да, хорошее вроде, хотя уровень абстракции все равно для многих окажется высоким.

    Comment by Хеллер — 30.05.2013 @ 17:56
  11. @ Хеллер:

    я прочитал заметку про мозги и мышление.

    я думаю вот что: умение строго мыслить — не присуще одной лишь математике. математическая строгость штука весьма специфическая, вообще же в каждой области знания есть свои стандарты на то, что сойдёт за «правильное» рассуждение, и у всех своя правда (и это нормально). что было бы полезно «человеку вообще» так это мыслить _честно_, и боюсь знакомство с именно математикой тут не является панацеей (можно привести кучу примеров формально верных, но морально неверных математических утверждений).

    но это лирика. что касается упражнений для ума, есть куча красивой _простой_ математики. раз уж возиться с математикой по приколу, почему не возиться с настоящими вещами, которые возникают в настоящей науке? топология вот, например, вполне себе живая облать, её прямо сейчас кто-то сидит и пользуется в своей работе, однако про коммутативность высших гомотопических групп можно объяснить хоть восьмикласснику, или про накрытия, ну и вообще там куча наглядных штук.

    и так везде, в принципе в любой содержательной науке есть что-то простое, что можно изложить в элементарных терминах (и в алгебраической геометрии, да-да).

    Comment by Дима Сустретов — 30.05.2013 @ 18:49
  12. опечатки, пардон

    Comment by Дима Сустретов — 30.05.2013 @ 18:50
  13. Роман, извини за коммент, но таки неприятно уколола в глаз эта фраза:

    […В одном только контакте количество ссылок на эту статью около 60-ти, плюс куча в фейсбуке, твиттерах и блогах. По письмам читателей я знаю…]

    1. Я, быть может, шокирую кого-то, но на твой блог, Роман, приходят не ради математики, а ради интересного чтива. Это форма отдыха, как чтение журнала или газеты, но никогда не потребность «изучать математику». Лайки — форма симпатии, но никак не показатель качества математических рассуждений или их ценность. Возможно, кого-то твой блог подтолкнёт к изучению математики, и это хорошо.
    Но такие люди, решившие заниматься математикой только из-за того, что какой-то крутой антифашист в интернете так сказал и красиво преподнёс, просто очень впечатлительные. Насколько хватит их энтузиазма? Нажать лайк в контакте — одно, перелопатить кучу учебников, статей, книг, сломать голову о нерешаемую задачу — другое. Скорее всего, эта вся суета до первой неудачи или следующей «вау» статьи в чьём-то блоге.
    Я не хочу сказать, что это плохо — напротив. Только надо трезвее на вещи смотреть (и тебе, и мне, и нам).

    2. Ты классно пишешь и надо писать дальше. У тебя получается делать интересные заметки — зачем же пытаться изменить формат под какой-то непонятный «учебник», какие-то туториалы?
    Предыдущие (старые) мат. заметки были в разы лучше и интереснее, а в последних прослеживается какая-то рутина.

    3. Весь этот спор и пререкания до боли напоминают некоторые обсуждения в блоге Миши Вербицкого, с выяснениями кто «говно», а кто «учёный». Я, конечно, понимаю, что многие за этим по факту и приходят, но не стоит самообманом заниматься, такие обсуждения — не занятие математикой.

    4. К плану: советую параллельно с математикой изучать историю математики. На первый взгляд бессмысленный совет, но на самом деле может здорово помочь и структурировать в голове информацию, узнать немало новых и интересных фактов.

    Comment by Даниил — 30.05.2013 @ 19:26
  14. Очень хороший текст. Согласен со всем, пожалуй.

    Comment by measure_0 — 30.05.2013 @ 19:29
  15. Use подкат Luke

    Comment by Аноним — 30.05.2013 @ 20:43
  16. Роман, без проверки практикой ценность учебника минимальна.
    Надо идти в школу преподавать …

    Comment by Аноним — 30.05.2013 @ 20:46
  17. Если выровняешь свои простыни по ширине, а не слева — читать их станет значительно комфортнее.

    Comment by jdfjdjfjd — 30.05.2013 @ 23:50
  18. В школе говорят, что ноль — не натуральное число, а натуральные числа с единицы начинаются.

    Comment by Yuriy — 31.05.2013 @ 00:24
  19. Хороший пост, думаю он многим будет полезен. Позволю себе добавить некоторые дополнительные комментарии и акценты. Тоже, в основном, для начинающих, но и не только для них. Возможно, с немного большей ориентацией на теоретиков, но и для прикладников это будет актуально.

    Вряд ли кто-то из читателей этого блога будет учить математику совсем уж с нуля. В большинстве случаев, хотя бы рудиментарные знания из школы и института быть должны. Поэтому вместо повторения школьного курса, я бы советовал идти немного другим путем: сразу учиться по хорошим (но простым и понятным!) учебникам достаточно высокого уровня.

    1) Начальный курс алгебры.
    В первую очередь, перед любыми другими разделами и учебниками, очень рекомендую изучить и прорешать от корки до корки учебник Гельфанда и Шеня “Алгебра” (этот и остальные учебники упоминаемые ниже можно найти в свободном доступе в интернете). Он покрывает собой практически всю школьную алгебру, но намного лучше всех стандартных школьных учебников. Последние я не смотрел уже очень давно, так что сравнивать с ними могу только предположительно, но в этом предположении я практически уверен. Он не только интереснее, полнее, более стимулирующий и т.д., но и подает материал в правильном и удобном виде для последующего изучения анализа и алгебры. При этом в нем вводятся многие понятия, равенства и неравенства, которые будут часто использоваться в дальнейшем в алгебре и анализе: сложение в других системах счисления (+ умножение и деление), треугольник Паскаля, многочлены (+ деление в столбик, теорема Безу и т.д.), арифметические и геометрические прогрессии (+ формула для чисел Фибоначчи), квадратные уравнения и графики (+ теорема Виета для квадратного и кубического уравнения), неравенства о средних (арифметическое, геометрическое, гармоническое, квадратическое).

    Полезно и то, что в нем не только сочетаются теория и задачи, но и почти все задачи очень простые, что многим будет помогать для роста уверенности в своих возможностях. И задачи часто не просто вычислительные, а идеологические, что тоже очень важно.

    2) Начальный курс анализа.
    Школьный курс анализа бесполезен чуть менее, чем полностью. Я редко употребляю подобные выражения, но в данном случае иначе просто не скажешь :) К сожалению, это же верно и по отношению к большинству вузовских курсов. Роман уже писал раньше о вредительстве учебников Ильина-Позняка, что я поддерживаю двумя руками. Большинство остальных учебников анализа (как и всего остального) “рекомендуемых Министерством образования” ушли от него недалеко.

    При этом я не согласен с популярным мнением о бесполезности Фихтенгольца. По-моему, первый том Фихтенгольца это вообще лучший начальный курс анализа, и именно с него надо начинать изучение/повторение анализа. Рекомендую издание 2003 года, которое есть в сети в очень хорошем качестве.

    Также несогласен и с мнением о ненужности эпсилон-дельта формализма. Как начальный метод для понимания пределов и непрерывности он вполне приемлим и полезен. Собственно, и в первом томе Зорича многие определения и теоремы формулируются или дублируются на этом формализме. ОДНАКО важно относиться к этому формализму правильно:
    — Учить его по правильным учебникам, например по Фихтенгольцу. В нем, в отличие от многих других стандартных курсов анализа, как раз отсутствуют бессмысленные технические удлинения доказательств за счет точного вычисления эпсилона в каждом случае. При этом сохраняется полная строгость всех доказательств, просто они часто короче и понятнее, чем в учебниках подобных Ильину-Позняку. В отличие от многих других курсов, где простое делается сложным, у Фихтенгольца (как потом и у Зорича) сложное делается простым.
    — Понимать, что этот формализм не самоцель, а всего-лишь ступенька к более продвинутому формализму метрических и топологических пространств. Т.е. параллельно представлять в голове интерпретацию всех эпсилон-дельта выражений как окрестностей точек соответствующих пространств.
    — Не тратить время на решение десятков задач “на вычисление эпсилон”.
    — Очень полезно, даже на самом начальном этапе, потратить день (больше не надо) на чтение первых двух глав из второго тома Зорича: “Непрерывные отображения (общая теория)” и “Дифференциальное исчисления с более общей точки зрения”. Цель при этом не разобрать все доказательства, а хотя бы примерно понять основные структуры и увидеть картину того, к чему в будущем придет эпсилон-дельта формализм в отношении непрерывных функций и дифференциального исчисления.

    Важно понимать, однако, что Фихтенгольц полезен только на самом начальном этапе для одномерного анализа, т.е. только примерно 2/3 первого тома: вещественные числа, последовательности, функции одной переменной, пределы, непрерывность, производные, исследованией функций одной переменной. Там все будет очень просто и будет идти быстро. Также ряды во втором томе, но на них много времени тратить не надо. Когда дойдете до функций нескольких переменных и интегралов, надо будет уже переходить на Зорича (при желании заглядывая в Фихтенгольца, но уже не используя последний как базовый начальный учебник). Фихтенгольц останется в памяти как наглядный детский конструктор, но пора будет вырастать и переходить на более серьезные игрушки. Первый том Зорича, как и Фихтенгольц, тоже будет очень легким. Тем более, что после Фихтенгольца вы уже будете знать идеи и доказательства практически всех теорем одномерного анализа, просто будете смотреть на некоторые из них с более общей точки зрения (предел по базе и т.д.).

    3) Вещественные числа.
    Отдельным пунктом выделю построение множества вещественных чисел и арифметических операций на нем. Собственно, именно с этого и нужно начинать изучение/повторение анализа. Лучший и наиболее простой способ для его первого изучения, по-моему мнению, это сечения Дедекинда. Излагаются, например, у Рудина и Фихтенгольца, причем у Фихтенгольца это сделано, как минимум, не хуже.

    Представление о сложности этих сечений и о сложности/громоздкости последующего вывода из них арифметических операций вещественных чисел — это еще одно популярное заблуждение. Да, возможно при первом чтении это потребует нескольких дней напряженных размышлений, но после этого вы поймете насколько все красиво и очевидно. Вообще, я бы сказал, что первая глава Фихтенгольца (о вещественных числах) является тестом на то, насколько вам математика интересна не просто как прикладное оружие для решения задач и приложений в других областях, но как самостоятельная красивая и глубокая система структур и отношений между ними. Конечно, это будет только первый взгляд мельком на подобные структуры, но даже в замочную скважину можно будет многое увидеть.

    В этом отношении я не согласен с Романом, что достаточно интуитивного понимания, например арифметических операций, а строгие формальные выкладки не нужны. Не нравится мне и используемое в некоторых учебниках, например у Зорича, аксиоматическое построение множества вещественных чисел. Дело в том, что построение вещественных чисел заканчивается важнейшим в идеологическом смысле понятием полноты/непрерывности множества вещественных чисел в виде существования точных верхних и нижних граней у любого ограниченного множества (есть и несколько других эквивалентных формулировок, см. их ниже). Это наиболее важное (the single most important) понятие начального курса анализа, из которого потом выводятся ВСЕ последующие теоремы о пределах, непрерывных функциях, дифференцировании и т.д. А если не чувствуешь внутренней уверенности в фундаменте и в том, как именно этот фундамент построен, то потом и все здание тебе не будет казаться прочным и понятным. Поэтому важно не просто вводить плотность R в виде аксиомы (как, например, у Зорича), а выводить его из структур на множестве рациональных чисел, которые позволяют ввести сечения, из которых потом выводится полнота множества вещественных чисел в виде элементарной теоремы.

    Кстати, заодно с Фихтенгольцем на этом этапе рекомендую и небольшую книгу Хинчина “Восемь лекций по математическому анализу”. Она полезна как источник интересных и стимулирующих рассуждений.

    После того, как построение на основе сечений будет разобрано во всех деталях и станет “вашим”, стоит прочитать как это делается и на основе бесконечных десятичных дробей (по любому вузовскому курсу анализа где это излагается, например Теляковский). После сечений это займет уже не больше пары часов, и будет полезно с точки зрения еще одного взгляда на то, как можно строить множество вещественных чисел. В будущем, при изучении общего понятия пополнения метрических пространств, можно будет увидеть как это делается и на основе фундаментальных последовательностей. Последний способ наиболее общий и применим уже к любым метрическим пространствам, включая те, в которых отсутствует линейное упорядочение (сечения можно построить только на основе структуры упорядочения рациональных чисел, но уже нельзя в пространства без такой структуры).

    4) Теория чисел.
    Уже функции многих переменных в первом томе Зорича, и особенно его второй том, будут требовать знания линейной алгебры. Но перед тем, как двигаться в сторону алгебры, я бы рекомендовал начальный курс по теории чисел. Элементы этого курса входят и в школьную алгебру, и в любые курсы алгебры, но, обычно, в очень усеченном и конспективном виде.

    И это очень зря. Теория чисел, как минимум элементарная, очень полезна с точки зрения поставления простых и содержательных примеров и иллюстраций ко многим объектам алгебры. Кольца, поля, делимость, фактор-группы, теорема Лагранжа и другие алгебраические понятия можно гораздо лучше понять, если перед глазами будут примеры реализации этих структур на простейшем множестве целых чисел. Причем изученные не мимоходом в школе или курсе алгебры, а спокойно и обстоятельно, и еще до курса алгебры.

    В каком-то смысле, теория чисел и пространство в котором она живет (целые числа) предоставляет собой “экспериментальную площадку” для многих абстрактных алгебраических утверждений. При расширении кольца целых чисел до рациональных, вещественных и комплексных, а потом при введении понятий топологии, метрики и функции — эта экспериментальная площадка расширяется для нужд анализа, геометрии, топологии и т.д.

    По моему мнению, лучший учебник для начального знакомства с теорией чисел это “Теория чисел” Нестеренко. У него есть недостатки, но, по-сравнению с остальными, у него наиболее последовательное и простое изложение всех основных разделов элементарной теории. Только мне там не очень нравилось доказательство мультипликативности функции Эйлера, более естественное доказательство см. например в “Теории чисел” Михеловича.

    Не все разделы у Нестеренко необходимы при первом изучении. Достаточно, например, сначала изучить делимость чисел (включая НОД и НОК, алгоритм Евклида и диофантовы уравнения), основную теорему арифметики о разложении на простые числа, дзета-функцию Римана, кольцо классов вычетов (включая полную и приведенную систему вычетов), функцию Эйлера, теорему Эйлера (из которой, кстати, и следует, что рациональные числа представляются бесконечными периодическими дробями), китайскую теорему об остатках. В общем, по ходу чтения будет понятно, что именно нужно для последующего изучения абстрактной алгебры.

    Кстати, лемма Евклида (и даже более общее утверждение, когда p не простое), и следующая из нее основная теорема арифметики, более прозрачно и естественно доказывается не из алгоритма Евклида, где это больше похоже на фокус, а из двух простых лемм о том, что A) произведение двух чисел равно произведению их наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, и B) любое общее кратное двух чисел делится на их наименьшее общее кратное.

    5) Алгебра.
    В дополнение к “Теореме Абеля в задачах и решениях” Алексеева есть очень приятная книга Аршинова и Садовского “Грани алгебры”.

    В остальном буду неоригинален: Винберг “Курс алгебры” и Кострикин “Введение в алгебру”. Городенцев “Алгебра-1” это тоже отличный курс, но не для начального изучения.

    Также буду неоригинален и в том, что геометрию лучше учить не на школьном уровне, а одновременно с алгеброй. Собственно говоря, как стало ясно еще в конце 19-го века в “Эрлангенской программе” Клейна, классическая “аналитическая” геометрия (включая вклидовую, проективную, афинную и т.д.) это просто часть линейной алгебры. При этом, конечно, и линейную алгебру нужно учить сразу на геометрическом бескоординатном языке.

    6) Дальнейшее изучение анализа.
    После линейной алгебры можно будет приступать и ко второму тому Зорича. Одновременно с ним я бы рекомендовал и курс функционального анализа, например “Элементы теории функций и функционального анализа” Колмогорова и Фомина. Собственно, это курсы почти об одном и том же, просто с разными акцентами. Колмогоров-Фомин в некоторых отношениях даже лучше, поскольку там метрические и топологические пространства рассматриваются более подробно. Заодно, Колмогорова-Фомина можно использовать и как начальный курс теории множеств.

    Параллельно с ними рекомендую и “Лекции по математическому анализу” Львовского. Вообще, хороших учебников по анализу много. Изучение сразу по нескольким учебникам очень полезно, если это делается эффективно. Как именно это делать, каждый может определяться согласно своим предпочтениям и нарабатываемому опыту. Я бы рекомендовал, например, так:
    — Ориентироваться на 1-2 курса как на основные по данному разделу. По ним подробно разбирать все понятия, доказательства, примеры и т.д.
    — При этом я полностью согласен с Романом, что все теоремы надо сначала пробовать доказать самому (если вообще не появляется идей, то посмотреть начало доказательство и пробовать дальше продолжать самому… если потом снова где-то застрял, то посмотреть продолжение и снова продолжать самому… и т.д.).
    — После них, или параллельно с ними, читать другие учебники как вспомогательные. Они будут идти уже намного быстрее, почти как беллетристика. Цель в том, чтобы подсмотреть где-то интересные новые понятия, дополнительные мотивировки, оригинальные идеи, альтернативные доказательства, немного другие акценты и т.д.

    У разных учебников есть также и следующий часто встречаемый эффект. Если какой-то автор в своем учебнике доказывал какую-то теорему одним способом, то авторы более поздних учебников часто пытаются придумать другие способы доказательства (что естественно с человеческой точки зрения). Когда это сильные авторы – это здорово, узнаешь новые интересные способы доказательств. Но бывают и такие авторы, которые хороших новых доказательств придумать не смогли, старые хорошие доказательства использовать не хотят (что зря), и начинают накручивать что-то маловнятное. Поэтому старые хорошие учебники иногда лучше новых.

    Также полезно параллельно проходить разные разделы, например анализ (включая топологию) и алгебру (включая линейную алгебру и геометрию):
    — Слишком надолго переключаясь на новый раздел, можно забывать предыдущие. Особенно при начальном изучении, когда знания еще не полностью улеглись в твою картину мира и не так плотно соединены со всем остальным у тебя в мозгу.
    — Между различным разделами очень много связей. Совместное изучение подпитывает каждый за счет взаимных мотиваций, примеров, аналогий, взаимных применений и т.д.
    — У разных разделов много общего с точки зрения теории категорий, об этом кратко см. ниже.

    7) Доказательства.
    Выше я уже отметал, что в разных учебниках встречаются разные доказательства одних и тех же теорем. Это ОЧЕНЬ полезно. Еще Фейнман говорил, что умение посмотреть на что-то с разных точек зрения значительно улучшает понимание. Собственно говоря, “понимание” чего-то это и есть возможность посмотреть на данное понятие или теорему разными способами. Например, даже у простейших теорем анализа (непрерывность последовательностей и функций) есть по 3-4 равноценных доказательства. Это неудивительно, ведь само понятие плотности множества вещественных чисел (из которой все эти теоремы и выводятся) можно выразить несколькими равноценными способами:
    — Существование чисел, производящих сечения в множестве вещественных чисел (теорема Дедекинда).
    — Существование точных граней у ограниченных множеств.
    — Существование общей точки у стягивающейся системы отрезков.
    — Существование предельных точек у бесконечных множеств (или, что то же самое, возможность выделить сходящиеся подпоследовательности из бесконечных последовательностей).
    — Сходимость фундаментальных последовательностей.

    И польза не только в том, что смотришь на одни и те же вещи по-разному и больше “привыкаешь” к ним. Очень важно и то, что глубже понимаешь исходную природу тех или иных математических понятий и структур. Основная цель доказательств теорем же не в том, чтобы проверить их справедливость, а в том, чтобы понять как именно они связаны с теми понятиями и структурами, на которых они основаны. А значит лучше понять как сами фундаментальные структуры, так и то, что на их основе можно построить. Поэтому, например, доказательста по индукции — не всегда хороши (хотя могут быть и хороши, когда они раскрывают естественные причины справедливости теоремы), а доказательства через различные случайные трюки — почти всегда плохи.

    Кстати, при начальном изучении любого раздела теоремы доказывать очень просто, т.к. сразу понятно, исходя из чего их можно доказать. Количество структур ведь сначала очень небольшое, так что не приходится гадать, какие из них нужно использовать. Причем это относится не только к одномерному анализу на R, но и к почти любой другой теории в ее начале (метрические пространства, топологические, теория групп, линейная алгебра и т.д.). По мере продвижения вперед — постепенно становится сложнее, так как количество структур и фактов увеличивается, а значит увеличивается и количество комбинаций тех утверждений, которые может быть необходимо использовать при доказательствах. Но с другой стороны, при таком продвижении вперед становится и легче, так как ты все лучше понимаешь эти структуры и связи между ними. Об этом немного в следующем пункте.

    8) Поднятие по лестнице абстракций, теория категорий и иже с ними.
    Это исключительно интересная и богатая тема, о которой можно писать очень много. Процесс поднятия по лестнице абстракций – это, на самом деле, основное, что приходится делать при изучении математики. Не пытаясь раскрыть это сколь-нибудь полно, некоторые вещи все же не могу не упомянуть.

    Очень важно понимать, что когда ты изучаешь математику, ты не просто узнаешь новые понятия, теоремы и связи между ними, а все время поднимаешься на следующие уровни абстракций. Грубо говоря:
    — Сначала идут отдельные изолированные объекты (например, натуральные числа).
    — Потом множества из этих объектов и операций/структур на множествах (сложение, умножение, упорядочение…).
    — После этого сами множества (!) уже можно представлять как отдельные объекты и выполнять операции над ними (например, классы вычетов на Z).
    — Затем вообще отвлекаешься от природы исходных элементов или множеств, и строишь абстрактные алгебраические структуры (группы, кольца, модули…)
    — Затем применяешь аналогичную идеология во всех остальных разделах математики (алгебра – алгебраические структуры, анализ – метрические и топологические пространства и т.д.)
    — И, наконец, поднимаешься еще на одну ступеньку и рассматриваешь уже операции над “множествами множеств” (строго говоря – над “классами множеств”), что приводит к понятию “категорий” и “функторов” и объединяет все области математики.

    При таком движении важно каждый раз приходить к тому, чтобы уже изученное становилось для тебя простым, коротким и почти очевидным. Тогда можно будет твердо стоять на очередной ступеньке абстракций и быть готовы двигаться выше. Но надо и соблюдать разумный баланс изучения и потраченного времени, не пытаться достичь идеального понимания на данной ступеньке. Почти всегда бывает так, что поднявшись на одну ступеньку выше, ты намного лучше понимаешь и то, что было ниже. Во-первых, сверху все лучше видно, а во-вторых, прежние понятия становятся частным случаям новых понятий, а значит более простыми хотя бы из-за этого. Наконец, при этом у тебя в мозгу возникает больше структур и связей, что, как отмечалось выше, во многом и есть “понимание”.

    По поводу множеств и структур на них, рекомендую короткую и простую статью Бурбаки “Архитектура математики”. Стоит, однако, понимать, что она излагает математическую идеологию “докатегорных” времен. В последние несколько десятков лет акцент сместился с описания множеств “самих по себе” (со структурами _внутри_ множеств), на их описание на основе отображений _между_ множествами. Последнее, грубо говоря, и есть суть теории категорий.

    Вообще, у теории категорий есть имидж чего-то сложного и абстрактного, но это еще одно заблуждение. Конечно, когда эта теория развивается и углубляется, то доходит до весьма сложных вещей, но ее начальные понятия очень естественны и прозрачны, а сама идеология категорий очень помогает двигаться по упомянутой выше лестнице абстракций, лучше понимания связи между разными разделами математики. Уверен, что лет через 50 теорию категорий будут учить в школе (не только матшкольники) и удивляться, почему она раньше казалась сложной.

    Но, как и с начальными курсами анализа, важно начинать с правильных учебников. А это такие учебники, в которых теория излагается не начиная с определений и теорем, но начиная (и продолжая) с мотиваций и примеров. Без излишней сухости и снобизма, без стремления сразу все усложнять и излагать на максимально общем языке, с нежным отношением к читателю. Блестящим введением в теорию категорий является Голдблатт “Топосы. Категорный анализ логики” (хотя по названию этого и не скажешь). Кстати, в этой книге очень неплохо кратко излагаются и некоторые тонкие вопросы теории множеств, например различие между множествами и классами. Также, как это часто бывает, отличное изложение начал теории категорий можно найти в оригинальной статье создателей этой теории Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane “General Theory of Natural Equivalences”, 1945 год. Приятно читать изложения, в которых авторы сначала объясняют, как и почему возникают те или иные понятия, а потом уже начинают вводить определения и формулировать теоремы. А когда это сами авторы теории, то это еще интереснее и полезнее.

    9) Решение задач.
    Почему-то в этом вопросе часто много крайностей: или решать сотни однотипных задач из Демидовича, или вообще почти ничего не решать. Лучше всего некий компромисс, причем когда задачи это не вещь в себе, а просто один из этапов общего обучения:
    — В первую очередь, стараешься максимально глубоко понять теорию — до того уровня, когда все становится очевидным (ну или почти очевидным). Пытаешься доказать теоремы всеми возможными способами, рисуешь для себя схемы взаимных связей различных структур и т.д.
    — Много думаешь и повторяешь про себя: восстанавливаешь доказательства, пытаешься придумать новые, обдумываешь понятия и связи между ними… Это, кстати, лучшее, чем можно заниматься в поездках в машине или транспорте.
    — Решаешь “идеологические” задачи для повторения и закрепления теории, а также дополнительного рассмотрения некоторых тонких вопросов.
    — Добавляешь к этому умеренное число “вычислительных” задач для лучшего понимания отдельных алгоритмов, особых случаев и т.д. Они также важны, чтобы не забывать о практических применениях и приложениях новых понятий и теорем. Если доходишь до уровня, когда алгоритмы решения вычислительных задач очевидны при вгляде на них, и вспоминаешь, что нечто подобное уже решал, на этом можно остановиться.

    И самое главное. Очень важно иметь интерес к математике, но не менее важны трудолюбие и регулярность. Одно подпитывает другое и невозможно без другого. Action without vision is nonsense. A vision without action is a dream.

    Comment by Jazz — 31.05.2013 @ 01:12
  20. Поправка:

    «…важно не просто вводить плотность R в виде аксиомы (как, например, у Зорича)…»

    «…ведь само понятие плотности множества вещественных чисел (из которой все эти теоремы и выводятся) можно выразить…»

    В обоих случаях имелась в виду, конечно, не плотность, а полнота.

    Comment by Jazz — 31.05.2013 @ 01:26
  21. Роман, наверное, равны не смежные углы, а вертикальные?

    Comment by VanillaWave — 31.05.2013 @ 12:57
  22. @ Дима Сустретов:
    Я согласен, что строгость присуща не только математике, это касается многих наук, но практически везде базовая математика (на том уровне, что я как раз тут изложил) является пререквизитом. Причем это касается не только физики — любая даже социальная наука требует математики, причем не только тривиальной. Эффективный дизайн эксперимента (а там возникают такие темы как конечная проективная геометрия), статистическая интерпретация результата (кучи параметрических многомерных интегралов при построении статистик и критериев для гипотез, через щаг использование формулы Стирлинга в общем виде), анализ большого числа данных, включая различные данные в виде графов — без этих вещей невозможно всерьез изучать науку. Даже философия и теология сейчас крепко подсели на модальную логику и выводят всякие там теоремы о полноте и моделях Крипке. Можно пренебрежительно сказать, что «это не математика» для того, чтобы потешить чувство собственной важности, я не буду в этом мешать — но это будет не более чем эмоциональная оценка человека, который возомнил, чего его область науки самая важная и единственно верная.

    «Простую и красивую» математику я не люблю, я не вижу в ней никакого развития. Выше Jazz упомянул, что главное в изучении математики — это поднятие по лестнице абстракции. Это в свою очередь невозможно без широкого ознакомления с нетривиальными областями математики. Решать «красивое и простое» может быть интересно для фана, но смысла в этом не больше, чем играть в компьютерные игры или разгадывать японские кроссворды. Аналогично про «реальные вещи» и «реальное использование топологии». Мне кажется, вы очень сильно преувеличиваете практический смысл абстрактной математики — для большинства разделов математики нет никаких реальных приложений, в том числе и для топологии и для абстрактной алгебры. Если они временами и есть, то математики в большинстве своем об этом не знают, потому что занимаются наукой не ради её реального приложения, а там где математика все же находит применения, это часто выглядит как притягивание за уши. Опять же, если говорить о чем-то в физике, то и физикой без математики (именно нетривиальной) нельзя заниматься вообще никак.

    @ Даниил:
    По первому пункту я не могу согласиться. Мне очень много задают математических вопросов по почте, много людей пишут на почту по поводу учебника, очень многие люди переходят в блог по ссылкам именно на математические записи, многие пишут вещи в духе «спасибо, открыл глаза на науку» и подобные. То есть в полезности того, что я пишу, я совершенно уверен.

    Насчет учебника, к сожалению, не могу поспорить — эксперимент действительно не особо удачным вышел, хотя я буду тем не менее его продолжать — заинтересованность в нем есть, у меня в свою очередь все же есть надежда его несколько переработать так, чтобы он был более читаемым и простым, и продолжить. Тут еще сказалось, что я очень резко начал — за полтора месяца накатал 150 страниц, и это много. Голова в таком режиме не может работать, под конец действительно там всё стало очень уныло, а зачастую и ошибок я наделал не мало. Последние параграфы обоих глав надо переделывать. Я буду продолжать, но скорее всего специально буду себя тормозить, чтобы именно голову не загонять и не скатываться в рутину.

    Собственно к старым заметкам — я во многом начал писать учебник из-за того, что хочу ориентировать заметки на широкий круг читателей. В том виде, как я писал о математике раньше, в принципе не очень много интересного материала можно набрать (всякие же олимпиадные задачки чаще всего подходят только для специального вида людей с вывернутыми мозгами, мне такое не интересно писать). Чтобы писать дальше в том же духе из областей, с которыми я сейчас как-то соприкасаюсь, надо чтобы люди знали хотя бы основы. Но это предполагает, что либо у меня широкий круг читателей уже знают математику, что нереально, либо же я объясняю каждое отдельно взятое понятие. Это была одна из главных мотиваций, почему я начал писать учебник.

    Хотя замечу, что я бы сказал, что отдельные параграфы и подпараграфы учебника я считаю интересными как отдельные статьи — например, про парадоксы логики, задачу о менеджерах или ZFC — мне довольно странно, что они не привлекли большого внимания и восторка читателей, видимо это из-за неявно предполагавшейся необходимости последовательного чтения учебника.

    Про срачи уже не ко мне — я в такое не лезу как правило, да и по большому счету мне до этого мало дела. Я насильно никого не приглашаю к дискуссии «кто математик, а кто нет», и редко в нее включаюсь, поскольку выглядит это всё весьма убого — там 99% спорящих — либо довольно глупые инженеры из среднего НИИ, которые что-то себе мнят, либо матшкольники, заранее примеряющие на себя индекс Хирша. Дико смешно, конечно, хотя из них мало кто потом во что-то вырастает именно в математическом плане, не смотря на гонор. Из тех же матшкольников, с кем я учился в НМУ когда-то, уже почти все вывалились из математики и просто сдают экзамены с целью получить диплом и поскорее всё закончить. Сустретову я выше ответил развернуто лишь потому, что знаю кто он такой, и человек он не глупый. То есть именно он действительно удивил своим мнением, которое по первоначально форме было равно именно мнению матшкольника.

    Это если вы не про мою критику российских ВУЗов. Но про ВУЗы вроде всё и без меня очевидно, то что я пишу разделяют практически все, кроме студентов этих самых ВУЗов, которые очень гордятся престижной аббревиатурой, и их преподавателей. Я просто излагаю общее мнение.

    В остальном согласен.

    @ measure_0:
    А с тобой бы кстати встретиться был бы рад. В последний раз мы как-то на самом деле очень неудачно посидели — я был больной и унылый. Надо исправить.

    @ Аноним:
    Учебник не школьный и не институтский — его вряд ли где-то удастся опробировать на практике когда-либо (меня звали читать лекцию в Hexlet, я даже согласился, но к сожалению не было совершенно времени заняться этим).

    @ jdfjdjfjd:
    Это не так. Если выровнять строки по ширине, то пробелы в каждой строчке будут разной длины. Это очень негативно сказывается на удобстве чтения, я например такой текст вообще читать не могу (в печатных материалах есть куча приёмов, как это обойти — на вебе же даже банальные переносы слов очень геморно делать).

    @ Yuriy:
    Да. На самом деле я согласен, что ноль проще не считать натуральным числом — так и большинство литературы написано, и позволяет избегать постоянной оговорки «натуральное число большее нуля». Формальное определение через множества все же полагает ноль натуральным, но этого определения всё равно почти никто не знает. Однако с точки зрения формального введения и объяснения арифметических свойств, ноль удобнее определить сразу, хотя потом можно его и выкинуть из набора натуральных чисел. Я об этом подумаю, и вероятно подправлю заметку.

    @ Jazz:
    Спасибо за блестящий комментарий! Я уже спрашивал вашего разрешения на публикацию прошлого комментария, но закрутился с делами и забыл об этом. Вот теперь и про этот комментарий спрашиваю можно ли его опубликовать отдельно. На мой взгляд вы дали очень стоящие и дельные комментарии.

    Comment by Хеллер — 31.05.2013 @ 13:09
  23. @ VanillaWave:
    Да, вертикальные, опечатался. Спасибо.

    Comment by Хеллер — 31.05.2013 @ 13:10
  24. у нас целый предмет был ТФКП, про комплексные, то есть, изучают

    Comment by solovieff — 31.05.2013 @ 13:40
  25. @ solovieff:
    Ну у нас тоже был в МИФИ, но это совершенно бездарный ликбез на самом деле, впоследствии их нигде не используют в институтской программы. ТФКП там вводят просто «чтобы было», максимум — для дифуров.

    Comment by Хеллер — 31.05.2013 @ 13:41
  26. Хеллер написал:

    Хотя замечу, что я бы сказал, что отдельные параграфы и подпараграфы учебника я считаю интересными как отдельные статьи — например, про парадоксы логики, задачу о менеджерах или ZFC — мне довольно странно, что они не привлекли большого внимания и восторка читателей

    Аналогичные ощущения. Видимо, люди не совсем понимают откуда это всё и зачем (я про ZFC). Лично я, когда услышал первый раз такие вещи, тоже подумал что это чушь какая-то и интереса на тот момент у меня это не вызвало. imho, понимание этих парадоксов приходит с развитием мышления по этой теме.

    Хеллер написал:

    Это если вы не про мою критику российских ВУЗов. Но про ВУЗы вроде всё и без меня очевидно, то что я пишу разделяют практически все, кроме студентов этих самых ВУЗов

    Если можно, лучше на «ты».
    Критику эту я разделяю, как никто другой: «учился» два года в МГТУ Станкин и месяц в им. Баумана.
    Перевидал всякого в обоих, и разочарование от первого на мне очень сильно и негативно сказалось. Примерно так же, как и у тебя с МИФИ.
    В Бауманку пошел скорее из циничного любопытства, понимая что за говно меня ждёт. Но реальность по своей карикатурности превзошла все мои представления. Как это ни смешно, но Станкин, паршивый ВУЗ в плане престижности по сравнению с «элитной» Бауманкой, оказался качественнее, не на порядок, но заметно.
    Предполагаю, что в Бауманке магистратура может быть слегка лучше, но дожить до неё четыре года — тот ещё аттракцион.

    Сейчас мой курс в Станкине получает дипломы. По моим наблюдениям, большинством выпускников получили абсолютный ноль в плане образования. Т.е. ни самообразования, ни университетского. Дипломированные продавцы и охранники. Исключения, конечно, есть, но единичные.

    Пользуясь случаем, хочу дать совет абитуриентам (если таковые тут бывают): если будет стоять выбор Станкин или Бауманка — выбирайте Станкин. Выбор из разряда «фигня или фига», но всё же.

    Comment by Даниил — 31.05.2013 @ 15:10
  27. @ Хеллер:
    Спасибо. Да, конечно, можете все публиковать как хотите. Только обнаружил еще одну опечатку: «Выше я уже отметал, что в разных учебниках…» (надо, конечно, отмечал).

    Comment by Jazz — 31.05.2013 @ 16:41
  28. @ Хеллер:
    да это туева хуча троллей же, либо риторические «А почему бы не» совершенно с отсутствием внятных доводов относительно того, почему именно этот куррикулум не есть ок по отношению к заявленной целевой аудитории
    Либо же в отсутствие собственного бложика ебашат в комменты, что, однако, интересно. Один вон даже соразмеримую с постом быль запилил.
    Роман, пару вопросов:
    1. «Почему именно такое док-во, что будет если что-то убрать» — превосходно. «Пытался сам сначала придумать доказательство» — вообще идеально, только вот на практике никак не сочетается с не менее достойной рекомендацией «По университетскому курсу много читать, желательно несколько учебников параллельно». Что и вправду важно, поскольку адекватное математическое представление в голове почти невозможно словить, строя от фундамента до крыши — всегда в таком строительстве приходится возвращаться к фундаменту и латать его.
    2. А что насчет аналогичного списка рекомендаций по информатике, если из имеющихся на данный момент знаний как максимум — деревья и стеки на си++, в самом банальном виде, ну и совсем немного фенек на макромедии с примитивным использованием экшнскрипт? Желательно до такого уровня, который может понадобится аналитику, не важно чего — хоть финансы, хоть прогнозирование какое-то. Обязательны ли БД?
    3. Насчет НМУ, не совсем понял их правила насчет дублей — это право пройти данный курс еще раз в качестве именно слушателя? То есть вольнослушательствовать можно сколько влезет и сдавать, когда вздумается, экзамены в любой из кварталов?
    И еще, есть ли вообще какой-то смысл в дипломе лиценциата, или в принципе не имеет смысла гемор на его соискание?
    И кстати, расскажи про впечатление от сдачи. В смысле, какие нывыки проверяются помимо знаний?

    Comment by lawenan-law — 31.05.2013 @ 19:12
  29. @ Даниил:
    Есть ли соображения относительно того, что лучше читать по этой самой истории?
    Самого уже давно интересует этот вопрос

    Comment by lawenan-law — 31.05.2013 @ 19:16
  30. @ lawenan-law:
    1. Тут прямого противоречия все же нет. Увидел теорему — доказал. В другом учебнике увидел ту же теорему — пропустил. Или вначале сам доказал, потом почитал несколько вариантов доказательств в разных учебниках. То есть если обе эти рекомендации не воспринимать догматично, то они не противоречат друг другу, а дополняют.

    2. Аналитику нужна математика, тут информатика не при чем. Вообще с информатикой все намного проще — там нет как таковых сильно связанных друг с другом тем, особенно если не копать в теорию. Взаимосвязи конечно имеются в каком-то виде, но они минимальны и в каждой области могут быть изучены отдельно.

    Базы данных скорее да, нужны, но вопрос в каком объеме и какие. Я бы не стал копать очень сильно SQL, потому что по ощущениям он становится всё менее и менее востребован, да и нужен не в каждой области (хотя требуют его пожалуй на каждом собеседовании) — сейчас выходят на первый план системы, заточенные под конкретные условия использования и приложения типа BigTable, MapReduce, очень высокоуровневые OLAP-системы, Graph Databases и подобные. В IT любая тема может быть изучена довольно быстро, и готовиться надо скорее к конкретным собеседованиям.

    Ну а так вообще в целом полезно глубже разобраться с алгоритмами, они никогда не будут лишними, про автоматы, про конкурентные вычисления. А дальше уже смотря в какой области работать. Веб-разработчику нужно одно, системному программисту другое, разработчику интерфейсов третье.

    3. Про дубли ничего не знаю — я давно там не был. Дать универсальный совет про НМУ не могу — там всё крайне сильно зависит от конкретного преподавателя. Но вообще в целом я бы сказал, что там задачи обычно на знание, причем на знание довольно основных вещей, которыми ты либо владеешь, либо нет (подавляющее большинство задач и подавно самому очень сложно решить — вопрос в том, разбирал ли ты решение этого или чего-то подобного раньше, или нет, поскольку как правило задачи обычно слово в слово дублируют какие-то теоремы). Такого, чтобы приходилось специально напрягаться и готовиться конкретно под экзамен вряд ли будет, неадекватных требований к знанию ненужного у них тоже нет. Либо знаешь, либо нет.

    Про диплом лицентиата сложно ответить. Естественно лучше, когда он есть, чем когда его нет, но я не уверен, что он откроет какие-то двери в жизни, кроме разве что поможет пройти собеседование в какую-нибудь компанию типа Яндекса. Но сама подготовка к сдаче может быть очень полезной, хотя если цель стать аналитиком — то вряд ли это реально поможет, потому что курс там узконаправленный и теоретический.

    Comment by Хеллер — 31.05.2013 @ 19:47
  31. @ Хеллер:
    Спасибо большое.
    Насчет информатики — естественно, сама по себе в качестве теории она там практически не сдалась, я скорее неправильно задал вопрос: есть ли какой-нибудь определенный набор предметов, фишек, приложений, с которыми жить переприкладному и недотеорматематику(по жизни скорее всего примат, однако влезть собираюсь как можно выше по упомянутой «лестнице абстракций» — не то чтобы ради самоутверждения, просто математика сама по себе делает сильнее ну и там далее многабукав относительно того, как ее вижу) станет гораздо легче? Ведь куча инструментов, помогающих визуализировать некоторые математические конструкции, построить модели, получить более объёмное представление. Вообще наверно вопрос не только про информатику, но и программирование. Не только с точки зрения «для поддержки изучаемой математики», а в обшем, для человека, который хочет шарить

    Comment by lawenan-law — 31.05.2013 @ 20:13
  32. @ lawenan-law:
    Четно говоря я видимо так и не уловил цель.

    Comment by Хеллер — 31.05.2013 @ 20:56
  33. lawenan-law написал:

    Есть ли соображения относительно того, что лучше читать по этой самой истории?
    Самого уже давно интересует этот вопрос

    Никакого конкретного списка дать не могу, думаю его и не существует, я читал всё подряд.
    Начать можно к примеру с этого:

    http://pballew.blogspot.ru/
    http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_mathematics
    http://goo.gl/KNiaA

    У некоторых математиков есть автобиографические книги (Гротендик, Колмогоров и др.) — гугл поможет. Автобиографии бывают разного уровня сложности, но почитать в любом случае полезно, даже если ни черта не понимаешь.

    Кроме того, на матфаке ВШЭ читается курс «История математики», насколько я знаю, *нестудентам* сделать пропуск и прийти на курс при желании вполне реально.

    Comment by Даниил — 31.05.2013 @ 22:23
  34. @ Хеллер:
    Написал тебе на почту.

    Comment by measure_0 — 01.06.2013 @ 10:31
  35. lawenan-law написал:

    Есть ли соображения относительно того, что лучше читать по этой самой истории?
    Самого уже давно интересует этот вопрос

    Виктор Прасолов (автор известных учебников по геометрии и топологии) сейчас пишет и выкладывает по частям учебник по истории математики, см. http://vvprasolov.livejournal.com/67259.html. Я его еще не читал, но, думаю, должно быть хорошо.

    Из книг общего плана можно также порекомендовать:

    Каганов, Любарский «Абстракция в математике и физике» 2005
    — Очень хорошая и полезная книга об исторических корнях математических понятий.

    Пуанкаре «О науке» 1983
    — Классическая книга о том, что такое вообще научные теории и научное мышление.

    Харди «Апология математика» 2001
    — Еще не читал, но кажется хорошая книга.

    А также несколько полезных статей:

    Атья «Математика в XX веке» 2007
    — Блестящая статья о том, как принципиально развилась и изменилась вся математика в XX-ом веке.

    Терстон «Об обучении математике»
    — Название говорит само за себя.

    Пол Локхард «»Плач математика»
    — Также об изучении математики.

    Comment by Jazz — 01.06.2013 @ 13:27
  36. @ Хеллер:
    Если захотите, можете добавить мой коммент выше к комменту, который вы хотели опубликовать отдельно как пункт 10) История математики.

    При этом можно про одну книгу написать чуть более развернуто:

    Каганов, Любарский «Абстракция в математике и физике» 2005
    — Очень хорошая и полезная книга об исторических корнях математических понятий: теория чисел, иррациональные числа, векторы, комплексные числа, функции, аналитические функции, множества, аксиоматика, фунциональный анализ, различные виды пространств (линейные, метрические, евклидовые, гильбертовые, банаховы), спектры операторов, теория Фурье.


    Ну и на всякий случай сразу говорю на будущее, что если вдруг напишу что-то еще, что покажется интересным, можете публиковать отдельно не спрашивая.

    Comment by Jazz — 01.06.2013 @ 13:51
  37. @ Даниил:
    @ Jazz:
    Спасибо огромное)

    Comment by lawenan-law — 01.06.2013 @ 15:46
  38. К слову об истории математики.
    Многие комменты просто пробежал глазами.
    Если что не так — прошу прощения.

    Из истории математики мне очень понравились книги:
    Писаревский, Харин — «О математике, математиках и не только».
    Помимо вводного рассказа о том, «что такое математика» и объяснении невозможности однозначности ответа на вопрос, есть жизнеописание трех математиков — Колмогорова, Тихонова, Соболева.

    Арнольд В.И. — Истории давние и недавние
    Говорить особо нечего. Очень интересная биография В.И. Для меня стало чем-то похожим на Фейнмановскую «Вы, конечно, шутите, Мистер Фейнман».

    Гендикин С.Г. — Рассказы о физиках и математиках.
    В целом неплохая штука, перемежающаяся историческими и нестрогими математическими очерками.

    Остальные пока не думаю, что поймут выбор.

    О школьной математике. Безусловно, проблема большого количества задач — очень остра. Но ведь и школьное, и вузовское образование, к несчастью, вынуждено удовлетворять «интересы» большинства — все в упрощенном, быстром, как бы «необходимом» виде.

    Если к вопросу задач, то вспоминается отсутпление Зорича в Анализе о той аксиоматике действительных чисел: если человек не перешел от простых палочек к отношениям, от них — к несоизмеримости диагонали квадрата с единичными сторонами и проч.проч, то он и не поймет того, зачем (!) делается вся эта аксиоматика, которая для непосвященного выглядит как причудливая игра разума.
    По-моему, поначалу даже можно решать задачи, перемешивая их со сложными (ведь если человек не тренируется на простом, а сразу начинает «на подумать» задачи решать, то, возможно, у него сформируется какой-то комплекс неполноценности относительно задач и математики в целом). А уже потом идти к теории и ее усложнению. Возможно, со мной многие не согласятся. Но есть у этого и минус — требуется огромное количество времени….

    {Перечитал некоторые комменты, во многом согласен с Jazz}

    Comment by vm.Xeon — 01.06.2013 @ 17:52
  39. спасибо Ром за то что это пишешь. очень интересно тебя читать.
    хоть и по теме политики с тобой нихуя не согласен.
    Считаю что ультраправый и ультралевый движ — хуита. И лучше бы не было ни того, ни другого. И человек совершенно не должен любить или даже нейтрально относиться к приезжим кауказцам-бепредельщикам. И имеет полное право их ненавидеть — это его конституционное право и личное дело что он думает и говорит. А для остального (убийства, тяжкие телесные etc.) есть УК РФ, жаль что работает он хуевенько. Поэтому тупорылые скоты разных национальностей (русские и не очень) устраивают срач, поножовщину и прочую хуйню.

    и пиздить «бытовых националистов» за имперку на футболке тоже признак недоразвитого быдла. Чешутся руки, ищите виноватых в разных проблемах.
    Мстите за обоюдный срач. фу блядь, фу нахуй.

    ОЙ НАС АРП ОБСТРЕЛЯЛИ.
    ОЙ БОНЫ ОТПИЗДИЛИ СУКИ ЕБАНЫЕ.

    ЗА-Е-БА-ЛИ.

    вроде неглупый парень, а вляпался в хуйню. жаль.

    Comment by first — 02.06.2013 @ 03:46
  40. Хеллер, а можно у вас поинтересоваться, что бы вы порекомендовали читать новичку в области Computer Science. Вы говорили, что вам не понравились книги Кнута, а есть вообще что-либо интересное по этой теме, с тем же самым расчётом что и в вашей программе по математике, ну то есть что читать в школьной программе, что, на ваш взгляд, необходимо любому образованному человеку, что нужно инженеру?

    Comment by алекс — 02.06.2013 @ 11:23
  41. Хеллер написал:

    @ Аноним:
    Учебник не школьный и не институтский — его вряд ли где-то удастся опробировать на практике когда-либо

    Зачем тогда он?

    (меня звали читать лекцию в Hexlet, я даже согласился, но к сожалению не было совершенно времени заняться этим).

    Стоит еще раз пообщаться и таки заняться этим.

    Comment by Аноним — 02.06.2013 @ 15:42
  42. first написал:

    Считаю что ультраправый и ультралевый движ — хуита. И лучше бы не было ни того, ни другого.

    +1
    Однако: http://lurkmore.to/%D0%90%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%84%D0%B0
    «Ультра-правые настроения — естественная реакция общества на беззакония и беспредел власти, как ультра-левые — на бесчеловечные законы и притеснения. Пока не будут исправлены перекосы в стране и обществе, количество экстремистов будет только расти.»

    При этом замечу что в название «антифа» зачастую рядятся совсем не те: мусло, иногда власть — куча фейков было

    Comment by Аноним — 02.06.2013 @ 15:46
  43. @Роман

    Так в разных науках разная математика, на том стою. Это культурное, даже если кажется, что оно похоже, на самом деле нет. Даже физики с математиками друг друга не понимают. Статистика как-то странно выглядила бы в куррикулуме «для всех», ясно же, что нужна не всем. Про философов-логиков я в курсе, спасибо, но им нужен вообще другой куррикулум, к тому же это небольшая толпа и думаю трудностей с (само)обучением они не испытывают. На самом деле «наименьший общий делитель» очень маленький, всё сколько-нибудь продвинутое преподаётся с разными целями разным специалистам, ну и это накладывает отпечаток. Ну и потом как-то непонятно, всё-таки изложенная программа — она будет кому угодно полезна потому что с утилитарным прицелом, или потому что ум в порядок приводит? В последнем случае было бы логично как раз наплевать на полезность и руководствоваться эстетикой.

    «Простая» не обязательно значит «тривиальная». То есть речь шла о вещах, которые не требуют какого-то сложного технического аппарата. Утверждение о коммутативности высших гомотопических групп, чтобы оно вообще было осмысленно, требует определить, что такое группа, что такое непрерывность, что такое гомотопия. Это всё нетривиальные и фундаметальные понятия — попробуй их сам изобрести, а если пробовать решать какой-нибудь топологический вопрос, быстро выяснится, что без них никуда.

    Как по мне, кстати, анализ в сто раз сложней топологии.

    Comment by Дима Сустретов — 02.06.2013 @ 22:47
  44. Блин,ну почему всё так трудно-то?

    Скоро сдаю CFA Level I и недавно решил для себя серьёзно расширить кругозор и осилить вот эту книженцию https://dl-web.dropbox.com/get/Stefanica.pdf?w=AACshH4MyTAUGlcLceuLA-pZh3g7l9p_ZrPod4IcBEp2ig.

    В моём универе математику, само собой, никто нормально не преподавал со всеми вытекающими отсюда последствиями, поэтому я решил изучать всё самостоятельно.

    Но блин, то что я увидел здесь просто сбило меня с толку. «Что бы понять это почитай эту книгу, потом эту, ещё немного той, изучи вон то, потом возвращайся к первой книге, потом ещё немного этого, во того и всё, теперь можешь открывать учебник для вузов.» Плюс к тому кто-то хаит одного автора, кто-то другой его хвалит и говорит, что лучше ещё никто не писал. У меня, как у человека без математических ориентиров просто опустились руки. Я могу потратить несколько лет читая книжки, из которых мне понадобится процентов 10 материала. Или могу посмотреть на ютубе лекции какого-нибудь дядьки, который очень коротко и доступно объясняет материал, но после этого мне будет бить в темечко мысль «Хеллер же советовал тебе что делать, а ты взял и схитрил, пошёл лёгким путем, ну теперь наслаждайся своей ограниченностью.»

    В общем господа знающие, приободрите меня как-нибудь.

    Comment by churl — 03.06.2013 @ 17:32
  45. @ churl:
    Ссылка не работает, напишите название книги.

    Я могу потратить несколько лет читая книжки, из которых мне понадобится процентов 10 материала.

    Если вам нужна математика ТОЛЬКО как для будущего financial analyst, то стоит спросить Романа конкретно об этом (думаю, он в курсе) и меньше слушать остальных. Я, например, писал выше рекомендации скорее для таких начинающих, которых математика интересует или вообще (как самостоятельная система знаний), или для таких серьезных будущих приложений, как, например, теоретическая физика. Т.е. когда важен не просто определенный объем знаний, и не узкий класс теорий заточенных под специальные приложения, а общая картина и общее понимание, которые потом углубляются и развиваются во многих конкретных теориях и приложениях.

    Comment by Jazz — 03.06.2013 @ 18:29
  46. @ churl:
    Ну и еще несколько комментов.

    Во-первых, в отношении приободрить — не так страшен черт, глаза боятся, а руки делают и т.д. Сначала все кажется страшным и сложным, а потом понимаешь, что все очень просто. Последнее, кстати, это очень приятное ощущение :) Это одно из тех удовольствий, которые сопутствуют занятиям любыми серьезными вещами, особенно математикой.

    Во-вторых, невозможно составить «план изучения математики» только с чужих слов, тем более на много лет вперед. Только сами и только в процессе изучения вы будете понимать почему план должен быть таким, а не иначе, и поэтому будете корректировать любой план лично под себя. Ситуация «потратить несколько лет читая книжки, из которых мне понадобится процентов 10 материала» возможна только при полном отсутствии критического отношения к делу, когда не занимаешься необходимой подстройкой плана в процессе изучения. Или когда выполняешь необходимые обязанности без желания и интереса (как многие студенты в вузах), а не изучаешь что-то лично для себя.

    В-третьих, важность хороших книг все равно остается актуальной. Для этого многие комментарии выше и написаны. Хорошие книги не только поддерживают интерес к математике (без которого ей заниматься вообще не имеет смысла), но и значительно сокращают время для ее изучения, и при этом значительно улучшают ее усвоение. Например, Ильина-Позняка я бы не рекомендовал ни для какой будущей специальности, пусть и самой узкой или самой гуманитарной. А первый том Фихтенгольца — рекомендовал бы всем. Но если кому-то Фихтенгольц не понравится — ок, это его дело. Но все равно важно проанализировать разные учебники и выбрать наиболее подходящие для себя, учитывая в том числе и рекомендации других людей, а не закапываться в какие-то случайные, и возможно плохие, учебники на несколько месяцев или тем более лет.

    И, наконец, да, очень часто бывает «почитай эту книгу, потом эту, ещё немного той» и т.д. Это потому, что математика — единый организм с многочисленными и подпитывающими друг друга связями между различными понятиями и теориями. «Единого курса всей математики» нет и быть не может (Бурбаки и то не дописали свой курс, и он не самый лучший даже в качестве единого курса). НО ничего страшного в этом нет, и это нормальная ситуация во многих областях: постепенность и определенный порядок нужны практически во всем в этой жизни. Кроме того, как я и написал выше, в процессе изучения вы быстро станете все понимать намного лучше, включая необходимость совместного использования разных учебников, и потом будете удивляться, почему это раньше казалось сложным.

    Comment by Jazz — 03.06.2013 @ 19:06
  47. @ churl:
    @ Jazz:
    С финансовой математикой все очень плохо — её знаний не требуют вообще нигде. Вот здесь есть ответ на вопрос: http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20090814140431AA2VCO3 — надо понимать, что ответ пользователя «Level I is mostly algebra» подразумевает под собой на самом деле не более чем 4 арифметические операции, там скорее всего даже уравнения не надо решать.

    «Финансовая математика» — это интересная и чистая математическая наука, но ни в России, ни на Западе, она не востребована широко. Есть компании, которые требуют от соискателя не только знать формулу, но и понимать её, а соответственно и математику, которая за ней прячется, но это единичные случаи. По факту же для сдачи экзамена и трудоустройства достаточно зазубрить набор формул.

    Мои рекомендации направлены на понимание того, что делает человек в математике, и этот уровень в разы выше чем того требует даже третий уровень CFA (не говоря уже о рекомендациях Jazz, которые предлагают значительно более высокий уровень знакомства с математикой).

    Для подготовки к экзамену конечно вам проще будет послушать один короткий курс лекций, но вы его именно зазубрите — понимания у вас не будет, хотя экзамен сдадите.

    В перспективе же математика тоже не потребуется, но она может быть полезной. Например, есть понятие дюрации, очень важное при анализе портфелей облигаций. Эта самая дюрация получается из теоретической цены как производная по процентной ставке — вкупе с формулой теоретической цены, этого достаточно для любого математика, чтобы знать о дюрации вообще всё что о ней можно знать. В книгах же для финансистов будут на три-четыре главы расписывать численные примеры в духе «если слегка изменить процентную ставку, что получится это». В итоге времени на прочтение потратится намного больше, а настоящего понимания так и не появится.

    Comment by Хеллер — 03.06.2013 @ 19:08
  48. @ Jazz:
    Книга называется A Primer for the Mathematics of Financial Engineering (так и не понял почему DropBox не захотел её вам показать). Вот она ещё раз http://ge.tt/2MPW8Oi/v/0

    Кстати, спасибо за «Алгебру» Шаня, уже половину прорешал :)

    @ Хеллер:
    Да, в CFA, можно сказать, математики и нет (только немного теорвера и статистики, веc которых в оценке не очень высок)не говоря уже о третьем уровне, где нужно написать эссе, пользуясь знаниями из первых двух уровней, а из математики там раздели да помножь.

    Весь это сыр-бор я устроил только из-за книги A Primer for the Mathematics… О ней очень высоко отзываются, многие рекомендуют, параграфы короткие и ёмкие, затрагивает очень многое от тех же бондов, до хеджирования и Black-Schoels. То есть вам, как человеку близко знакомому с финансами, думаю понравится.

    Я понимаю, что на ней свет клином не сошёлся, что это всего лишь Primer в финансовую математику и для более-менее четкого понимания этой области мне понадобится затратить достаточно времени и усилий.

    Могу я просить вас выделить буквально 10-15 минут и дать мне пару советов? Пока что я хочу поднять свой уровень математики до понимания этой самой книги, думаю дальше (или же в процессе) я уже смогу самостоятельно находить необходимые ответы на вопросы.

    И еще такой вопрос: Мне посоветовали два курса Calulus http://www.youtube.com/course?list=ECF5E22224459D23D9 и Algebra http://www.youtube.com/course?list=ECDE28CF08BD313B2A. Этот забавный дядька объясняет очень понятно и доступно, плюс некоторые темы пересекаются с вашим каррикулумом, что думаете?

    Comment by churl — 03.06.2013 @ 21:18
  49. churl написал:

    В общем господа знающие, приободрите меня как-нибудь.

    Забей на Хеллера и готовься по провереным источникам. Хеллер еще никого на CFA не натаскал (не?). Критерий оценки — лишь практика.

    Comment by Аноним — 03.06.2013 @ 22:17
  50. Хеллер написал:

    @ churl:
    @ Jazz:
    С финансовой математикой все очень плохо — её знаний не требуют вообще нигде. Вот здесь есть ответ на вопрос: http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20090814140431AA2VCO3 — надо понимать, что ответ пользователя «Level I is mostly algebra» подразумевает под собой на самом деле не более чем 4 арифметические операции, там скорее всего даже уравнения не надо решать.

    Надо понимать что математика там таки есть — и это несколько больше чем 4 арифметические операции. Но не в математике дело действительно. Речь скорее о теорвере, статистике, эконометрике, фин.анализу … а это в частности и знакомство с работами недавних лауреатов Нобелевки.

    «Финансовая математика» — это интересная и чистая математическая наука, но ни в России, ни на Западе, она не востребована широко.

    Не совсем так. Таки востребована.
    https://www.coursera.org/course/financialmarkets

    Есть компании, которые требуют от соискателя не только знать формулу, но и понимать её, а соответственно и математику, которая за ней прячется, но это единичные случаи. По факту же для сдачи экзамена и трудоустройства достаточно зазубрить набор формул.

    Гораздо лучшим аргументов будет опыт работы с использованием соответствующего аппарата — пусть даже и в софте. Если есть понимание оного. При отсутствии опыта — да, приходится демонстрировать хорошее знание теории и способность ее применять.

    Мои рекомендации направлены на понимание того, что делает человек в математике, и этот уровень в разы выше чем того требует даже третий уровень CFA (не говоря уже о рекомендациях Jazz, которые предлагают значительно более высокий уровень знакомства с математикой).

    Хеллер, сложность теории не является критерием ее полезности. Никоим образом. Более того, обычно полезным является что-то простое. Либо изложенное в простом виде. В последнем и заключается одна из задач)

    Для подготовки к экзамену конечно вам проще будет послушать один короткий курс лекций, но вы его именно зазубрите — понимания у вас не будет, хотя экзамен сдадите.

    Для подготовки к экзамену уже полно проверенных рекомендаций.

    Comment by Аноним — 03.06.2013 @ 22:30
  51. А вообще для подготовки к сдаче лучше всего работает «метод ефрейтора» по Ершову — взять и перерешать _все_ типовые задачи в большом количестве.

    Comment by Аноним — 03.06.2013 @ 22:33
  52. @ churl:
    Курсы, на которые вы скинули ссылки, вроде нормальные. Сложно судить конечно при беглом просмотре, но в целом нормально. Конечно, они несколько не полноценны — так, вообще почти ничего не выводится из тригонометрии, но это конечно вполне справедливо — тригонометрия не является частью анализа или алгебры, ее надо отдельно искать (достаточно вероятно Википедии).

    Книга вроде как тоже вполне нормальная, не увидел сходу никаких явных недостатков.

    @ Аноним:
    По ссылке, которую вы привели, я не увидел финансовой математики. Если что, то такие вещи как VaR и иммунизацию я к финансовой математике не отношу (хотя есть серьезные математически проблемы оптимизационные, связанные с этим; впрочем, решенные проблемы).

    Про сложность тут ведь какая штука. 99% финансистов считают оценку СКО вообще не имея никакого даже минимального представления о том, что процессы бывают нестационарными, например, и их оценки в этом случае изменений цен в принципе бессмысленны, но они о таком даже не догадываются. «Простые вещи наиболее полезны», типа.

    Comment by Хеллер — 04.06.2013 @ 10:54
  53. Хеллер написал:

    …так, вообще почти ничего не выводится из тригонометрии, но это конечно вполне справедливо — тригонометрия не является частью анализа или алгебры, ее надо отдельно искать (достаточно вероятно Википедии).

    Если имелся в виду вывод тригонометрических тождеств (прежде всего для косинуса и синуса суммы и разности углов), то, как ни странно, Википедии для этого недостаточно. В русской Википедии приводится зубодробительный вывод через соотношения внутри треугольника, а в английской — только ссылка на формулу Эйлера. Эти способы тоже знать полезно (а второй из них — и необходимо), но обязательно нужно знать и вывод через скалярное произведение векторов, т.е. через равноправные представления этого произведения через косинус угла между векторами и через разложение по координатам. Последнее предложение, собственно, и есть весь вывод. ИМХО он самый простой и естественный, особенно на первом этапе еще до введения понятия комплексных чисел.

    Остальные тождества, конечно, получаются из суммы и разности углов уже в одну строчку.

    Также полезно использовать и мнемонические правила для запоминания различных тригонометрических формул, или, даже точнее, для понимания их естественности. Все подобные формулы надо не “помнить”, а просто “помнить их природу”, после чего, при необходимости их записать, они записываются после пары секунд раздумья. В основном, достаточно двух правил:
    — четности косинуса и нечетности синуса, тангенса и котангенса (для всех формул),
    — производные синуса, косинуса, тангенса и котангенса (для разности этих функций, из которых их производные и выводятся). Заодно при этом полезно помнить, что производная, и даже просто разность, нечетных функций это четная функция, а четных – нечетная.

    Вывод через скалярное произведение векторов, а потом и вывод через формулу Эйлера, также иллюстрируют, что новые математические понятия обычно позволяют намного проще вывести что-то из той математики, которая существовала до ввода этих понятий. И если вывод какой-то формулы или теоремы выглядит громоздким, то это признак того, что надо использовать какие-то новые понятия, как правило из следующего уровня абстракции. Это одна из иллюстраций пользы лестницы абстракций в миниатюре. Это все уже, возможно, лишняя философия на мелкой воде тригонометрических тождеств, но написал это для того, чтобы подчеркнуть, что надо стараться находить общие структуры даже в самых простых формулах и теоремах. И тогда даже самая простая математика будет открываться с интересной стороны и стимулировать на изучение более продвинутой математики.

    Comment by Jazz — 04.06.2013 @ 20:17
  54. Эх, без какой-нибудь опечатки редко обходится :) Имелась ввиду, конечно, не просто разность четных или нечетных функций, а эта разность деленная на разность аргументов (сама разность сохраняет четность исходных функций).

    Comment by Jazz — 04.06.2013 @ 20:26
  55. Хеллер написал:

    @ Аноним:
    По ссылке, которую вы привели, я не увидел финансовой математики.

    Ну так там пока еще ничего и нет)

    Если что, то такие вещи как VaR и иммунизацию я к финансовой математике не отношу (хотя есть серьезные математически проблемы оптимизационные, связанные с этим; впрочем, решенные проблемы).

    Исходный запрос ведь был не о серьезных математических проблемах?.. А о том, что бы сдать на CFA.
    Кстати: по риск менеджменту есть сертификации со схожими требованиями, если не задротней CFA … Как раз одна из проблем в 2007-2008 была в том, что куча некомпетентных людей не видела явных признаков того, что пора сливать все активы. И речь то была не об особо крутой математике …

    99% финансистов считают оценку СКО вообще не имея никакого даже минимального представления о том, что процессы бывают нестационарными, например, и их оценки в этом случае изменений цен в принципе бессмысленны, но они о таком даже не догадываются.

    99% финансистов не имею CFA.
    А вот тут http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Nobel_Memorial_Prize_laureates_in_Economics некая математика таки есть.

    «Простые вещи наиболее полезны», типа.

    «Сделай настолько просто, насколько это возможно, но не проще»

    Comment by Аноним — 05.06.2013 @ 02:15
  56. @ Аноним:
    Я сомневаюсь что тот курс будет сколько-нибудь математическим. Во-первых, данный профессор ничего подобного никогда не писал, насколько я знаю, во-вторых я довольно неплохо знаю структуру подобных курсов в целом — вряд ли этот курс будет сильно отличаться от стандартного. Послушаю, конечно, на всякий случай, но ничего глубокого я не надеюсь услышать.

    Среди нобелевских призеров разбирающихся в математике много, да (хотя и там есть от чего скривиться — ряд людей получили свои премии просто за то, что откопали какие-то вполне обычные для математика инструменты, о которых никто из экономистов-финансистов просто не слышал до этого, и смогли применить их, не проделав по сути вообще никакой работы). Но их уровень в разы превышает то что читают студентам. То есть когда в курсе читают формулу Блэка-Шоулза, то дают как правило именно формулу и список границ применимости — но откуда это всё берется мало какой финансист сможет объяснить.

    Как раз одна из проблем в 2007-2008 была в том, что куча некомпетентных людей не видела явных признаков того, что пора сливать все активы.

    Это довольно смешное утверждение, особенно звучащее задним числом. Понятно, что многие говорили, что пора всё сливать, а кто-то говорил, что надо держать. Это каждый день так говорят, и каждый день все эти аналитики круто промахиваются в не зависимости от того какие предсказания они делали в 2007-2008.

    Comment by Хеллер — 05.06.2013 @ 10:21
  57. @ Jazz:
    Кстати, а разве возможно используя только скалярное произведение определить синус и косинус суммы? Вроде возникает трудность в том, что само понятие угла особо не определишь так легко из векторов, если не отождествлять их с поворотами — тогда все получается обычным умножением матриц — но это уже надо рассматривать линейные операторы, что повышает требования по абстракции.

    Comment by Хеллер — 05.06.2013 @ 18:32
  58. Хеллер написал:

    @ Аноним:
    Я сомневаюсь что тот курс будет сколько-нибудь математическим.

    Ну так это же не математический курс! Вот кстати: http://oyc.yale.edu/economics/econ-252-11

    Во-первых, данный профессор ничего подобного никогда не писал, насколько я знаю, во-вторых я довольно неплохо знаю структуру подобных курсов в целом — вряд ли этот курс будет сильно отличаться от стандартного. Послушаю, конечно, на всякий случай, но ничего глубокого я не надеюсь услышать.

    Это не о глубоком. Это просто очень хороший курс — один из первых, доступных публично в онлайне.

    То есть когда в курсе читают формулу Блэка-Шоулза, то дают как правило именно формулу и список границ применимости — но откуда это всё берется мало какой финансист сможет объяснить.

    Согласен. Однако понимание того, откуда берется Монте-Карло не мешало куче народа им пользоваться буквально до недавнего времени … При том, что есть гораздо более вменяемое.

    Это довольно смешное утверждение, особенно звучащее задним числом.

    Лично я свалил из финсектора в июле 2007го — и уже тогда было понятно что осенью 2008 будет не очень ок. Хотя масштабов конечно же представить не мог.
    Рынок структурированных инструментов Кстати как раз тогда и закончился — о чем я узнал уже позднее.

    Comment by Аноним — 05.06.2013 @ 19:20
  59. @ Хеллер:

    Когда речь идет о произвольном линейном пространстве — да, скалярное произведение определяется через координаты, а потом через них определяется угол между векторами. Но на плоскости можно поступать наоборот, как часто и делают:
    — Определить скалярное произведение через косинус угла между векторами/отрезками. Уровень строгости понятия угла здесь такой же, как у углов в треугольнике. При этом очевидно, что от выбора базисов это произведение не зависит.
    — После этого легко доказывается, что скалярное произведение линейно по каждому из векторов, поскольку скалярное произведение через косинус угла — это произведение длины первого вектора на проекцию второго вектора на первый.
    — После этого каждый из векторов раскладываем по ортогональному базису, учитываем что углы между базисными векторами равны 90 градусов (т.е. их косинус равен 1), и получаем альтернативную формулу для скалярного произведения через линейную комбинацию произведения их проекций на оси координат.

    Comment by Jazz — 05.06.2013 @ 19:29
  60. Кстати: http://habrahabr.ru/post/182218/

    Comment by Аноним — 05.06.2013 @ 20:56
  61. слишком много букв

    Comment by рен — 05.06.2013 @ 21:25
  62. Роман, продолжение истории о православном МИФИ
    http://mymaster.livejournal.com/369314.html

    Comment by Борис — 09.06.2013 @ 15:41
  63. Спасибо за статью, очень интересно и мотивирует! Читаю Хеллера именно из-за его статей на математические темы.

    Я тоже решил серьезно выучить математику. Дело в том, что я выиграл государственную стипендию на получение аспирантуры (Ph.D) в Китае. Специальность — financial engineering с уклоном в stochastic processes. У китайцев на экономическом тут очень сильная мат. подготовка. На первом курсе (не аспирантуры) все тут учат calculus, линейную алгебру и теорию вероятностей.

    Естественно, я всего этого не учил, а все предметы подразумевают, что учил. У меня за все время моего экономического образования в Молдове было всего полгода «экономической математики», где мы вычисляли какие-то производные и вручную занимались оптимизацией по симплекс-методу без какого бы то ни было объяснения, что за идея стоит за этим методом.

    На сайте MIT Open Courseware есть огромное количество материалов, видеолекций с домашними заданиями и ответами, списками литературы и экзаменами с правильными решениями. На основании информации по prerequisites я составил себе примерный план изучения предметов (каждый последующий предмет основан на знании предыдущих):

    http://img845.imageshack.us/img845/4628/screenshot20130609at841.png

    По этим предметам есть полный комплект материалов, включая видеолекции:
    1) Calculus with theory
    2) Multivariable calculus with theory
    3) Differential equations
    4) Linear algebra

    Затем идут:
    5) Introduction to analysis
    6) Analysis I
    7) Measure and integration
    8) Theory of Probability
    9) Complex variables with applications
    10) Advanced analytic methods in science and engineering
    11) Random walks and diffusion (with applications to finance)

    Параллельно я понял, что, помимо математики, нужно знать еще и computer science. Я прошел CS101 от Udacity и научился работать с языком R. Понимаю, что для работы в индустрии необходимо знание C++, так что нужно выучить еще много всего.

    В блоге Хеллера самое интересное — именно математические статьи. После того, как вышла первая глава учебника, с интересом принялся ее читать. Все очень интересно, правда, вторая половина, про выводимость теорий, оказалась слишком сложна для меня. Зато прочтение этой главы подвигло меня на прохождение курса «Introduction to Mathematical Thinking» на Coursera от Стэнфорда, который оказался просто потрясающе интересным.

    Единственное, что смущает, это хватит ли мне трех лет для изучения всего того, что перечислено выше? Мне сложно судить, какой объем предстоит выучить. Поэтому прошу совета от более компетентных читателей. После окончания планирую устроиться в банк или инвестиционную компанию.

    Comment by Отто — 09.06.2013 @ 16:22
  64. А как вы относитесь к сервисам вроде Khan Academy?
    https://www.khanacademy.org/

    Comment by Павел — 09.06.2013 @ 20:22
  65. @ Борис:
    Да, очень круто, напишу об этом.

    @ Павел:
    Именно сами курсы мне не нравятся там. В то же время я однозначно одобряю любое начинание, пытающееся доносить людям знания свободно и открыто. То есть ребята молодцы, что делают, но лекции мне не нравятся там — возможно, потому что не мой уровень просто, для меня все темы, что они там затрагивают, были очень давно.

    Comment by Хеллер — 09.06.2013 @ 21:09
  66. @ Отто:
    Главы про выводимость оказались у меня очень неудачными. Я их перепишу.

    Трех лет в принципе достаточно, если не заморачиваться очень сильно. Тут каждую отдельную тему можно копать годами — этого на самом деле не требуется. То есть по дифурам пишут огромные монографии люди, но вряд ли вам потребуется что-то чего нельзя уложить в 4-5 лекций. 3 года — это более чем реально, если особо не отвлекаться.

    Comment by Хеллер — 09.06.2013 @ 21:13
  67. [offtop] Роман, видели недавнюю новость про МИФИ у Миши? http://lj.rossia.org/users/tiphareth/1707468.html

    Comment by Drew — 11.06.2013 @ 11:13
  68. @ Drew:
    Да, мне ссылку на Мишу и на того преподавателя уже многократно скидывали. Я напишу кратко об этом тоже сегодня.

    Comment by Хеллер — 11.06.2013 @ 11:19
  69. можете пожалуйста помочь ? с моей проблемой вы можете ознакомиться на форуме — http://mehaniki.ucoz.ru/forum/5-41-1

    Comment by 5paun — 11.06.2013 @ 16:22
  70. @ 5paun:
    Так вся эта заметка для вас как раз например и написана, что еще надо?

    Comment by Хеллер — 11.06.2013 @ 16:51
  71. хотелось бы чёткого списка учебников по школьным наукам с нуля до последнего года обучения в школе
    и грамотный алгоритм построения процесса обучения (это на от случай, если школьная база даёт слабину…)

    Comment by 5paun — 11.06.2013 @ 16:56
  72. @ 5paun:
    Нет нормального списка учебников. Гуглите конкретные темы и разбирайтесь с ними.

    Comment by Хеллер — 11.06.2013 @ 17:05
  73. Хеллер написал:

    @ 5paun:
    Нет нормального списка учебников. Гуглите конкретные темы и разбирайтесь с ними.

    я всё-таки нагуглил список литературы — http://www.alleng.ru/edu/math1.htm
    буду благодарен, если поможете мне выбрать автора для полного курса математики от 1-го до 11 класса, в общем всю школьную программу…
    а то на отдельном форуме мне написали авторов чуть ли не десяток, а мне надо изучить математику, до того, как на пенсию выйду :D

    Comment by 5paun — 12.06.2013 @ 11:58
  74. @ Хеллер:

    Comment by 5paun — 12.06.2013 @ 17:05
  75. @ 5paun:
    От вас похоже сообщение не дошло.

    Comment by Хеллер — 13.06.2013 @ 10:04
  76. @ Хеллер:

    я всё-таки нагуглил список литературы — http://www.alleng.ru/edu/math1.htm
    буду благодарен, если поможете мне выбрать автора для полного курса математики от 1-го до 11 класса, в общем всю школьную программу…
    а то на отдельном форуме мне написали авторов чуть ли не десяток, а мне надо изучить математику, до того, как на пенсию выйду :D

    Comment by 5paun — 13.06.2013 @ 12:12
  77. @ 5paun:
    Нет книг. То что есть книги, которые называются «школьная математика» — это еще ничего не значит. Ни одна из книг по школьной математике, что я смотрел, мне не понравилось. Почитайте мою заметку — я же объясняю как надо изучать.

    Comment by Хеллер — 13.06.2013 @ 13:37
  78. Рома, а что ты думаешь про теорию категорий? Насколько это нужная штука? Я скорее всего ошибаюсь, но мне показалось, что теория категорий суть обобщение теории множеств, с топосами и студентками. Если так, означает ли это, что теорию множеств можно (следует) выкинуть, как устаревший формализм?

    Comment by Какой-то чувак — 16.06.2013 @ 01:12
  79. @ Какой-то чувак:
    Теория категорий на замену теории множеств вряд ли сгодится, по крайней мере в ближайшем времени. Я знаю такое мнение, что дескать давайте отправим множества не свалку истории, но это очень глупо.

    Какой-то формализм выкидывают когда есть на то причины. Например, аксиомы Евклида оказались неполны, плохо обобщаются на многие размерности, плохо переводятся на язык алгебры и т. п. Векторные пространства и анализ делает то же что делали аксиомы Евклида, но гораздо проще и понятнее.

    Само появление теории множеств решило многие формальные проблемы и дала очень удобный инструмент. Сама по себе она очень проста, все её понятия формулируются очень просто на интуитивно-понятном языке, она позволяет делать интересные и важные обобщения.

    А что дают топосы? Никаких проблем теории множеств они не решают. Более того, даже базовые понятия теории множеств становятся на языке категорий довольно сложно сформулировать, а сами эти формулировки вообще не имеют никакого интуитивного смысла. Я видел много сторонников топосов вместо ZFC, но все они садятся в лужу, когда им задаёшь простые вопросы типа «как определить ординалы на топосах» или «как сформулировать континуум-гипотезу». Эти вопросы имеют тривиальный ответ на языке множеств, но не понятно как ответить на них на языке топовос. То есть это конечно возможно, но об этом написаны серьезные сложные статьи — ни о каком упрощении теории или практической выгоде тут речи не идёт. Если бы категории позволяли хотя бы что-то доказать о теории множеств, то было бы понятно. А так — совершенно бессмысленное занятие.

    То есть сами категории конечно замечательные, топосы замечательные — но только как еще один инструмент математики. Заменять категориями множества — крайне неразумно.

    Comment by Хеллер — 16.06.2013 @ 15:28
  80. Полностью согласен что с образованием вообще, и с математическим в частности всё обстоит просто ужасно в отечественных университетах. И однозначно надо что-то разрабатывать новое, по чему можно будет реально освоить математику самостоятельно, а не нарешивать сотни однотипных примеров как это заставляют делать в вузе.

    Готов подписаться почти под каждым словом в топике, за исключением может быть слов о определении определителя в линейной алгебре, лично я уверен что его надо сначала определять с помощью перестановок, а потом с помощью всего остального, что-бы в том числе показать важность и интересность перестановок вообще (лично я нашел в них интересный объект для изучения будучи на первом курсе), и очень большую важность в алгебре, особенно в теории групп. Хотя конечно я слушал курс просто «абстрактной алгебры», а затем в линейной уже были в основном только афинные пространства. Ну это, понятно, из за того что мой курс был больше теоретический, и возможно для прикладников подход с направленным объёмом будет эффективней.

    Ну я собственно не просто так пишу, а хочу поделиться найденными когда-то для себя, и очень полезными на самом раннем этапе самостоятельного обучения математике книгами.

    Во-первых по триганометрии, есть книга»ТРИГОНОМЕТРИЯ» И.М. Гельфанд, С. М.Львовский, А.Л.Тоом, написанная в таком же духе как их же чудесная книжка «Алгебра» упомянутая в начале поста. Кстати мне довелось опробовать на реальных школьниках попробовать научить их алгебре по этой книги, и результаты пожалуй превзошли все ожидания. Единственное что плохо, что примеров для решения там не так уж много, хотя это и плюс все они как вы верно заметили «идеологические» и не сложные и польза от каждого такого решенного примера очень высока.

    Кроме того, есть отличный учебник Р. КУРАНТ Г. РОББИНС «Что такое математика?» претендующими на такой «общий курс» типа того который вы составляете. Единственный его минус, это то что всё-же западная математическая традиция и отечественная довольно сильно отличаются, и из за этого, его неуловимо тяжеловато читать, хотя если использовать его как свой первый учебник, то наверное этот минус может и не проявиться.

    Лично для меня стали настоящим откровением «Лекции по математике» В.Босса и «Интуиция и математика» его же, они смогли в некоторой мере, в сочетании с чтением беспорядочно разных вузовских учебников типа Кострикина и Фихтенгольца, привести тот хаос который сложился в голове от интенсивной программы моего факультета в относительный порядок, и ответить на те вопросы которые (как я прочитал из вашего поста об учёбе в мифи) вы задавали преподавателям в духе «А зачем всё это нужно?», и которые каждый кто пришел в вуз не только ради диплома, наверное себе задавал.

    Вот что сам Автор пишет о «Лекциях»
    «»»Для изучения одного предмета нужны минимум два учебни-
    ка. Этот факт загадочным образом выпадал из поля зрения, хотя,
    казалось бы, нет ничего очевиднее. Любая спираль обучения на-
    чинается с двух витков. На первом — происходит знакомство с
    предметом, которое заканчивается «умением передвигать фигуры»
    и кашей в голове. На втором — все приводится в определенный
    порядок. Разумеется, до второй стадии не всегда доходит, но если
    доходит, то оба процесса тесно переплетаются.
    Беда в том, что обычные учебники по матанализу ориентиро-
    ваны на первый виток, где требуется «пешее обследование», тогда
    как для второго нужны книги, обеспечивающие «осмотр с верто-
    лета». Лекции предназначены как раз для таких итераций учебного
    процесса. Изложение формально начинается с нуля, но какая-
    то подготовительная работа предполагается выполненной. Первая
    часть книги — сжатый курс матанализа. Чуть более сотни страниц,
    но «все есть». Некоторые детали, конечно, опускаются, но это не
    потери, а приобретения. Сбросив десяток лишних килограммов,
    человек выглядит лучше, живет интереснее. Так и здесь. Многие
    подробности мешают видеть суть. И освобождение от балласта,
    как ни странно, позволяет обсуждать принципиальные вопросы,
    на которые в толстых учебниках не хватает места. Вторая часть,
    «необязательная», представляет собой обзоры и дополнения в стиле
    очерков, что имеет целью дать представление об окрестностях и
    может служить основой факультативных курсов.

    Лекции рассчитаны «на всех». На всех, кто так или иначе
    изучает высшую математику. Это может показаться странным, но
    здесь излагается общее ядро. Просто, коротко, без лишних деталей,
    но с обсуждением мотивов, причин и взаимосвязей. А это, как раз,
    нужно всем.
    «»»

    На сколько я знаю отношение к его лекциям довольно разное среди читавших, и по всей видимости последовании его книги из серии лекций не так хороши как первые, но другого такого курса, по крайней мере на русском языке, похоже просто нет, и это уже чего-то стоит.

    Comment by NEXUS — 17.06.2013 @ 07:40
  81. а 80 комментов — рекорд?

    Comment by lawenan-law — 17.06.2013 @ 14:49
  82. @ lawenan-law:
    Далеко не рекорд. Какой рекорд не знаю особо, но вот тут например 160 комментариев: http://heller.ru/blog/2010/07/prostitutes-attitude/ — насколько помню были заметки с 200+ комментариями, но вряд ли найду сейчас.

    Но вообще вопрос кажется мне странным — количество комментариев это не показатель вообще ничего. http://heller.ru/blog/2012/11/tesak/ — вот здесь например всего 124 комментария, но 547 перепостов в одном только ВКонтактике, плюс неизвестно сколько в Твиттере, Фейсбуке и жежешечках. Опять же важно не количество комментариев, а качество. В ЖЖ у вполне среднего пользователя гораздо больше комментариев, но там пустой трёп — читать нечего. В своем же блоге я часто от комментаторов узнаю что-то полезное. Это гораздо более здорово, чем гнаться за количеством.

    Comment by Хеллер — 17.06.2013 @ 16:58
  83. @ Хеллер:
    Конечно, никаким количеством тут качество не определяется, просто интересно, какие темы вызывают у народа наибольший резонанс

    Comment by lawenan-law — 17.06.2013 @ 18:13
  84. Бро, подкинь какой-нибудь учебник на английском по матану: алгебра либо анализ, что-нибудь совсем простое и для идиотов.

    Comment by agnomad — 19.06.2013 @ 11:30
  85. @ agnomad:
    Сложно посоветовать. Именно начальный анализ и линейную алгебру (интересует же она?) я учил главным образом по русскоязычным книгам: Зорич, Шварц, Винберг, Кострикин, Кострикин-Манин. На английском я читал только более продвинутые материалы. Если Sheldon Axler хороший на английском по алгебре, по анализу есть Rudin (у него две книги — одна называется как-то вроде «введение» — она не понравилась, вторая Real and Complex analysis — она хорошая), но обе книги вероятно не назовёшь «совсем простыми и для идиотов».

    Comment by Хеллер — 19.06.2013 @ 12:09
  86. Роман, если можно, несколько вопросов:

    1. На мой взгляд, начинать изучение математики, наряду с «Алгеброй» Гельфанда-Шеня, рекомендованной by Jazz, также вот с этой книги http://ge.tt/61pZsEb/v/75 (Maddox «Mathematical Thinking and Writing»). IMHO, книга очень неплохо настраивает на математическое мышление, по-американски всё разжевывает, знания математики перед прочтением требуются практически нулевые, разве что школьная арифметика и самые азы алгебры. С самого начала там идет обучение именно искусству доказательства. Но начинается там всё с числовой прямой, свойств сложения и умножения, потом дается логика, начала теории множеств, потом следует введение в анализ (самые азы, функции и пределы), потом в алгебру (группы и кольца). Один недостаток для тех, кто не знает английского: книга на английском. Не знаю, есть ли переводы. А вопрос простейший: знаком ли вам этот труд и если да, то ваше к нему отношение, стоит ли читать начинающим?

    2. Когда-то (не помню уже, в каком контексте) вы (или ты, как лучше? блоггеры обычно между собой на «ты») говорили, что математика в MIT никакая. Именно так и было сказано. Что вы имели в виду?

    3. Здесь уже упоминался Босс и его «Лекции по математике». Понимаю, конечно, что РАЕН — это уже отталкивает, но ведь и Арнольд там состоял. А подход Босса мне показался весьма интересным, хоть и странным. Он явно попытался объять необъятное, упихнув всё, что только можно, в 16 томов (у меня только 13, к сожалению) — но ведь он реально знакомит там с самыми разными разделами математики! Из профессионалов кто его ругает, кто хвалит — а каково к нему ваше отношение?

    Comment by Александр Жулего — 21.06.2013 @ 18:50
  87. Sorry, ссылка на Мэддокса оказалась нерабочей…

    Comment by Александр Жулего — 21.06.2013 @ 18:52
  88. @ Jazz:
    Если позволите, вопросы из поста № 86 адресую и Вам.

    Comment by Александр Жулего — 21.06.2013 @ 18:54
  89. @ Александр Жулего:
    Ни Мэддокса ни Гельфанда-Шеня не читал, поэтому не могу высказаться вообще никак. Рекомендации слышал, вероятно хорошие книги, но не могу судить. Вообще важнее, чтобы книга подходила конкретному читателю — одному надо разжевывание, другому максимальная абстракция, поэтому универсальных рекомендаций дать невозможно.

    Обращаться ко мне однозначно следует на «ты», обращение на «вы» не люблю ни в каком контексте.

    Про MIT не могу сказать точно что я имел ввиду, скорее всего это было впечатление от их курсов calculus и linear algebra в рамках OCW. Они действительно так себе. Насчет всей математики и всех профессоров я не могу этого конечно так утверждать, возможно я как-то не так выразился тогда.

    К Боссу отношусь хорошо, читал правда только первый том и очень давно, наверное практически как только он вышел. Можно по-разному оценивать математическую составляющую (там недостатки действительно есть), но очень хорошо, что он пишет просто, наглядно, на языке, близком к студентам, объясняет как правильно воспринимать материал — для многих учащихся это очень ценно, не мене ценно, чем сам материал. По крайней мере первый том я думаю можно смело рекомендовать, дальше просто уже не могу судить. Конечно, написанное там нельзя воспринимать всегда как истину в последней инстанции, но какие-то даже чисто методические соображения, которые он излагает, например, практически целиком совпадают с соображениями, которые я сам регулярно излагаю в блоге.

    Comment by Хеллер — 24.06.2013 @ 11:55
  90. Хеллер написал:

    @ Александр Жулего:

    Конечно, написанное там нельзя воспринимать всегда как истину в последней инстанции, но какие-то даже чисто методические соображения, которые он излагает, например, практически целиком совпадают с соображениями, которые я сам регулярно излагаю в блоге.

    Ну да, твои слова об эпсилон-формализме чуть ли не слово в слово сходятся со словами Босса! :) Спасибо, Роман, за ответ. Насчет «ты» спросил на всякий случай, а то Никонов, например, обижается, люди разные…

    Сам я по образованию филолог (что называется, законченный гуманитарий), но достаточно серьезно заинтересовался математикой. Понял, что без нее не буду иметь права называться умным :)

    Я и имел в виду OCW, контекст уже тоже не помню, но сами слова врезались в память. Не знаю насчет Linear Algebra, еще не видел, но на Calculus-1 меня несколько удивила подготовка студентов: задавали порой глупые вопросы. Это же MIT вроде как…

    Comment by Александр Жулего — 24.06.2013 @ 16:10
  91. Интересно, что вы думаете по поводу такого списка книжек?
    http://dxdy.ru/post698738.html#p698738

    Comment by Артур — 29.06.2013 @ 04:32
  92. @ Артур:
    Мне этот список кажется слишком длинным для слишком малого объема реально требуемых знаний. Хотя я ни одну из этих книг и не читал — может быть там выборочно имеет смысл ознакомиться.

    Comment by Хеллер — 02.07.2013 @ 12:37
  93. […] я писал свой план по математике, в комментариях читатель предложил свой […]

  94. ничего себе простынка)

    Comment by al — 07.09.2013 @ 09:41
  95. Роман, не смотрел курс Calculus от Пенсильванского университета? https://www.coursera.org/course/calcsing Если удастся просмотреть хоть мельком — напиши комментарий пожалуйста.

    Comment by Dimaka — 26.09.2013 @ 01:53
  96. @ Dimaka:
    Ну там довольно скромная программа — впрочем, наверное ровно то что надо на самом начальном уровне. Мне лично такое смотреть уже не интересно, но если кто-то не знает что такое ряд или производная — то ему наверное будет хорошо послушать.

    Comment by Хеллер — 26.09.2013 @ 08:13
  97. Лично мне больше нравится курс Calculus от университета Огайо https://class.coursera.org/calc1-002 Он для самых начинающих, но в диффисчисление и в интегралы вводит прилично. И максимально наглядно. Там же и Calculus II скоро будет, это уже про ряды.
    Вообще, жду там Natural Language Processing, это по моей части. Роман сам там занимался и вроде бы неплохо отзывался

    Comment by Александр Жулего — 26.09.2013 @ 17:04
  98. >Из конкретных учебников советую учебник Винберка, Кострикина и совместный учебник Кострикина и Манина.
    опечатка, Винберга

    + задачник Кострикина, он супер-крут
    про то, что определитель — ориентированный объём, и в самом Кострикине говорится

    Comment by vegeek — 15.10.2013 @ 16:09
  99. @ vegeek:
    Там это говорится, да, но первоначально он вводится именно формулой без какой-либо вообще мотивакии (причем, если я правильно помню, про направленный объем там речь идет уже только во втором томе, а определитель вводится в первом).

    Comment by Хеллер — 15.10.2013 @ 16:41
  100. Роман, нужно ли конспектировать материал по книге или достаточно повторять термины, которые плохо знаешь, по учебнику? Дело в том, что при изучении материала и одновременном его конспектировании на это уходит много времени, в разы больше, чем просто на чтение.

    Comment by Булат — 21.10.2013 @ 18:47
  101. Роман, что вы думаете об этом канале? И подходе преподавателя к изучению основ математики?
    http://www.youtube.com/playlist?list=PL5A714C94D40392AB

    Comment by Disco — 05.12.2013 @ 11:28
  102. @ Disco:
    Для школьников вроде довольно круто. Сам курс я конечно не слушал, но по крайней мере список тем вроде хороший.

    Comment by Хеллер — 05.12.2013 @ 12:12
  103. Роман, а по твоей книжке возможно выучиться математике с нуля?
    И другой вопрос: возможно ли выучиться математике начав не с азов, а сразу с мат.логики, теории множеств…?

    Comment by Disco — 07.12.2013 @ 23:46
  104. @ Disco:
    А теории начинать с логики и множеств, думаю, вполне можно. Другое дело, что это скорее в теории — учебников таких пока не написано.

    Мой учебник не уверен, что подойдет всем, он большинству оказывается чрезмерно сложным.

    Comment by Хеллер — 09.12.2013 @ 17:31
  105. Здравствуйте. Спасибо за труд ваш! Многие плюнули бы на нас и сказали надо было учиться в школе.
    Кстати, видел советы перед изучением прочитать книгу Jean Lave — Cognition in Practice: Mind, Mathematics and Culture in Everyday Life на stackoverflow.

    Comment by imbaaa — 12.04.2014 @ 11:43
  106. Блин, у вас нельзя комментарии редактировать.
    У вас учебник да, сложный, но от этого мне больше становится интереснее его читать. Привычка мышления моего может такая или что-то другое, но почему-то интереснее изучается когда материал дается не сразу же. Начинаешь искать что же не дается, и больше в голове начинает шестеренок крутиться :)

    Comment by imbaaa — 12.04.2014 @ 11:45
  107. Отличная заметка!
    Хотелось бы уточнить: какие именно книги МЦНМО имеются в виду?

    Comment by Ultra — 22.09.2014 @ 21:41
  108. @ Ultra:
    Все что они для матшкольников выпускают, их довольно много, на сайте есть некоторое количество бесплатных.

    Comment by Хеллер — 22.09.2014 @ 22:03
  109. @ Роман
    Здравствуйте!
    Меня интересует разработка системы прогнозирования спортивных результатов. Математику знаю на уровне школы. Дальше не учил. Хотя способности к обучению есть.
    Какие разделы математики надо знать, чтобы разработать такую систему?
    Я так понимаю, что подходов к решению этой задачи может быть несколько. Видел системы на основе теории нейронных сетей, на основе нечеткой логики и т.д. Но пока это только слова.
    Что вы посоветуете? Какие разделы здесь надо изучать, а какие не пригодятся?
    Планирую обучаться и самостоятельно, и дистанционно с учителем.

    Comment by tester.nt — 14.02.2015 @ 21:35
  110. @ tester.nt:
    Надо читать про Machine learning, попутно разбирая темы темы, которые не понятны, когда они встают при изучении (в любом случае это получится матан, линейная алгебра и теорвер).

    Comment by Хеллер — 14.02.2015 @ 23:51
  111. @ Хеллер:
    Статистика видимо туда уже входит.
    Спасибо за ответ.

    Comment by tester.nt — 15.02.2015 @ 00:37
  112. @ tester.nt:
    На самом деле входит, конечно, но в меньшей степени. Как правило всё что нужно из статистики уже излагается сразу в курсах по machine learning. Ну и ещё есть такой момент, что статистика нужна, когда требуется получить аналитический результат или доказаться что-то. Если цель — получить алгоритм, который как-то работает, путь и не доказано, что работает, статистика не очень поможет. Про большинство эффективный алгоритмов никто не знает почему они лучше, чем другие, просто так получается.

    Comment by Хеллер — 15.02.2015 @ 00:56
  113. @ Хеллер:
    Я так понимаю, что машинное обучение как предмет возникает на стыке как некоторых направлений математики, так и других наук. Какими тогда должны быть требования к учителю, который будет обучать? Думаю, если бы учитель ориентировался в маш.обучении, было бы лучше чем если бы он просто штудировал меня по мат.анализу, теор.вер. и лин.алгебре.

    Comment by tester.nt — 15.02.2015 @ 02:03
  114. Так как же все таки 123 в 64 степень тремя умножениями?!! Не постигаю((( шестью элементарно, а тремя??? Перевести его 123 в двоичную, но что это даст?

    Comment by Redkhmer — 18.04.2015 @ 13:00
  115. @ Redkhmer:
    Я по всей видимости опечатался либо что-то правил и недоправил. Действительно, никак не возвести. Сейчас исправлю. Печально, что при двух сотнях репостов и десятке тысяч просмотров статьи, за два года так на ошибку никто и не указал.

    Comment by Хеллер — 19.04.2015 @ 10:33
  116. @ Хеллер:

    Спасибо, за ответ, камень с души, честно, вот еще вопрос общий так сказать, доказаетльство леммы Эвклида, самое элементарное, приходящее в голову, я, как ни странно, нигде не встречал. Если представить
    $$ a= p/cdot q_1 + r_1 $$ и b соотвественно, то после раскрытия скобок получается выражение из четырех членов, где три из них делятся на p, а четвертый представляет из себя произведение остатков от деления a и b на p, поскольку вся сумма делится на p, то этот четвертый должен быть равен нулю, лемма доказана. Обычно доказывают через алгоритм Эвклида или соотношение НОД и НОК. Причем взаимная простота a и b, роли не играет, на мой взгляд причины тут в истории математики. Теория чисел, насколько я видел она где то на преферии твоих математических интересов, да и замечание мое тривиальнее некда просто захотелось высказться, извини если косой латекс, я с ним как-то пока не очень

    Comment by Redkhmer — 19.04.2015 @ 11:39
  117. @ Redkhmer:
    На самом деле тут есть недочёт в доказательстве: после раскрытия скобок произведение r1r2 не должно быть равно нулю — оно может быть кратно p. Из того, что r1<p и r2<p никак не следует, что r1r2 не делится на p. Это кажется на первый взгляд очевидным, но это лишь следствие того, что мы неявно ожидаем работающей основную теорему арифметики. А она в свою очередь сама опирается на лемму Евклида.

    Comment by Хеллер — 19.04.2015 @ 12:28
  118. Красивы ответ, неявно вылезает теорема, которая в доказательстве должна отсутствовать, тут вся медитативность математики, светит, может быть еще в одном рассуждении укажешь мне что неявно вылезает
    Диагональный метод Кантора доказывающий что бесконечные последовательности нулей и единиц имеют болшую мощность чем натуральный ряд, от предполагается что биектвиное соответствие установлено и далее строится последовательность, которая в этой биекции отсутствует, от противного доказали, но вот что жаждется сделать смешать чуть-чуть доказательство от противного и конструктивность, то есть выходит что в результате попытки биекции мы получили только одну единственную последовательность в нее не вошедшую, можно ли утверждать что разность множеств натурального ряда и бесконечных нулей и единиц равномощно множеству из одного элемента. То есть кардиналы отличаются на еденицу, вроде бы ординальные числа здесь еще не начинаются, и вообще насколько здесь уместно говорить о конечной разности, ведь мы имеем дело с бесконечными множествами, то есть с теми котоые при прибавлении конечного числа не меняются, ошибка здесь сто процентво у мен в рассуждениях, хотелось бы точно понять где. Заранее благодарен

    @ Хеллер:

    Comment by Redkhmer — 19.04.2015 @ 23:59
  119. Прошу прощения за ошибку с непривычки косячу на планшете
    @ Хеллер:

    Comment by Redkhmer — 20.04.2015 @ 00:07
  120. Прошу прощения за ошибки, непривычки косячу на планшете, плюс еще фиксация на скоростных чатных диалогах(((
    @ Хеллер:

    Comment by Redkhmer — 20.04.2015 @ 00:08
  121. @ Redkhmer:
    Я не уверен, что правильно понял вопрос, но вообще диагональный аргумент показывает лишь способ, как построить _одну из возможных_ последовательностей, которая не вошла в «биекцию». Это не значит, что других последовательностей быть не может. На самом деле других последовательностей, не вошедших в эту «биекцию» — континуум, просто именно этот способ доказательства показывает одну из них.

    Comment by Хеллер — 20.04.2015 @ 10:35
  122. Где можно посмотреть доказательство что их не вошедших континуум? в голову приходит следующее: множество подмножеств натурального ряда равномощно множеству вещественных чисел, в нем содержится подмножество алгебраических, вычитаем его из вещественных поучаем трансцендетные, их множество несчетное. Можно ли посмотреть какое то иное доказательство?
    @ Хеллер:

    Comment by Redkhmer — 20.04.2015 @ 14:46
  123. @ Redkhmer:
    На самом-то деле это очевидный факт: если хотя бы одно из множеств A и B бесконечное, то мощность их объединения — это максимальная из мощностей A и B. Таким образом, если A — счётное, а объединение A и B континуум, то B — континуум. Это объясняется в любой книжке по теории чисел, наиболее доступно, думаю, показано в книге Верещагина и Шеня.

    Comment by Хеллер — 20.04.2015 @ 14:56
  124. Я очень рада найти людей, которые хотят помочь таким как я (потерянным в математике). Но прочитав этот пост хочу дать фидбек — я ничего не поняла(
    А когда уж начала читать комментарии, мне совсем стало плохо…
    На свой счет хочу добавить, что один из главных пунктов выполнен, так как английский для меня родной язык.
    Хотелось бы найти человека, который смог бы помочь именно ПОНИМАТЬ математику, а не просто уметь решать задачи.
    Мой имейл: annas2016@student.vis.ac.at

    Comment by annaeskobar — 15.06.2015 @ 00:40
  125. Здравствуйте, у меня такая ситуация: я учусь на факультете ПМиИ и так получилось, что сейчас ощущаю, что математическое понимание слабо, как можно улучшить? Где-то читал, что если есть проблемы по теории, то нужно налегать на практику, как я понимаю, вы это не одобряете, а как, по-вашему, одолеть барьер?

    Прохожу ЛинАл и Мат.Анализ.

    Comment by Иван — 17.11.2015 @ 10:57
  126. Здравствуйте. Математика — говно. Это важно понимать. Это только ебучий ящик с инструментами, который нужен другим наукам. Ебитесь сами со своей «чистой» математикой. Я ненавижу функан. Я ненавижу доказывать очевидные вещи. Я ебал вас всех в рот. Идите в жопу. Особенно Константинов.

    Comment by Дмитрий — 04.12.2015 @ 15:25
  127. Учите функан

    Comment by Хуй — 04.12.2015 @ 15:28
  128. @ Иван:
    Извиняюсь за поздний ответ. Под практикой смотря что иметь ввиду. Прорешивать множество однообразных примеров, что делают в институтах и школах, смысла действительно нет. Можно прорешать что-то на непонятную тему, но лучше опять же то, что как-то отражает теорию, а не просто лишь бы получить ответ к типовой задачке. В этом плане хорошо смотреть разные МЦНМО-шные брошюры. Ну и можете попытаться действительно читать сразу Зорича и Кострикина и решать оттуда. Там задач мало, но они как раз очень адекватно подобраны.

    Comment by Heller — 10.12.2015 @ 19:42
  129. Извините Роман.
    Я учитель по физике. И хочу очень сильно углубится по этой науке. Что порекомендуете? Спасибо!!!

    Comment by Айбек — 28.01.2016 @ 14:46
  130. @ Айбек:
    Не могу подсказать сколь либо объективно, физику я сам не знаю. Самому мне нравятся «PHYSICS» автора D. Giancoli, но это совсем простая книжка. Но просто объясняется всё ну очень уж хорошо, на живых примерах, нормальным языком. Из более серьезного — лекции Фейнмана. Я их как-то раньше в комментариях критиковал, но потом почитал более глубоко и очень проникся. Правда, лекции эти тоже далеки от серьезного уровня — там математика в основном вся детская, например, плюс, я не знаю насколько актуальны сведения, которые он там приводит — не исключаю, что наука где-то пересмотрела уже то, что он тогда писал. Но не могу сказать — не разбираюсь.

    Comment by Heller — 28.01.2016 @ 16:58
  131. @ Heller:
    Спасибо

    Comment by Айбек — 29.01.2016 @ 08:19
  132. Здравствуйте, поступаю на логиста, какие области математики затронуты там?

    Comment by Maks — 01.06.2016 @ 18:30
  133. @ Maks:
    Логист какой? Тот, кто занимается товародвижением (типа поставить товар из пункта В в пункт А) или тот, который занимается складской логистикой ?
    2 совершенно разные вещи
    В 1 случае упор делать на изучение валютного законодательства, перехода рисков по товару (Инкотермс 2010), таможенного кодекса (и дальше набивать практику работы с таможней), а дальше практика чистой воды: особенности портовской логистики, контейнерных и автоперевозок. Матан там не нужен.

    Если складская то х з — матрица ABC, XYZ и системы учёта товародвижения на складе, ERP-системы

    Логистика — это скучный гимор.

    Comment by digital.buyer — 08.01.2017 @ 12:22
  134. Heller,
    если следишь за комментами этой статьи есть вопрос:
    занимаюсь торговлей на бирже (перехожу так сказать на этап осознанной торговли) и понял, что бы более эффективно торговать нужно изучать big data: поиск и анализ закономерностей, анализ массивов данных, а это —-> теория вероятностей и мат статистика, но с какой стороны к ней подступить? Что включить в программу? Вообще мат статистика рулит. Я хочу потихоньку начать сам и чуть позже подключить какого-л препода, который бы помог мне осваивать программу.

    Comment by digital.buyer — 08.01.2017 @ 12:40
  135. @ digital.buyer:
    Увы, по теории вероятностей я ничего не могу порекомендовать. Сам я читал или начинал читать многие книги по теме, но ничего такого, что я мог бы с чистой совестью рекомендовать другим, я не нашёл. Почему-то по теории вероятности все книги как-то очень по-дурацки написаны.

    По Big Data на Курсэре кстати есть какие-то курсы, но я их не смотрел. Можете попробовать — вдруг хорошие. Книги опять же посоветовать не могу — никогда специально не интересовался.

    Comment by Heller — 13.01.2017 @ 13:06
  136. @ Heller:
    Я понял, спасибо! Ваш сайт держу в голове. Если чего — зайду вопросы задавать.)

    Comment by digital.buyer — 23.01.2017 @ 23:40
  137. @ Jazz:
    А про какой именно том Фихтенгольца идет речь? Того что из основ математического анализа или Курса дифференциального и интегрального исчисления?

    Comment by Феофан — 30.01.2017 @ 11:04

  138. Спасибо за статью, было интересно почитать!
    Например, если отталкиваться от задач — мне интересны комбинаторика, алгоритмы и теория вероятности.
    Есть необходимость проходить через описанную основу, а так же мат анализ(например Зорича)?

    Comment by Артем — 22.03.2017 @ 09:21
  139. @ Артем:
    Да, это совершенно необходимо, включая Зорича. Это всё совершенно необходимые основы.

    Comment by Heller — 22.03.2017 @ 21:01
  140. Добрый день, в данной статье упомянут livemocha.com , более недоступный.
    Есть аналогичный интересный инструмент для десктопа и мобильных устройств — lingq.com
    Может, замените ссылку на рабочий сайт? ;)

    Comment by Алиса — 03.05.2017 @ 23:33

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Оставить комментарий

This work is licensed under GPL - 2009 | Powered by Wordpress using the theme aav1
SEO Powered by Platinum SEO from Techblissonline