Математика и секс
Август 16th, 2013

Еще рекомендации по математике

Когда я писал свой план по математике, в комментариях читатель предложил свой альтернативный план. Давно хотел его разместить, поскольку материал у него получился очень хороший и адекватный, было обидно, что хороший текст пропадает где-то в комментариях, где его никто не видел, но всё руки не доходили.

Сейчас у меня неожиданно случился огромный завал на работе (вторую неделю вкалываю до поздней ночи), но желание писать в блог есть. И тут я вспомнил о списке читателя. Дальнейший текст не мой (я обрезал только самый первый параграф).

Jazz — 31.05.2013

Позволю себе добавить некоторые дополнительные комментарии и акценты. Тоже, в основном, для начинающих, но и не только для них. Возможно, с немного большей ориентацией на теоретиков, но и для прикладников это будет актуально.

Вряд ли кто-то из читателей этого блога будет учить математику совсем уж с нуля. В большинстве случаев, хотя бы рудиментарные знания из школы и института быть должны. Поэтому вместо повторения школьного курса, я бы советовал идти немного другим путем: сразу учиться по хорошим (но простым и понятным!) учебникам достаточно высокого уровня.

1) Начальный курс алгебры
В первую очередь, перед любыми другими разделами и учебниками, очень рекомендую изучить и прорешать от корки до корки учебник Гельфанда и Шеня “Алгебра” (этот и остальные учебники упоминаемые ниже можно найти в свободном доступе в интернете). Он покрывает собой практически всю школьную алгебру, но намного лучше всех стандартных школьных учебников. Последние я не смотрел уже очень давно, так что сравнивать с ними могу только предположительно, но в этом предположении я практически уверен. Он не только интереснее, полнее, более стимулирующий и т.д., но и подает материал в правильном и удобном виде для последующего изучения анализа и алгебры. При этом в нем вводятся многие понятия, равенства и неравенства, которые будут часто использоваться в дальнейшем в алгебре и анализе: сложение в других системах счисления (+ умножение и деление), треугольник Паскаля, многочлены (+ деление в столбик, теорема Безу и т.д.), арифметические и геометрические прогрессии (+ формула для чисел Фибоначчи), квадратные уравнения и графики (+ теорема Виета для квадратного и кубического уравнения), неравенства о средних (арифметическое, геометрическое, гармоническое, квадратическое).

Полезно и то, что в нем не только сочетаются теория и задачи, но и почти все задачи очень простые, что многим будет помогать для роста уверенности в своих возможностях. И задачи часто не просто вычислительные, а идеологические, что тоже очень важно.

2) Начальный курс анализа
Школьный курс анализа бесполезен чуть менее, чем полностью. Я редко употребляю подобные выражения, но в данном случае иначе просто не скажешь :) К сожалению, это же верно и по отношению к большинству вузовских курсов. Роман уже писал раньше о вредительстве учебников Ильина-Позняка, что я поддерживаю двумя руками. Большинство остальных учебников анализа (как и всего остального) “рекомендуемых Министерством образования” ушли от него недалеко.

При этом я не согласен с популярным мнением о бесполезности Фихтенгольца. По-моему, первый том Фихтенгольца это вообще лучший начальный курс анализа, и именно с него надо начинать изучение/повторение анализа. Рекомендую издание 2003 года, которое есть в сети в очень хорошем качестве.

Также несогласен и с мнением о ненужности эпсилон-дельта формализма. Как начальный метод для понимания пределов и непрерывности он вполне приемлим и полезен. Собственно, и в первом томе Зорича многие определения и теоремы формулируются или дублируются на этом формализме. ОДНАКО важно относиться к этому формализму правильно:
— Учить его по правильным учебникам, например по Фихтенгольцу. В нем, в отличие от многих других стандартных курсов анализа, как раз отсутствуют бессмысленные технические удлинения доказательств за счет точного вычисления эпсилона в каждом случае. При этом сохраняется полная строгость всех доказательств, просто они часто короче и понятнее, чем в учебниках подобных Ильину-Позняку. В отличие от многих других курсов, где простое делается сложным, у Фихтенгольца (как потом и у Зорича) сложное делается простым.
— Понимать, что этот формализм не самоцель, а всего-лишь ступенька к более продвинутому формализму метрических и топологических пространств. Т.е. параллельно представлять в голове интерпретацию всех эпсилон-дельта выражений как окрестностей точек соответствующих пространств.
— Не тратить время на решение десятков задач “на вычисление эпсилон”.
— Очень полезно, даже на самом начальном этапе, потратить день (больше не надо) на чтение первых двух глав из второго тома Зорича: “Непрерывные отображения (общая теория)” и “Дифференциальное исчисления с более общей точки зрения”. Цель при этом не разобрать все доказательства, а хотя бы примерно понять основные структуры и увидеть картину того, к чему в будущем придет эпсилон-дельта формализм в отношении непрерывных функций и дифференциального исчисления.

Важно понимать, однако, что Фихтенгольц полезен только на самом начальном этапе для одномерного анализа, т.е. только примерно 2/3 первого тома: вещественные числа, последовательности, функции одной переменной, пределы, непрерывность, производные, исследованией функций одной переменной. Там все будет очень просто и будет идти быстро. Также ряды во втором томе, но на них много времени тратить не надо. Когда дойдете до функций нескольких переменных и интегралов, надо будет уже переходить на Зорича (при желании заглядывая в Фихтенгольца, но уже не используя последний как базовый начальный учебник). Фихтенгольц останется в памяти как наглядный детский конструктор, но пора будет вырастать и переходить на более серьезные игрушки. Первый том Зорича, как и Фихтенгольц, тоже будет очень легким. Тем более, что после Фихтенгольца вы уже будете знать идеи и доказательства практически всех теорем одномерного анализа, просто будете смотреть на некоторые из них с более общей точки зрения (предел по базе и т.д.).

3) Вещественные числа
Отдельным пунктом выделю построение множества вещественных чисел и арифметических операций на нем. Собственно, именно с этого и нужно начинать изучение/повторение анализа. Лучший и наиболее простой способ для его первого изучения, по-моему мнению, это сечения Дедекинда. Излагаются, например, у Рудина и Фихтенгольца, причем у Фихтенгольца это сделано, как минимум, не хуже.

Представление о сложности этих сечений и о сложности/громоздкости последующего вывода из них арифметических операций вещественных чисел — это еще одно популярное заблуждение. Да, возможно при первом чтении это потребует нескольких дней напряженных размышлений, но после этого вы поймете насколько все красиво и очевидно. Вообще, я бы сказал, что первая глава Фихтенгольца (о вещественных числах) является тестом на то, насколько вам математика интересна не просто как прикладное оружие для решения задач и приложений в других областях, но как самостоятельная красивая и глубокая система структур и отношений между ними. Конечно, это будет только первый взгляд мельком на подобные структуры, но даже в замочную скважину можно будет многое увидеть.

В этом отношении я не согласен с Романом, что достаточно интуитивного понимания, например арифметических операций, а строгие формальные выкладки не нужны. Не нравится мне и используемое в некоторых учебниках, например у Зорича, аксиоматическое построение множества вещественных чисел. Дело в том, что построение вещественных чисел заканчивается важнейшим в идеологическом смысле понятием полноты/непрерывности множества вещественных чисел в виде существования точных верхних и нижних граней у любого ограниченного множества (есть и несколько других эквивалентных формулировок, см. их ниже). Это наиболее важное (the single most important) понятие начального курса анализа, из которого потом выводятся ВСЕ последующие теоремы о пределах, непрерывных функциях, дифференцировании и т.д. А если не чувствуешь внутренней уверенности в фундаменте и в том, как именно этот фундамент построен, то потом и все здание тебе не будет казаться прочным и понятным. Поэтому важно не просто вводить полноту R в виде аксиомы (как, например, у Зорича), а выводить его из структур на множестве рациональных чисел, которые позволяют ввести сечения, из которых потом выводится полнота множества вещественных чисел в виде элементарной теоремы.

Кстати, заодно с Фихтенгольцем на этом этапе рекомендую и небольшую книгу Хинчина “Восемь лекций по математическому анализу”. Она полезна как источник интересных и стимулирующих рассуждений.

После того, как построение на основе сечений будет разобрано во всех деталях и станет “вашим”, стоит прочитать как это делается и на основе бесконечных десятичных дробей (по любому вузовскому курсу анализа где это излагается, например Теляковский). После сечений это займет уже не больше пары часов, и будет полезно с точки зрения еще одного взгляда на то, как можно строить множество вещественных чисел. В будущем, при изучении общего понятия пополнения метрических пространств, можно будет увидеть как это делается и на основе фундаментальных последовательностей. Последний способ наиболее общий и применим уже к любым метрическим пространствам, включая те, в которых отсутствует линейное упорядочение (сечения можно построить только на основе структуры упорядочения рациональных чисел, но уже нельзя в пространства без такой структуры).

4) Теория чисел
Уже функции многих переменных в первом томе Зорича, и особенно его второй том, будут требовать знания линейной алгебры. Но перед тем, как двигаться в сторону алгебры, я бы рекомендовал начальный курс по теории чисел. Элементы этого курса входят и в школьную алгебру, и в любые курсы алгебры, но, обычно, в очень усеченном и конспективном виде.

И это очень зря. Теория чисел, как минимум элементарная, очень полезна с точки зрения поставления простых и содержательных примеров и иллюстраций ко многим объектам алгебры. Кольца, поля, делимость, фактор-группы, теорема Лагранжа и другие алгебраические понятия можно гораздо лучше понять, если перед глазами будут примеры реализации этих структур на простейшем множестве целых чисел. Причем изученные не мимоходом в школе или курсе алгебры, а спокойно и обстоятельно, и еще до курса алгебры.

В каком-то смысле, теория чисел и пространство в котором она живет (целые числа) предоставляет собой “экспериментальную площадку” для многих абстрактных алгебраических утверждений. При расширении кольца целых чисел до рациональных, вещественных и комплексных, а потом при введении понятий топологии, метрики и функции — эта экспериментальная площадка расширяется для нужд анализа, геометрии, топологии и т.д.

По моему мнению, лучший учебник для начального знакомства с теорией чисел это “Теория чисел” Нестеренко. У него есть недостатки, но, по-сравнению с остальными, у него наиболее последовательное и простое изложение всех основных разделов элементарной теории. Только мне там не очень нравилось доказательство мультипликативности функции Эйлера, более естественное доказательство см. например в “Теории чисел” Михеловича.

Не все разделы у Нестеренко необходимы при первом изучении. Достаточно, например, сначала изучить делимость чисел (включая НОД и НОК, алгоритм Евклида и диофантовы уравнения), основную теорему арифметики о разложении на простые числа, дзета-функцию Римана, кольцо классов вычетов (включая полную и приведенную систему вычетов), функцию Эйлера, теорему Эйлера (из которой, кстати, и следует, что рациональные числа представляются бесконечными периодическими дробями), китайскую теорему об остатках. В общем, по ходу чтения будет понятно, что именно нужно для последующего изучения абстрактной алгебры.

Кстати, лемма Евклида (и даже более общее утверждение, когда p не простое), и следующая из нее основная теорема арифметики, более прозрачно и естественно доказывается не из алгоритма Евклида, где это больше похоже на фокус, а из двух простых лемм о том, что A) произведение двух чисел равно произведению их наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, и B) любое общее кратное двух чисел делится на их наименьшее общее кратное.

5) Алгебра
В дополнение к “Теореме Абеля в задачах и решениях” Алексеева есть очень приятная книга Аршинова и Садовского “Грани алгебры”.

В остальном буду неоригинален: Винберг “Курс алгебры” и Кострикин “Введение в алгебру”. Городенцев “Алгебра-1” это тоже отличный курс, но не для начального изучения.

Также буду неоригинален и в том, что геометрию лучше учить не на школьном уровне, а одновременно с алгеброй. Собственно говоря, как стало ясно еще в конце 19-го века в “Эрлангенской программе” Клейна, классическая “аналитическая” геометрия (включая евклидовую, проективную, афинную и т.д.) это просто часть линейной алгебры. При этом, конечно, и линейную алгебру нужно учить сразу на геометрическом бескоординатном языке.

6) Дальнейшее изучение анализа
После линейной алгебры можно будет приступать и ко второму тому Зорича. Одновременно с ним я бы рекомендовал и курс функционального анализа, например “Элементы теории функций и функционального анализа” Колмогорова и Фомина. Собственно, это курсы почти об одном и том же, просто с разными акцентами. Колмогоров-Фомин в некоторых отношениях даже лучше, поскольку там метрические и топологические пространства рассматриваются более подробно. Заодно, Колмогорова-Фомина можно использовать и как начальный курс теории множеств.

Параллельно с ними рекомендую и “Лекции по математическому анализу” Львовского. Вообще, хороших учебников по анализу много. Изучение сразу по нескольким учебникам очень полезно, если это делается эффективно. Как именно это делать, каждый может определяться согласно своим предпочтениям и нарабатываемому опыту. Я бы рекомендовал, например, так:
— Ориентироваться на 1-2 курса как на основные по данному разделу. По ним подробно разбирать все понятия, доказательства, примеры и т.д.
— При этом я полностью согласен с Романом, что все теоремы надо сначала пробовать доказать самому (если вообще не появляется идей, то посмотреть начало доказательство и пробовать дальше продолжать самому… если потом снова где-то застрял, то посмотреть продолжение и снова продолжать самому… и т.д.).
— После них, или параллельно с ними, читать другие учебники как вспомогательные. Они будут идти уже намного быстрее, почти как беллетристика. Цель в том, чтобы подсмотреть где-то интересные новые понятия, дополнительные мотивировки, оригинальные идеи, альтернативные доказательства, немного другие акценты и т.д.

У разных учебников есть также и следующий часто встречаемый эффект. Если какой-то автор в своем учебнике доказывал какую-то теорему одним способом, то авторы более поздних учебников часто пытаются придумать другие способы доказательства (что естественно с человеческой точки зрения). Когда это сильные авторы – это здорово, узнаешь новые интересные способы доказательств. Но бывают и такие авторы, которые хороших новых доказательств придумать не смогли, старые хорошие доказательства использовать не хотят (что зря), и начинают накручивать что-то маловнятное. Поэтому старые хорошие учебники иногда лучше новых.

Также полезно параллельно проходить разные разделы, например анализ (включая топологию) и алгебру (включая линейную алгебру и геометрию):
— Слишком надолго переключаясь на новый раздел, можно забывать предыдущие. Особенно при начальном изучении, когда знания еще не полностью улеглись в твою картину мира и не так плотно соединены со всем остальным у тебя в мозгу.
— Между различным разделами очень много связей. Совместное изучение подпитывает каждый за счет взаимных мотиваций, примеров, аналогий, взаимных применений и т.д.
— У разных разделов много общего с точки зрения теории категорий, об этом кратко см. ниже.

7) Доказательства
Выше я уже отметал, что в разных учебниках встречаются разные доказательства одних и тех же теорем. Это ОЧЕНЬ полезно. Еще Фейнман говорил, что умение посмотреть на что-то с разных точек зрения значительно улучшает понимание. Собственно говоря, “понимание” чего-то это и есть возможность посмотреть на данное понятие или теорему разными способами. Например, даже у простейших теорем анализа (непрерывность последовательностей и функций) есть по 3-4 равноценных доказательства. Это неудивительно, ведь само понятие полноты множества вещественных чисел (из которой все эти теоремы и выводятся) можно выразить несколькими равноценными способами:
— Существование чисел, производящих сечения в множестве вещественных чисел (теорема Дедекинда).
— Существование точных граней у ограниченных множеств.
— Существование общей точки у стягивающейся системы отрезков.
— Существование предельных точек у бесконечных множеств (или, что то же самое, возможность выделить сходящиеся подпоследовательности из бесконечных последовательностей).
— Сходимость фундаментальных последовательностей.

И польза не только в том, что смотришь на одни и те же вещи по-разному и больше “привыкаешь” к ним. Очень важно и то, что глубже понимаешь исходную природу тех или иных математических понятий и структур. Основная цель доказательств теорем же не в том, чтобы проверить их справедливость, а в том, чтобы понять как именно они связаны с теми понятиями и структурами, на которых они основаны. А значит лучше понять как сами фундаментальные структуры, так и то, что на их основе можно построить. Поэтому, например, доказательста по индукции — не всегда хороши (хотя могут быть и хороши, когда они раскрывают естественные причины справедливости теоремы), а доказательства через различные случайные трюки — почти всегда плохи.

Кстати, при начальном изучении любого раздела теоремы доказывать очень просто, т.к. сразу понятно, исходя из чего их можно доказать. Количество структур ведь сначала очень небольшое, так что не приходится гадать, какие из них нужно использовать. Причем это относится не только к одномерному анализу на R, но и к почти любой другой теории в ее начале (метрические пространства, топологические, теория групп, линейная алгебра и т.д.). По мере продвижения вперед — постепенно становится сложнее, так как количество структур и фактов увеличивается, а значит увеличивается и количество комбинаций тех утверждений, которые может быть необходимо использовать при доказательствах. Но с другой стороны, при таком продвижении вперед становится и легче, так как ты все лучше понимаешь эти структуры и связи между ними. Об этом немного в следующем пункте.

8) Поднятие по лестнице абстракций, теория категорий и иже с ними
Это исключительно интересная и богатая тема, о которой можно писать очень много. Процесс поднятия по лестнице абстракций – это, на самом деле, основное, что приходится делать при изучении математики. Не пытаясь раскрыть это сколь-нибудь полно, некоторые вещи все же не могу не упомянуть.

Очень важно понимать, что когда ты изучаешь математику, ты не просто узнаешь новые понятия, теоремы и связи между ними, а все время поднимаешься на следующие уровни абстракций. Грубо говоря:
— Сначала идут отдельные изолированные объекты (например, натуральные числа).
— Потом множества из этих объектов и операций/структур на множествах (сложение, умножение, упорядочение…).
— После этого сами множества (!) уже можно представлять как отдельные объекты и выполнять операции над ними (например, классы вычетов на Z).
— Затем вообще отвлекаешься от природы исходных элементов или множеств, и строишь абстрактные алгебраические структуры (группы, кольца, модули…)
— Затем применяешь аналогичную идеология во всех остальных разделах математики (алгебра – алгебраические структуры, анализ – метрические и топологические пространства и т.д.)
— И, наконец, поднимаешься еще на одну ступеньку и рассматриваешь уже операции над “множествами множеств” (строго говоря – над “классами множеств”), что приводит к понятию “категорий” и “функторов” и объединяет все области математики.

При таком движении важно каждый раз приходить к тому, чтобы уже изученное становилось для тебя простым, коротким и почти очевидным. Тогда можно будет твердо стоять на очередной ступеньке абстракций и быть готовы двигаться выше. Но надо и соблюдать разумный баланс изучения и потраченного времени, не пытаться достичь идеального понимания на данной ступеньке. Почти всегда бывает так, что поднявшись на одну ступеньку выше, ты намного лучше понимаешь и то, что было ниже. Во-первых, сверху все лучше видно, а во-вторых, прежние понятия становятся частным случаям новых понятий, а значит более простыми хотя бы из-за этого. Наконец, при этом у тебя в мозгу возникает больше структур и связей, что, как отмечалось выше, во многом и есть “понимание”.

По поводу множеств и структур на них, рекомендую короткую и простую статью Бурбаки “Архитектура математики”. Стоит, однако, понимать, что она излагает математическую идеологию “докатегорных” времен. В последние несколько десятков лет акцент сместился с описания множеств “самих по себе” (со структурами _внутри_ множеств), на их описание на основе отображений _между_ множествами. Последнее, грубо говоря, и есть суть теории категорий.

Вообще, у теории категорий есть имидж чего-то сложного и абстрактного, но это еще одно заблуждение. Конечно, когда эта теория развивается и углубляется, то доходит до весьма сложных вещей, но ее начальные понятия очень естественны и прозрачны, а сама идеология категорий очень помогает двигаться по упомянутой выше лестнице абстракций, лучше понимания связи между разными разделами математики. Уверен, что лет через 50 теорию категорий будут учить в школе (не только матшкольники) и удивляться, почему она раньше казалась сложной.

Но, как и с начальными курсами анализа, важно начинать с правильных учебников. А это такие учебники, в которых теория излагается не начиная с определений и теорем, но начиная (и продолжая) с мотиваций и примеров. Без излишней сухости и снобизма, без стремления сразу все усложнять и излагать на максимально общем языке, с нежным отношением к читателю. Блестящим введением в теорию категорий является Голдблатт “Топосы. Категорный анализ логики” (хотя по названию этого и не скажешь). Кстати, в этой книге очень неплохо кратко излагаются и некоторые тонкие вопросы теории множеств, например различие между множествами и классами. Также, как это часто бывает, отличное изложение начал теории категорий можно найти в оригинальной статье создателей этой теории Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane “General Theory of Natural Equivalences”, 1945 год. Приятно читать изложения, в которых авторы сначала объясняют, как и почему возникают те или иные понятия, а потом уже начинают вводить определения и формулировать теоремы. А когда это сами авторы теории, то это еще интереснее и полезнее.

9) Решение задач
Почему-то в этом вопросе часто много крайностей: или решать сотни однотипных задач из Демидовича, или вообще почти ничего не решать. Лучше всего некий компромисс, причем когда задачи это не вещь в себе, а просто один из этапов общего обучения:
— В первую очередь, стараешься максимально глубоко понять теорию — до того уровня, когда все становится очевидным (ну или почти очевидным). Пытаешься доказать теоремы всеми возможными способами, рисуешь для себя схемы взаимных связей различных структур и т.д.
— Много думаешь и повторяешь про себя: восстанавливаешь доказательства, пытаешься придумать новые, обдумываешь понятия и связи между ними… Это, кстати, лучшее, чем можно заниматься в поездках в машине или транспорте.
— Решаешь “идеологические” задачи для повторения и закрепления теории, а также дополнительного рассмотрения некоторых тонких вопросов.
— Добавляешь к этому умеренное число “вычислительных” задач для лучшего понимания отдельных алгоритмов, особых случаев и т.д. Они также важны, чтобы не забывать о практических применениях и приложениях новых понятий и теорем. Если доходишь до уровня, когда алгоритмы решения вычислительных задач очевидны при вгляде на них, и вспоминаешь, что нечто подобное уже решал, на этом можно остановиться.

И самое главное. Очень важно иметь интерес к математике, но не менее важны трудолюбие и регулярность. Одно подпитывает другое и невозможно без другого. Action without vision is nonsense. A vision without action is a dream.

42 комментария »

  1. Хорошее и весьма.

    Comment by Аноним — 16.08.2013 @ 20:57
  2. Благодарю!

    Comment by Гавр — 16.08.2013 @ 21:19
  3. К категориям может быть трудно подойти даже если уже кое-что выучил. Например, есть начальная глава в учебнике функана Хелемского, которая меня многократно приводила в полное недоумение — эпи, моно, изоморфизмы, ретракции, коретракции, слабые эквивалентности морфизмов… другими словами, много новых понятий не наполненных никаким реальным содержанием, к которому можно было бы обратиться.
    Очень хорошо и к месту про них можно узнать одновременно с определением фундаментальной группы. При этом сразу есть повод узнать про функторы и, соответственно, понять в общих чертах, зачем нужен весь язык.

    Comment by Артём — 18.08.2013 @ 00:59
  4. @ Артём:

    Тогда уж сингулярных гомологий каких-нибудь. Там как раз теория категорий уже «по существу начинается» (всякие Snake Lemm’ы и пр.).

    Comment by Илья — 18.08.2013 @ 15:40
  5. Хорошо, годно. Пошел за книгами.

    Comment by серго — 19.08.2013 @ 10:13
  6. А по геометрии что читать?

    Comment by Knox — 19.08.2013 @ 17:13
  7. @ Knox:
    Смотря что за уровень. Школьная геометрия не нужна почти (в моем списке было), любая более продвинутая геометрия — это на самом деле разновидности анализа/алгебры/топологии. Так что читать их, ну и дальше брать дифференциальную геометрию и алгебраическую.

    Comment by Хеллер — 19.08.2013 @ 19:18
  8. @ Артём:
    Рекомендую книжку http://books.google.ru/books/about/Conceptual_Mathematics.html?id=o1tHw4W5MZQC&redir_esc=y

    Подойдёт для изложения категорий даже школьникам. Все нужные(виды морфизмов, sections, retractions и так далее) понятия там есть.

    Comment by Товарищ социалист — 20.08.2013 @ 12:44
  9. @ Товарищ социалист:

    Вот я как раз хочу такую почитать! Спасибо!

    Comment by Артём — 20.08.2013 @ 13:00
  10. @ Товарищ социалист:
    Благодарю за рекомендацию.

    Comment by Sergey — 20.08.2013 @ 15:18
  11. @ Артём:
    @ Sergey:
    Не за что, рад был помочь.

    Задам тупой оффтопный вопрос: какую музыку вы слушаете, когда читаете? Пост-рок мне уже давно поднадоел (теперь изредка его слушаю, и то в основном гайбов и серебряную гору Зион), всякие жОсткие индастриалы отвлекают долбящими звуками, а друм’н’басс вообще наскучил. Подумываю послушать классику, но никак не могу собрать плейлист такой, чтобы в нём не было унылятины разной и отвлекающих моментов.

    Собственно, вот вопрос: 1) нет ли у вас плейлиста годной музыки для упарывания томов математики; 2) то же, что в п. 1), но с плейлистом над полем классической музыки?

    Ещё реквестирую информацию по всевозможным медитативным техникам погружения в текст (внутренние экраны и прочее, что поможет сконцентрироваться и часами медитировать над задачами).

    Comment by Товарищ социалист — 21.08.2013 @ 14:09
  12. @ Товарищ социалист:

    Я стараюсь в тишине. Если что-то всё-таки слушаю — когда не очень трудно читается — то клавишную музыку Баха. Партиты, Гольдбергские вариации. Но которые Баха не любят — тем его скучно слушать.

    Comment by Артём — 21.08.2013 @ 15:08
  13. @ Товарищ социалист:
    Я не Хеллер, но советую вот эту группу — http://vk.com/classicmusic.

    Comment by Чесночинка — 21.08.2013 @ 17:10
  14. @ Товарищ социалист:
    Меня лично отвлекает совершенно любой звук от раздумий, поэтому продуктивнее всего я занимаюсь ночью. Правда, я в последнее время стал соблюдать режим дня (ложусь в 00:00 каждый день), поэтому стал, к сожалению, заниматься меньше. Пока всё никак не могу перестроиться.

    Comment by Хеллер — 22.08.2013 @ 10:17
  15. @ Товарищ социалист:
    Рекомендую музыку из фильмов. Hans Zimmer.

    Comment by Дмитрий — 23.08.2013 @ 20:56
  16. @ Артём:
    Бах неплох! По крайней мере, не отвлекает.

    @ Чесночинка:
    Про группу эту знал, но забыл, спасибо. Посмотрю, повыбираю.

    @ Хеллер:
    Меня тоже отвлекают звуки, а именно резкие шумы. Сюда же относится и большая часть музыки. Ситуация такова: по будням я очень много времени провожу в транспорте (электрички, метро) и читаю или пишу именно там. Продавцы, контролёры, шум механизмов и человеческие разговоры отвлекают в миллионы раз сильнее, чем музыка в наушниках. Проблема именно в подборе музыки.

    Кстати, здесь есть интересное поле для обсуждения. Я заметил, что среди звуков одной громкости менее хаотичные отвлекают меньше. Это напомнило мне детей с аутизмом — они пытаются всё вокруг себя упорядочить: раскладывают вещи по порядку, закрывают уши и начинают кричать с периодично меняющейся частотой, занимаются аутостимуляцией (совершают периодичные движения). Это они делают оттого, что ненавидят смену деятельности (= отвлечение).

    Обычному человеку можно пробовать делать похожее для увеличения сосредоточенности: включать достаточно нехаотичную музыку, освобождать рабочее пространство и не загромождать его лишними вещами, установить режим дня и режим приёма пищи и так далее.

    Тишина с этой точки зрения является, конечно, идеальным фоном. Но едва ли достижимым не ночью.

    Медитативные мантры, кстати, тоже являются такого рода фоном для усиления концентрации. Наверное.

    @ Дмитрий:
    Неужели действительно помогает сосредоточиться? Всё, что слышал у него, достаточно боевое либо уныловатое. Хотя я, наверное, не так много слышал.

    Comment by Товарищ социалист — 24.08.2013 @ 23:39
  17. Позволю себе порекомендовать книгу несколько иного плана, нежели учебник. Называется «Игра с бесконечностью», автор Роза Петер. Несмотря на то, что книжка написана в сороковые годы, мне кажется довольно полезной и занимательной. Особая прелесть её в том, что это «математика для нематематиков». Это не учебник для освоения современной математики, какие тут активно обсуждаются, а объяснение «на пальцах», преследующее цель дать понимание. Возможно, это более интересно тем, кто бы хотел разобраться в вопросах без погружения в формализм и всю строгость учебников. Книжка без проблем ищется в интернете.

    Comment by qq — 01.09.2013 @ 17:37
  18. Благодарю за работу, Роман!
    Вопрос назрел, я только-только решил изучать математику, за плечами только арифметика, пожалуй. Нормально ли будет начинать по Гельфанду и Шеню с их «Алгеброй», и далее по списку? Или все-таки заполнить пробелы иным чтивом?
    Заранее спасибо.

    Comment by Ivan — 03.09.2013 @ 08:53
  19. @ Ivan:
    Мне сложно сказать, так как я не читал её никогда, но многие говорят, что это хороший вариант. Ну а там черт его знает.

    Comment by Хеллер — 03.09.2013 @ 09:13
  20. @ Хеллер:
    Тогда начну с нее, позже отпишусь. Еще раз спасибо за ваш учебник и рекомендации.

    Comment by Ivan — 03.09.2013 @ 09:17
  21. Роман, как ты считаешь нужно ли глубокое изучение математике программисту(разработчику по)? Глубокое относительно средних школ и вузов, например, дополнительно заниматься по лекциям НМУ и самостоятельно изучать по книжкам?

    Comment by Булат — 21.10.2013 @ 18:31
  22. после «считаешь» запятую пропустил

    Comment by Булат — 21.10.2013 @ 18:33
  23. математики* :D

    Comment by Булат — 21.10.2013 @ 18:34
  24. @ Булат:
    Ну как сказать. По поводу программирования тут всё двояко. С одной стороны я считаю, что глубокое копание математики развивает абстрактное мышление и потому полезно для программирования в принципе. С другой стороны я так же знаю, что в крупных компаниях (те же Яндекс или Лаборатория Касперского) самые топовые девелоперы/тимлиды/архитекторы/рисерчеры глубоко математику не знают. Так что в общем-то наверное и не факт, что это сильно надо.

    А как изучать — тут дело сугубо индивидуальное. Я лично ничего не конспектирую никогда (и не очень понимаю зачем — конспектирование относится к навыкам машинистки, а не математика), но иногда останавливаюсь и пытаюсь самостоятельно воспроизвести прочитанное на бумажке вкратце. Иногда без этого достаточно бывает прорешать задачек.

    Самым важным для меня наверное является некоторый процесс классификации и упорядочивания знаний. Это сложно объяснить, но примерно это выглядит как расстановка в голове что откуда берется, как выводится, как может применяться, какие свойства можно было бы логически сгруппировать.

    Comment by Хеллер — 22.10.2013 @ 10:31
  25. Булат написал:

    например, дополнительно заниматься по лекциям НМУ и самостоятельно изучать по книжкам?

    Это очень правильный подход. Вскоре выяснится, что ни на что другое (включая программирование) времени нет, да и не хочется.

    Comment by Артём — 22.10.2013 @ 12:43
  26. @ Хеллер:
    спасибо большое за развернутый ответ

    Comment by Булат — 22.10.2013 @ 14:51
  27. @ Артём:
    Для меня приоритетнее программирование, так что скорее не будет времени на глубокое изучение математики. Хотя, если будет возможность, то буду совмещать.

    Comment by Булат — 22.10.2013 @ 14:55
  28. @ Хеллер:
    Еще вопрос: что бы ты посоветовал изучать в математике программисту(будущему, конечно)? Ты ведь тоже увлекаешься(увлекался, занимаешься — не знаю точно) программированием, написал заметку о книгах Дональда Кнута, что из математики помогло тебе лучше понимать материал, самостоятельно доходить до решения тех или иных задач в области программирования. Спрашиваю, потому что возникает серьезный вопрос о времени, которое можно посвятить приоритетному направлению или математике.

    Comment by Булат — 23.10.2013 @ 09:36
  29. @ Булат:
    Если о конкретной применимости, то главным образом в программировании потребуется анализ алгоритмов — а это комбинаторика, теория вероятностей, базовый вещественный, комплексный и функциональный анализ. Помимо этого надо конечно читать и сугубо специфически темы такие как линейное программирование и дискретную оптимизацию. Не сказать что это всё прям сильно нужно программисту, но даёт навыки по придумыванию алгоритмов самостоятельно.

    Если углубляться в какие-то прочие области, то надо смотреть уже на область.

    Области не то чтобы математические но и не непосредственно к программингу относящиеся — лямбда-исчисление (лучше начать с простого учебника типа SICP, первую половину, и подтянуть функциональное программирование, а потом почитать по ссылкам из Википедии), теория сложности (главным образом подходы к NP-задачам), теория автоматов.

    Comment by Хеллер — 23.10.2013 @ 11:24
  30. @ Хеллер:
    Спасибо большое, как раз то, что хотел узнать

    Comment by Булат — 23.10.2013 @ 14:43
  31. @ Хеллер:
    Еще вопрос насчет изучения математики: стоит ли смотреть видеокурсы на khanacademy, например, или на похожих сайтах? Лучше просто заниматься по учебнику + лекции НМУ(в дальнейшем) или может просмотреть онлайн-курсы
    khanacademy или западных вузов как подготовку к вузу и лекциям НМУ?

    Comment by Булат — 28.10.2013 @ 14:34
  32. @ Булат:
    Khanacademy мне очень не нравится — материал практически не покрывают, рассматривают только тривиальные темы. Смысла в этом не вижу вообще никакого (хотя вроде как кто-то их смотрит и ему нравится — но не мне).

    То же самое можно сказать о Udacity. На edX может быть есть нормальные курсы какие-то (когда-то отдельные курсы на MIT OCW были хорошими, если рассматривать их как вводные), нравятся отдельные курсы на Coursera — их очень рекомендую.

    Comment by Хеллер — 28.10.2013 @ 15:11
  33. @ Хеллер:
    А что можешь посоветовать изучать по математике(матанализ, алгебра, геометрия) кроме учебников на русском? Английский знаю на низком уровне( при просмотре лекций по алгоритмам на курсере в некоторых местах нужно заглядывать в словарь), поэтому нужно какие-то материалы на этом языке смотреть.

    Comment by Булат — 28.10.2013 @ 15:41
  34. @ Булат:
    Я обычно ищу по ключевому слову «lecture notes» нужную тему в Гугле, а там как повезёт.

    Очень рекомендую Википедию.

    По алгебре читал главным образом Dummite Foote «Abstract Algebra» — остальное либо вот эти записки лекций случайно попавшиеся, либо отдельные какие-то статьи/книги.

    На начальном-то уровне весь математический нужный материал очень неплохо покрыт переведенными учебниками на самом деле.

    Comment by Хеллер — 28.10.2013 @ 16:27
  35. @ Хеллер:
    Спасибо за развернутые ответы)

    Comment by Булат — 28.10.2013 @ 17:34
  36. Рома, посоветуй что-то по изучению комбинаторики с самых основ, никогда не понимал её почему-то. В результате и с теорвером проблемы появились. Хочется все-таки разобраться в это разделе основательно.

    Comment by Dimaka — 19.12.2013 @ 02:56
  37. @ Dimaka:
    По комбинаторике с основ видел хорошего только на английском. Самое интересное, пожалуй, A Walk Through Combinatorics, Miklos Bona. Ну а вообще ближайшие параграфы моего учебника будут по комбинаторике как раз, основное нужное будет рассмотрено.

    Comment by Хеллер — 19.12.2013 @ 03:05
  38. Здравствуйте! Начал заниматься математикой, согласно приведенных рекомендаций, читаю «Алгебру» Шеня и Гельфанда, в связи с чем возник вопрос — нет ли где в инете разбора задач? Большая часть, конечно, простая, но некоторые нет. Уперся в задачу №122 (после разбора треугольника Паскаля): «В многочлене (1+2х)^200 раскрыли все скобки, приведя его к стандартному виду (сумма степеней х с коэффициентами). Чему равна сумма коээфициентов? Указание: Подставьте х=1» Вот уперся как баран и никак не могу прорваться через какой-то ментальный барьер…

    Comment by Liberator — 18.01.2014 @ 02:37
  39. @ Liberator:
    Не знаю насчет разбора всех задач, вряд ли есть где-то. Лучше всего мне кажется спрашивать на форумах или в блогах. Что касается именно этой задачи, то после раскрытия скобок и подстановки x=1 как раз получается сумма всех коэффициентов при x. Стало быть достаточно подставить изначально x=1 и получается всё та же сумма коэффициентов, которая очевидно равна 3^200.

    Comment by Хеллер — 18.01.2014 @ 14:43
  40. Спасибо, я, видимо, тщетно пытался прорваться к более сложному/общему решению :)

    Comment by Liberator — 18.01.2014 @ 15:14
  41. Подскажите, пожалуйста, по какой причине рекомендуется Фихтенгольц именно 2003 года?

    Причина вопроса — на Ozon.ru имеется издание 2008 года и мне приятнее читать бумажный вариант.

    Comment by SomeName — 13.08.2014 @ 19:46
  42. @ SomeName:

    Не все покупают и перечитывают каждое новое издание Фихтенгольца.

    Comment by Артём — 15.08.2014 @ 12:00

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Оставить комментарий

This work is licensed under GPL - 2009 | Powered by Wordpress using the theme aav1
SEO Powered by Platinum SEO from Techblissonline