Математика и секс
Январь 21st, 2011

Автоном №32

Вышел «Автоном» новый, 32-й номер, держу его сейчас в руках. Отпечатан насколько я знаю буквально несколько дней назад, раздавался позавчера на митинге, но к моменту, когда я туда пришел (из-за врожденного географического кретинизма я вначале перепутал место сбора), все журналы уже разобрали, поэтому свою копию получил только сегодня.

Ну как обычно журнал замечательный, уже прочитал несколько статей. Теперь там несколько полноцветных вставок, вообще все смотрится даже гламурно. Отдельных реверансов требует верстальщик и дизайнер обложки — журнал сделан добротно, я как-то однажды подглядел на незаконченный номер, и честно говоря даже не ожидал что результат будет таким крутым. Короче молодец, реальный молодец.

Но главное конечно статьи, хоть я и не разделяю ультралевых взглядов, но многое читается интересно. Из того, что прочитал особенно понравилась статья про Костолома. Ну там в общем скорее просто про антифа-движ, а не именно про Костолома, но статья очень хорошая.

А моей статьи к сожалению там нет. Ну просматривая номер должен сказать, что это и правильно — она была бы там совершенно неуместна, так как совершенно и стилистически и тематически выбивается из общего ряда. При всей моей любви к журналу, писать в левом ключе я совершенно не умею, так как сам я в гробу видал всю политику, да и вообще значительную долю этих взглядов не разделяю. Статью видимо выложу в блоге в скором времени (только вероятно подредактирую сначала, добавив нецензурщины и пошлых оборотов, как я люблю).

Кто хочет купить  журнал, тут вот информация по приобретению: сайт Автонома. Очень типа рекомендую. Те, кто ходит в НМУ либо те, с кем я просто знаком лично, могут купить номер у меня — я проявил инициативу по распространению и взял пару номеров чтобы раздать хорошим людям за бабло (правда все что взял уже раздал, но если будут еще желающие — могу и еще взять). При нужде могу в другой город заслать, но только знакомым или знакомым знакомых.

P.S. Жаль, что у меня заложен нос — наверняка зин офигенно пахнет типографией, с чего я всегда ловлю кайф, а в этот раз ничего не могу почувствовать. Обидно до жути.

Декабрь 27th, 2010

Что читать по математике

Как-то раз сидели мы в вегетарианском кафе с одним молодым (на порядок моложе меня) и талантливым математиком. Обсуждали конечно же математику и секс (кстати, на написание статьи «Как пойти к простиутке» во многом сподвиг меня именно он в тот вечер). Один из вопросов, который обсуждался — это список тем и книг, с которыми должен быть знаком начинающий математик на базовом уровне. Под базовым уровнем считается четвертый курс математической специальности.

Поскольку я сам изучаю математику на 90% самостоятельно, я обратился к моему товарищу за советом: что изучать? что читать?  И он накидал мне список. Он попросил меня не упоминять его имени и фамилии в блоге, но список позволил опубликвать. По этому списку хочется заметить, что он ценен тем, что составлен действительно разбирающимся человеком, который понимает то что в этих книгах написано (часто списки составляются людьми невменяемыми). Так же очень ценно, что это довольно свежий взгяд молодого человека, а не старика-профессора, который математику воспринимает уже не так, как обычный студент. Так же нет ретроградства в виде рекомендаций учебников алгебры Гельфанда и Ван дер Вардена, которые может быть и хорошие книги, но уже давно появились гораздо более удачные учебники, о которых старшее поколение может просто не знать.

Ну и от себя я добавлю, что сам список на мой взгляд не полный. Не хватает теории графов, комбинаторики, теории вероятностей и прочих вещей, с которыми математик все же должен быть знаком по моему убеждению — список в этом плане сильно отражает научные интересы моего товарища. Я его публикую в том виде, в каком он его составил без каких-либо правок.

Алгебра

Базовый уровень:

  1. Винберг Э.Б. Курс алгебры.
  2. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия.
  3. Кострикин А.И. Введение в алгебру (три части).
  4. Городенцев А.Л. Лекции по алгебре (доступны на его сайте).
  5. Шафаревич И.Р. Основные понятие алгебры.

Теория представлений:

  1. Теория представлений симметрической группы (Фултон У. Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии.)
  2. Теория групп и алгебр Ли (связь с симплектической геометрией  метод орбит Кириллова) (Винберг Э.Б., Онищук А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам, Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли, Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений, Кириллов А.А. Элементы теории представлений, Кириллов А.А. Лекции по методу орбит.)
  3. Теория квантовых групп, бесконечномерных алгебр Ли (алгебры Вирасоро, алгебры Каца-Муди) и групп петель, плюс начала теории вертексных операторных алгебр. (Демидов E.E. Квантовые группы, Бурман Ю.М., Фейгин Б.Л. Бесконечномерные алгебры Ли — I: полубесконечные формы, алгебра Вирасоро и вертексные операторы, Кац В.Г. Бесконечномерные алгебры Ли, Прессли Э., Сигал Г. Группы петель)
  4. Введение в геометрическую теория представлений (извращенные пучки, геометрическая конструкция U(sln); ит.д.) (Chriss N., Ginzburg V. Representation theory and complex geometry.)

Коммутативная алгебра:

  1. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру, Matsumura H. Commutative algebra. (неплохо бы иметь представление об аффиной алгебраической геометрии)
  2. D. Eisenbud. Commutative algebra, with a view towards algebraic geometry.

Гомологическая алгебра:

  1. Когомологиии алгебр Ли (Фукс Д.Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли)
  2. Производные категории, начало гомотопической алгебры (Гельфанд С.И., Манин Ю.И. Методы гомологической алгебры)

Анализ

Базовый уровень:

  1. Рудин У. Основы математического анализа.
  2. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ.
  3. Львовский С.М. Лекции по математическому анализу.
  4. Львовский С.М. Лекции по комплесныому анализу.
  5. Зорич В.А. Математический анализ.
  6. Нарасимхан Р. Анализ на вещественных и комплексных многообразиях.
  7. Арнольд В. А. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Линейный Функциональный Анализ:

  1. Классический функциональный анализ и теория меры (Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа, Вербицкий М. Лекции по теории меры)

Более продвинутый анализ (эллиптические и дифференциальные операторы, расслоения и т.д., переход к языку пучков, C*-алгебры, KK-теория):

  1. Анализ на многообразиях с привлечением пучков, векторные расслоения (Вербицкого М. Курс Анализ-4 (НМУ), Ramanan S. Global calculas, Неструев Дж. Гладкие многообразия и наблюдаемые, Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применение)
  2. Ведение в операторные алгебры, некоммутативная геометрия Конна, применение операторных алгебр в топологии (общая идеология) (Мерфи Дж. C*-алгебры и теория оперторов, Соловьев Ю.П., Троицкий Е.В. C*-алгебры и эллиптические операторы в дифференциальной топологии)

Алгебраический анализ:

  1. Теория D-модулей (Bernstein J. Algebraic theory of D-modules, Ginzburg V. Lectures on D-modules, Касивара М., Шапира П. Пучки на многообразиях)

Топология

Базовый уровень:

  1. Виро О.Я., Иванов О.А., Харламов В.М. и Нецветаев Н.Ю. Элементарная топология.
  2. Вербицкий М. Лекции по топологии.
  3. Васильев В.А. Введение в топологию.
  4. Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс.

Алгебраическая топология:

  1. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топлогии.
  2. Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы.
  3. Ботт Р., Ту Л.В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии.

K-теория:

  1. Атья М. Лекции по K-теории.
  2. Каруби М. K-теория.

Теория узлов:

  1. Прасолов В.В., Сосинский А.Б. Узлы, зацепления и трехмерные многообразия.
  2. Chmutov S., Duzhin S., Mostovoy J. Introduction to Vassiliev knot invariants.
  3. Атья М. Геометрия и физика узлов.

Геометрия

Базовый уровень:

  1. Городенцев А.Л. Лекции по геометрии (НМУ)
  2. Манин Ю.И. Лекции по алгебраической геометрии (часть 1) Аффиные схемы.
  3. Харрис Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс.

Комплексная геометрия:

  1. Вуазен К. Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия.
  2. Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии
  3. Манин Ю.И. Калибровочные поля и комплексная геометрия

Введение алгебраическую геомтерию:

  1. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии.
  2. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия
  3. Eisenbud D., Harris J. The Geometry of Schemes.
  4. Мамфорд Д. Красная книга о многообразиях и схемах.

Абелевы многообразия и теория тэта-функций

  1. Мамфорд Д. Лекции о тэта функциях.
  2. Полищук А.Е. Абелевы многообразия, тэта-функции и преобразование Фурье.

Дифференциальная геометрия

  1. Бессе А. Эйнштейновы Многообразия.
  2. Милнор Дж. Теория Морса.

Симплектическая и пуассонова геометрии

  1. Vaisman I. Lectures on the geometry of poisson manifolds.
  2. Рейман А.Г. Семенов-тян-Шанский М.А. Интегрируемые системы.

Теория деформаций

  1. Kontsevich M., Soibelman Y. Deformation theory.

Теория графов

  1. А.К. Звонкин, С.К.Ландо Графы на поверхностях и их приложения
Декабрь 9th, 2010

Теорема Абеля в задачах и решениях

Я потихоньку читаю (проглядываю) списки книг, которые вывесили в ЛЖР-сообществе НМУ, в том числе дабы ничего не упустить смотрю и в книги для совсем начинающих.

Ну там много таких книг, но особенно мне понравилась книга Алексеева «Теорема Абеля в задачах и решениях». Книга на мой взгляд просто изумительная. Излагаемый в книге материал я изучал по разным взрослым учебникам в течении долгого времени и давалось мне это честно сказать не особо просто. Главным образом из-за того, что я к теореме Абеля шел не напрямую и в гораздо более абстрактных терминах. А тут вдруг оказалось, что теорему Абеля вполне может осилить любой даже средний школьник. Книга действительно написана очень просто и понятно.

Сейчас очень жалею, что не прочитал этой книги еще очень давно. В идеале она должна была бы быть вообще первой, прежде чем начинать заниматься чем-либо. Жаль, что не сложилось, а вместо этого я пару лет читал дерьмище от Ильина и Позняка, не зная о существовании альтернатив. Просто безумно жалко. Мог бы ведь стать математиком, а теперь хер — старый уже.

Ноябрь 11th, 2010

Русские проблемы в английской речи

В комментариях к позапрошлой заметке мне посоветовали крутейшую книгу. А я теперь советую ее вам. Потому что действительно очень крутая.

UPD: Продолжаю чтение. Книга замечетальная, и очень хорошо объясняет укоренившиеся мифы, о которых я так настойчиво пишу, но мне не верят. Рекомендую в общем миллион раз.

Октябрь 1st, 2010

Шафаревич, «Основные понятия алгебры»

Решил почитать книжку в сабже. У меня так получилось, что алгебру я в свое время сразу начал изучать на абстрактном уровне, без какой-либо мотивировки в виде физических или математических задач. Мотивировка была лишь та, что это как не крути язык современной математики и знать алгебру по этой причине все же надо (я не учился ни в матклассе, и в институте у нас алгебры не было, так что извне никто меня не направлял).

Тем не менее всегда было интересно как к абстрактной алгебре приходят нормальные люди. Интересовали простые бытовые задачи (пусть даже головоломки), решаемые методами теории групп, например, ну и так далее. Вот Шафаревича мне рекомендовали как раз как такую книгу: грамотное всеобъемлющее введение в материал алгебры на простых примерах.

Но, увы, не понравилось. Если вы уже знаете все понятия, что объясняются в книге, то она вам совершенно не нужна. Если не знаете, то она и не поможет. Написана книга сложно, и если вы заранее не имеете подготовки, то открывать ее бессмысленно. Кстати, некоторые даже простейшие примеры я так и не понял (например, в первой главе, где речь идет об уравнениях кривых в каких-то странных дискретных геометриях). Но и разбираться не хочется, потому что скучно же.

Сентябрь 20th, 2010

«Geometries» Сосинского

Приобрел брошюрку «Geometries» Сосинского, которую нам рекомендовали в НМУ. К сожалению оказалось, что в издании 2008-года что-то видимо слетело у типографии, и половина иллюстраций просто напросто поломалась. Вместо красивых чертежей пропечатались знаки вопроса.

В целом же о книге и о курсе  впечатление осталось смешанное. Материал вообще интересный, но во многом излагается довольно скомкано. Я, например, никогда не читал о калейдоскопах, и в чем там суть по книге уловить не смог. Буду ждать соответствующих лекций. Аналогично  почти не понятно о замощении плоскостей — здесь в общем причина в том, что поломаны иллюстрации и невозможно следовательно посмотреть на картинку.

Ну и вообще многие вещи в книге кажутся немотивированными. Я пока прочел четыре лекции,  и зачем нужны фундаментальные области или категории книга совершенно не раскрывает, хотя и дает определения. Это на мой взгляд плохо. Но в остальном подбор материала интересный.

В общем явно плохого сказать о книге не могу, за исключением косяка в типографии (но очень серьезного), но и рекомендовать тоже не могу. Книга для того, чтобы максимум один раз ее пролистать, чтобы узнать по минимуму что-то новое.

Август 2nd, 2010

О книгах Дональда Кнута

Хватит о политике, пока меня не посадили. Лучше о книгах.

Давно хотел предостеречь читателей от прочтения «Искусства программирования», которое ошибочно считается хорошей книгой, которую надо прочесть каждому. На мой взгляд — книга отвратительная.  Сам я прочел два первых тома, и должен сказать, что это был совершенно пустой труд.

О контенте. Первый том вообще не нужен. Значительная его часть посвящена ассемблеру MIX. Он конечно язык сравнительно простой, но объяснять алгоритмы на примере ассемблерного, а не псевдокода, как-то не правильно на мой взгляд (тем более что современные настоящие ассемблеры даже проще, чем кнутовский). Я лично прочитал про сам MIX, но дальше все, где этот язык фигурировал, пропускал, потому что дикая дурь. Может быть конечно во времена, когда Кнут писал книгу, это и было оправданно, но сегодня это выглядит как крайне неудачный ход.

Еще в первом томе есть немного математики и немного про деревья. Математическая составляющая тоже не особо радует — на 90% это «синтаксическая математика», где все сводится к механическим операциям. Действительно интересных задач почти нет. Да и в общем-то математика там очень детская и какая-то несерьезная. Книга излагает лишь несколько простейших результатов о сочетаниях и сравнениях по модулю на школьном уровне. Из-за этого поверхностного знакомства с математикой многие доказательства оказываются на порядок сложнее, чем они могли бы быть. Даже базовые вещи вроде O-нотации описываются в главах со звездочкой и практически не используются. (Как я понимаю, книга писалась для первого курса и продвинутых школьников).

Про деревья (да и про алгоритмы вообще) тоже в общем ничего хорошего сказать не могу. Очень много внимания уделяется экономии какого-нибудь одного бита в какой-нибудь структуре. Наверное где-то это все существенно — может быть в каких-то специальных контроллерах, например. Или возможно это было существенно раньше. В целом же  сегодня о памяти на таком микроуровне никто не будет думать, и поэтому для среднестатистического человека в индустрии все это шаманство совершенно не интересно (особенно учитывая, что оно всегда влияет на быстродействие).

Существенно, что многие алгоритмы даются просто «как есть», а потом уже каким-нибудь формальным методом доказывается (чаще по индукции), что эти алгоритмы работают как надо. Тоже мало приятного, так как идея, которая приводит к алгоритму, не раскрывается, ну а стало быть и понимание принципа алгоритма не может считаться полным.

Более-менее интересно было во втором томе читать о генераторах случайных чисел. У меня была детская мечта понять как компьютер генерит случайные числа и доказать аналитически, что этот алгоритм обладает какими-нибудь хорошими свойствами и вообще выдает равномерное распределение. К сожалению, тут мои надежды рухнули — за исключением пары нехитрых результатов о том как ГСЧ не надо делать, ничего аналитически не доказывается, а хорошие генераторы получаются методом научного тыка. Не совсем то что хотелось, но по крайней мере я теперь это знаю.

Вторая половина второго тома посвящена работе с полиномами. Ну, наверное кому-то оно надо, но не мне.

А третий том я уже читать не стал, хотя вроде как более-менее прикладные вещи начинаются только там. Хотя и тут тоже в современном мире следовало бы больше времени уделить всяким стохастическим методам, а не излагать десять видов деревьев. Это конечно уже не к Кнуту претензия, а просто еще один аргумент против того, чтобы читать книгу.

Дополнительно надо сказать, что и сама манера изложения крайне дурацкая. При том что сложного материала там нет и книгу вполне можно было бы читать в метро, больше половины выкладок вынесены в упражнения, которые опять же все цепляются друг за друга. В результате просто последовательно читать книгу становится невозможно — постоянно приходится куда-то возвращаться, перелистывать и вообще всячески страдать.

В общем, не советую.

Зато очень рекомендую книгу Кнута, Грэхэма и Поташника «Конкретная математика». Книга для детей, подойдет даже для гуманитариев (правда иногда надо брать простые интегралы), но написана чертовски хорошо. Местами нудновата, когда разжевывают совсем примитивные вещи, но вообще книга совершенно прекрасна в качестве легкой зарядки для ума гуманитария, либо для приятного отдыха технаря. И кстати именно такие задачи как там любят спрашивать на собеседованиях во всякие Майкрософты, Яндексы и прочие Гуглы — так что если кто туда хочет, то книга как раз для него.

Май 9th, 2010

Дядя Петрос и проблема Гольбаха

Вообще я не читаю художественную литературу. В последний раз я прикасался к ненаучному четыре года назад, это было садо-мазо повествование «Будет больно» Оксаны НеРобкой. С тех пор ничего кроме книжек с наукой в руки не брал до сегодняшнего момента, да и сегодня это получилось по чистой случайности. Так сложилось, что мне нечего было взять почитать математического в метро после рабочего дня, и тут на глаза подвернулась книга «Дядя Петрос и проблема Гольдбаха» Апостолоса Доксиадиса, которую я уже довольно давно купил на Озоне, но не довез домой, положив на полку в офисе.

Я в общем как вы понимаете не особо знаток художественной литературы, поэтому вряд ли могу быть объективным и вряд ли к моему мнению здесь стоит прислушиваться, но книжка мне понравилась. Я вообще не особо эмоциональный человек и за всю жизнь, не считая эксцессов в детском саду, выдавил из себя слезу лишь единожды, при просмотре «Танцующей в темноте» Триера (но он там специально додавливал конечно). Вот при прочтении этой книги у меня были очень схожие эмоции. Драма дяди Петроса очень зацепила, хотя до пускания слезы дело и не дошло. Но было близко. Думаю, что такая оценка вполне достаточна — книга цепляет и вызывает эмоции. Это по-моему наилучшая характеристика художественного произведения, особенно учитывая то, что я вообще-то не особо сентиментален и меня дешевой слезодавильней для девочек не проймешь.

Но хотелось сказать даже не о книге, а о математике. Читая книгу видел ровно те же переживания, что испытываю регулярно я сам, да и наверное любой математик, независимо от того насколько он крут и чем именно занимается. Лет в 14 я тоже, как и дядя Петрос, занялся серьезной научной проблемой — искал быстрый способ факторизации больших чисел (мне очень хотелось взломать RSA и стать великим). Несколько месяцев я только и занимался тем, что день и ночь строчил на бумажке всякие дурацкие элементарные теоремки о сравнениях по модулю. Даже доказал всякие простейшие как я сейчас понимаю результаты, которые очень в напыщенной форме запостил на какие-то форумы, где был осмеян корифеями математики в духе «а ты это только сейчас узнал?». Потом забросил задачу, главным образом из-за того, что понял, что прежде чем браться за что-либо, надо очень много изучить всего.

Но даже в отрыве от задач тысячелетия, за которые все наверное иногда берутся, я просто изучая различные теории и решая задачи переживаю очень сильные эмоции. Часто бывает полнейшее отчаяние и уверенность в собственной математической несостоятельности со смутными порывами заняться чем-нибудь прикладным (кстати, уверен, что большая часть посредственных математиков могла бы в легкую стать лучшими из лучших в любой другой области если бы только захотели). Иногда, когда приходит осознание, что вот наконец-то какая-нибудь очередная очень абстрактная конструкция улеглась в мозг, посещает чудесная ни с чем не сравнимая эйфория. Как первый поцелуй — девица залезла своим языком только в рот, а кажется, что проникла непосредственно в мозг. Первый раз в школьном возрасте, когда залезаешь девчонке под кофту и впервые дотрагиваешься до сосков, экстрим уличного мордобоя, потасовки с ОМОНом или когда впервые набрался храбрости, пошел к проститутке и засовываешь свой палец ей в анальное отверстие — все это ни в какое сравнение не идет с тем, что испытывает математик, занимаясь своей наукой.

Хотя на самом деле конечно не могу не заметить, что большая часть математиков, которых я знаю, мыслят совсем не так как я. Почти все знакомые в общении явно дают понять всем окружающим, что они занимаются математикой с целью чего-то добиться, и поэтому они очень тщательно выискивают лишь те темы для изучения, которые сейчас актуальны и выглядят перспективными. Ко мне же, не стремящемуся ни к каким высотам, а просто изучающего красоту (причем делающего это неспешно и с расстановками), относятся с непониманием. Я на таких людей смотрю озадаченно — с одной стороны они безусловно гораздо лучшие специалисты чем я и гораздо более перспективные, но ведь в то же время они сами не видят изящности того, чем занимаются («математика — это инструмент» — вполне распространенное мнение).

С другой же стороны имеются такие «математики», которые вроде как говорят о красоте науки, но все их занятия математикой сводятся к решению школьных головоломок и всяких уравнений. Вот этих ребят я не понимаю вообще совершенно и к ним ни коим образом не отношусь. Как можно питая любовь к математике не стараться залезть к ней в самые интимные места, ограничиваясь лишь материалом, доступным девятикласснику — совершенно не поддается никакому логическому объяснению. (Хотя на практике их подход наиболее целесообразен с точки зрения зарабатывания бабла, ибо на собеседованиях по математике во всякие конторы вроде Гугла, Яндекса и Микрософта все как раз и ограничивается школьной лабудой, судя по отзывам).

Так что мой подход к математике в действительности совершенно непопулярен, и возможно что все те эмоции, что описываю я, большинству людей в математике недоступны. Хотя хрен его знает конечно. Собственно основная мысль, которую я хотел донести, но не донес: математик, склонившийся над письменным столом, на самом деле за внешней замкнутостью и спокойствием переживает сильнейшие эмоции, гораздо более сильные, чем любой другой человек. Тот, кто серьезной математикой никогда не занимался, сравним в общем-то с кастратом, который никогда не поймет очень многих ощущений и оттенков чувств.

Поэтому занимайся математикой, читатель, если ты еще не начал.

Current music: Dana International — Woman in Love

Февраль 19th, 2010

Риск и доходность с точки зрения математики

В отличие от прошлых моих статей, являющихся по сути ликбезами, эту я адресую людям с математическим и техническим образованием. К сожалению в СССР так сложилось, что на гуманитарные специальности шли те, кто не потянул на технические, ибо это было совершенно не престижно. В результате в стране возникла удручающая ситуация: гуманитарии деградировали совершенно чудовищно и как правило в математике владеют в лучшем случае арифметикой, а технари же и математики, глядя на гуманитариев, возомнили себя самыми умными, объявив гуманитарные науки чуть ли не лженауками где нет никакого научного метода, а только чесание языком. Такую предвзятость не сложно объяснить: никаких серьезных трудов по экономике на русском языке за последние несколько десятилетий вообще не издавалось (я не считаю единицы брошюр и диссертаций отдельных светлых голов, которых пренебрежимо мало и которые оседают на самых дальних полках), и только сейчас разные энтузиасты российского образования начинают издавать нормальные учебники (чаще правда для аспирантов). Однако эти учебники пока немногочисленны, охватывают лишь узкие темы, и если кто-то хочет нормально выучиться экономической/финансовой теории — единственный вариантом для него будет чтение литературы англоязычной.

В результате деградации советской гуманитарной мысли, математики и технари тоже деградировали. Сегодня в социальном плане математик зачастую оказывается намного дурее любого гуманитария, так как гуманитарий вполне осознает себя дураком, а математик, отлично зная свой узкий предмет и умея строго рассуждать и проводить сложнейшие доказательства, в силу банальной невежественности и отсутствующего даже минимального гуманитарного кругозора оказывается неспособен рассуждать на какие-либо гуманитарные/общественные темы, будь то философия, экономика или что угодно еще. Математик, конечно, не виноват — глядя на университетских преподавателей и то что они вещают,  любое другое отношение к гуманитарным и общественным науками просто невозможно. В результате самоуверенность из российского математика прет удивительная, и поэтому я с завидной регулярностью наблюдаю всяких к.т.н, которые приходят, например, на фондовый рынок, и тут же сливают все средства только потому что не удосужились почитать минимального ликбеза по экономике, или  математиков, которые ни разу не открывали философского словаря и чудовищным образом путают простейшие и самые общие понятия, с пеной у рта отстаивая свою правоту (Леша, привет!).

Этой статьей я хочу просто показать на конкретном примере вполне типичные рассуждения из финансовой теории, дабы несколько развеять миф о том, что экономика — это пространная говорильня в угоду политиканам и ворам. Излагаемый материал — это простейший результат о линейной зависимости риска и доходности, который является одним из самых базовых фактов финансовой теории. Именно эту тему я выбрал по той причине, что доказательство не привлекает никакого особо сложного математического аппарата и будет понятно любому технарю, а не только математику. С другой же стороны само доказательство достаточно изящно и нетривиально, где начальные предположения и сам подход казалось бы ну никак не могут привести к тому результату, к которому они приводят. (Это один из моих наиболее любимых видов рассуждений). Ну да к делу.

Предположения

Предпочтения. Первое предположение заключается в том, что мы будем рассматривать только «людей экономических», с которыми работают неоклассические экономисты. «Человек экономический» — это такой, который имеет какие-то предпочтения (не обязательно строгие). То есть если у нас есть множество альтернатив $latex X$, то любой человек может это множество упорядочить исходя из того, что ему кажется более полезным. Его способ упорядочивания может быть и не объективен — это совершенно не важно. Главное способность упорядочить.

Кажется, что это совершенно не серьезное ограничение, но надо сказать, что это очень идеализированный человек получается и именно этот пункт вызывает наибольшие споры. Психологи экспериментально показывали, что обычный человек не способен адекватно упорядочивать наборы альтернатив. Это можно продемонстрировать в таком эксперименте: если отобрать две группы людей, и предложить первой группе три альтернативы вложения денег (A, B, C — альтернативы расположены с учетом возрастания риска и доходности одновременно, но риск не слишком велик), а второй группе предложить на выбор эти же три альтернативы и четвертую дополнительную (A, B, C, D), то можно будет обнаружить, что люди второй группы гораздо активнее будут выбирать альтернативу C, чем люди первой. В первой группе альтернатива C будет вовсе не популярна, а в четвертой будет не популярна альтернатива D. Это демонстрирует тот факт, что люди подсознательно боятся экстремальных значений, и никакой речи об объективном упорядочении альтернатив идти не может. Экономисты здесь правда возражают, что инвестиционные решения принимаются не интуитивно, а в ходе строгих расчетов, так что данное ограничение модели оказывается не слишком серьезным.

В любом случае тот же самый результат к которому мы придем можно получить и без привлечения предпочтений — это другое доказательство с несколько отличными исходными данными. Но оно не столь интересно.

Итак, мы имеем множество альтернатив $latex X$, которое упорядочено (это упорядочивание мы будем называть предпочтениями). Если $latex a \in X$ предпочтительнее, чем $latex b \in X$, то мы будем обозначать это так: $latex a \succ b$. Тогда мы можем ввести функцию полезности $latex U: X \to \mathbb{R}$ (от слова utility), которая будет удовлетворять условию $latex U(a) > U(b) \Leftrightarrow a \succ b$. Понятно, что для каждых предпочтений можно напридумывать очень много разных функций полезности. Если $latex U$ — функция полезности, то и $latex cU$, и $latex U + c$, и $latex \ln U$ — так же будут функциями полезности для тех же самых предпочтений. Мы не будем опираться на какой-либо конкретный вид функции полезности, нам вполне достаточно знать того, что она существует для каждого участника рынка (при этом у каждогоона может быть своя собственная $latex U_k$, где $latex k = 1, \ldots, n$, если у нас всего $latex n$ участников рынка).

Нормальность. Второе предположение заключается в том, что мы полагаем, что закон распределения доходности наших активов целиком характеризуется его матожиданием (которое мы будем называть доходностью) и дисперсией (которую мы будем называть риском или волатильнстью). Таких законов распределения в действительности достаточно много, но самый распространенный — нормальный. Он возникает тогда, когда случайная величина является суммой многих случайных величин примерно с одинаковым матожиданием. Это вполне соответствует действительности.

Справедливости ради замечу, что если вы проанализируете историю цен на различные активы, то убедитесь, что нормальным законом распределения там и не пахнет — иногда, то есть чаще чем при предположении нормальности, случаются сильные обвалы или наоборот неожиданные скачки вверх. Тем не менее, если исключить из рассмотрения вот эти вот аномальные скачки, то то что останется будет распределено как раз нормально. Таким образом наша модель описывает лишь нормальное поведение рынка, не рассматривая ситуацию с появлением каких-либо неожиданных обстоятельств. Надо сказать, что модель при этом не теряет своей ценности — случай резких движений рынка, не укладывающихся в нормальную модель обычно страхуется позициями по опционам.

Но вернемся к математике. Если любой актив мы можем охарактеризовать лишь двумя величинами, то и функцию полезности мы можем записать как функцию двух действительных переменных: $latex U_k(r, \sigma)$. Через $latex r$ мы будем обозначать доходность (rate), а через $latex \sigma$ — волатильность (традиционное обозначение в теории вероятностей).

Ставка без риска. Так же будем предполагать, что каждый участник рынка способен делать безрисковые вклады под ставку $latex r_f$ (такие вклады будут иметь нулевую волатильность). Предположение вполне правдоподобное — безрисковым вкладом может считаться вклад в государственные ценные бумаги. В нормальных странах такие бумаги действительно практически не обладают риском, но даже там, где риск имеется, экономисты склонны считать дефолт ценных бумаг государства концом света, и этот сценарий по этой причине никогда не рассматривается. В нешей же моделе важнее не реальная ситуация, а то, как инвесторы относятся к этой ставке. Так что данная поправка несущественна.

Один период. Пока первое серьезное ограничение состоит в том, что все инвесторы будут инвестировать в один момент времени и на один и тот же временной интервал. Вот это уже не вполне соответствует действительности: инвесторы мало того что имеют различные инвестиционные горизонты, каждый из них придерживается своих собственных целей (один хеджируется, другой диверсифицируется, третий иммунизируется, четвертый поддерживает ликвидность, пятый спекулируется и т. д.) Тем не менее эмпирические опыты показывают, что даже не смотря на эту существенную теоретическую оговорку, модель продолжает работать (существуют и теоретические статьи, подтверждающие выкладки без ограничения на один период, но мне они к сожалению не доступны, так как я не имею доступа до университетских ресурсов, а просто так такие сведения никто не раздает).

Свобода, равенство, братство. Предполагается идеализированный мир. Например, ставка без риска для всех одинакова и доступна каждому при любом объеме вложений. Любые финансовые инструменты можно покупать в любом количестве (в том числе вы можете купить иррациональное число акций, например). Абсолютно все имеют доступ к абсолютно идентичной информации и все опираются на доходность и волатильность. В модели предполагаются учтенными все инвестиционные возможности — не только акции, но и недвижимость, предметы искусства, золото и т. д.  На рынке отсутствуют иные риски кроме как риск волатильности (на деле есть еще например риск ликвидности и риск дефолта как наиболее существенные). И так далее. Так же как физика или математика, экономика рассматривает идеализированные модели — от этого никуда не уйти в любой науке. На практике оказывается, что часто такие допущения не столь уж и существенны. Опять же это черта не только экономики, но и той же физики или математики.

Обозначения и данные

Будем считать, что у нас всего $latex n$ инвесторов и $latex m$ активов, в которые можно вложить деньги. Доходность каждого актива распределена нормально $latex r_i \sim N(\overline{r}_i, \sigma_i)$. Каждый инвестор формирует свой инвестиционный портфель. Через $latex g_i$ мы будем обозначать долю $latex i$-го инвестора в общей капитализации рынка (то есть в стоимости всех активов), а через $latex \theta_{ij}$ долю $latex j$-ой бумаги в собственности $latex i$-го инвестора как долю этой бумаги в общей капитализации рынка. Долю безрискового вклада $latex i$-го инвестора как общую долю в рынке будем обозначать как $latex \theta_{if}$. Общую долю безрисковых вкладов в капитализации рынка будем обозначать как $latex g_f$. Доля $latex j$-го актива в портфеле $latex i$-го инвестора таким образом выражается как $latex {\theta_ij \over g_i}$.

В введенных обозначениях ожидаемая доходность $latex i$-го инвестора будет выражаться следующим образом:

$latex \overline{r}_{pi} = \mathop{\rm M}\left[\sum_{j=0}^m {\theta_{ij}\over g_i} r_j + {\theta_{ij} \over g_i} r_f\right] = \sum_{j=0}^m {\theta_{ij}\over g_i} \overline{r}_j + {\theta_{ij} \over g_i} r_f&s=1$

Дисперсия доходности портфеля $latex i$-го инвестора будет выглядеть так:

$latex \sigma_{pi}^2 = \mathop{\rm D} \left[\sum_{j=0}^m {\theta_{ij}\over g_i} r_j + {\theta_{ij} \over g_i} r_f\right] = \sum_{j,k=1}^m {\theta_{ij}\theta_{ik} \over g_i^2} \mathop{\rm cov}_{jk}&s=1$

При этом существует условие того, что в сумма долей инвестора в разных активах должна быть единицей (в экономике это называется бюджетным ограничением):

$latex \sum_{j=1}^m {\theta_{ij} \over g_i} + {\theta_{if} \over g_i} = 1&s=1$

При этом при всем каждый инвестор имеет свою собственную функцию полезности $latex U_i(\overline{r}_{pi}, \sigma_{pi})$, которую он стремится максимизировать, грамотно составив свой инвестиционный портфель. Делает он это выбирая каким-то образом коэффициенты $latex \theta_{ij}$. Осталось решить оптимизационную задачу.

Решение оптимизационной задачи

Мы имеем типичную задачу условной оптимизации. Составим для каждого инвестора функцию Лагранжа:

$latex \psi_k = U_k(\overline{r}_{pk}, \sigma_{pk}) + \lambda_k\left(\sum_{i=1}^m{\theta_{ki} \over g_k} + {\theta_{kf} \over g_k}-1\right)&s=1$

Оптимизировать будем, как указывалось выше, по коэффициентам $latex \theta_{ki}$, для чего вначале найдем все частные производные:

$latex {\partial\psi_k \over \partial\theta_{ki}} = {\partial \over \partial \overline{r}_{pk}} U_k(\overline{r}_{pk}, \sigma_{pk}) {\overline{r}_i \over g_k} + {\partial \over \partial\sigma_{pk}^2} U_k(\overline{r}_{pk}, \sigma_{pk}) {2 \over g_k^2} \sum_{j=1}^m\theta_{kj}\mathop{\rm cov}_{ij} + {\lambda_k \over g_k}\\= 0&s=1$(1)

$latex {\partial\psi_k \over \partial\theta_{kf}} = {\partial \over \partial \overline{r}_{pk}} U_k(\overline{r}_{pk}, \sigma_{pk}) {r_f \over g_k} + {\lambda_k \over g_k} = 0&s=1$(2)

Это соотношение, которое будет выполняться на рынке, так как каждый инвестор стремится максимизировать свою функцию полезности (я здесь применил правило циклического дифференциирования, полагая за промежуточную переменную $latex \sigma_{pk}^2$).

Здесь сюжет принимает неожиданный оборот: мы не будем решать задачу оптимизации (это было бы не разумно — нам даже не известны конкретные функции полезности), а вместо этого попробуем вытащить полезную информацию из того, что уже имеется. Для начала надо избавиться от неизвестных $latex \lambda_k$ и $latex U_k$. От первой легко избавиться просто вычтя равенство (2) из равенства (1) (о частных производных функции Лагранжа мы уже не вспоминаем — от них мы получили все что могли) и остаемся с таким равенством:

$latex {\partial \over \partial\overline{r}_{pk}} U_k(\overline{r}_{pk}, \sigma_{pk}) {1 \over g_k} (\overline{r}_i-r_f) + {\partial \over \partial\sigma_{pk}^2} U_k(\overline{r}_{pk}, \sigma_{pk}) {2 \over g_k^2} \sum_{j=1}^m\theta_{kj}\mathop{\rm cov}_{ij}=0&s=1$

Поделив это на второе слагаемое и перенеся единицу вправо получим такое:

$latex {{\partial \over \partial\overline{r}_{pk}} U_k(\overline{r}_{pk}, \sigma_{pk}) {1 \over g_k} (\overline{r}_i-r_f) \over {\partial \over \partial\sigma_{pk}^2} U_k(\overline{r}_{pk}, \sigma_{pk}) {2 \over g_k^2} \sum_{j=1}^m\theta_{kj}\mathop{\rm cov}_{ij}} = -1&s=2$

Здесь важно заметить, что это соотношение выполняется для произвольного инвестора $latex k$ и произвольной бумаги $latex i$, а стало быть мы можем записать это равенство для разных бумаг $latex i$ и $latex j$:

$latex {{\partial \over \partial\overline{r}_{pk}} U_k(\overline{r}_{pk}, \sigma_{pk}) {1 \over g_k} (\overline{r}_i-r_f) \over {\partial \over \partial\sigma_{pk}^2} U_k(\overline{r}_{pk}, \sigma_{pk}) {2 \over g_k^2} \sum_{l=1}^m\theta_{kl}\mathop{\rm cov}_{il}} = {{\partial \over \partial\overline{r}_{pk}} U_k(\overline{r}_{pk}, \sigma_{pk}) {1 \over g_k} (\overline{r}_j-r_f) \over {\partial \over \partial\sigma_{pk}^2} U_k(\overline{r}_{pk}, \sigma_{pk}) {2 \over g_k^2} \sum_{l=1}^m\theta_{kl}\mathop{\rm cov}_{jl}}&s=2$

Сокращая с обоих сторон одинаковое приходим к следующему:

$latex {\overline{r}_i-r_f \over \sum_{l=1}^m\theta_{kl}\mathop{\rm cov}_{il}} = {\overline{r}_j-r_f \over \sum_{l=1}^m\theta_{kl}\mathop{\rm cov}_{jl}}&s=2$

Так как это соотношение выполняется для всех инвесторов, мы можем просуммировать данное уравнение по всем $latex k$, после чего получим:

$latex {\overline{r}_i-r_f \over \sum_{l=1}^m\sum_{k=1}^n\theta_{kl}\mathop{\rm cov}_{il}} = {\overline{r}_j-r_f \over \sum_{l=1}^m\sum_{k=1}^n\theta_{kl}\mathop{\rm cov}_{jl}}&s=2$

Этот результат просто получить, если возвести обе части равенства в степень $latex -1$, сложить все по $latex k$, и затем возвести в степень $latex -1$ еще раз.

Заметим, что $latex \sum_{k=1}^n\theta_{kl}$ — это общая доля $latex l$-го актива в общей капитализации рынка, которую мы будем обозначать как $latex \omega_l$. Таким образом имеем:

$latex {\overline{r}_i-r_f \over \sum_{l=1}^m\omega_l\mathop{\rm cov}_{il}} = {\overline{r}_j-r_f \over \sum_{l=1}^m\omega_l\mathop{\rm cov}_{jl}}&s=2$

Если обозначить за $latex \mathop{\rm cov}_{Mi}$ ковариацию между рыночным портфелем (то есть портфелем, который содержит в себе бумаги в тех же пропорциях, в каких они по капитализации представлены на рынке) и $latex i$-ым активом, то легко видеть, что $latex \mathop{\rm cov}_{Mi} = \sum_{l=1}^m \omega_l \mathop{\rm cov}_{il}$. Сделаем такую замену с левой стороны, а с правой же домножим числитель и знаменатель на $latex \omega_j$. В результате получаем:

$latex {\overline{r}_i-r_f \over \mathop{\rm cov}_{Mi}} = {\omega_j\overline{r}_j-\omega_j r_f \over \sum_{l=1}^m\omega_j\omega_l\mathop{\rm cov}_{jl}}&s=2$

Прежде чем двигаться дальше, заметим, что если $latex {a\over b} = {c \over d}$, то $latex {a \over b} = {a + c \over b + d}$. Это дает нам возможность сложить в правой части отдельно числители и знаменатели по всем активам $latex j$, что не изменит соотношения:

$latex {\omega_j\overline{r}_j-\omega_j r_f \over \sum_{l=1}^m\omega_j\omega_l\mathop{\rm cov}_{jl}} = {\sum_{j=1}^m\omega_j\overline{r}_j-\sum_{j=1}^m\omega_j r_f \over \sum_{j=1}^m\sum_{l=1}^m\omega_j\omega_l\mathop{\rm cov}_{jl}} = {\overline{r}_M-r_f \over \sigma_M^2}&s=2$

Здесь я учел, что $latex \sum_{k=1}^m \omega_k = 1$. Через $latex \overline{r}_M$ я обозначил ожидаемую доходность рыночного портфеля, а через $latex \sigma_M^2$ волатильность рыночного портфеля. В результате имеем:

$latex {\overline{r}_i-r_f \over \mathop{\rm cov}_{Mi}} = {\overline{r}_M-r_f \over \sigma_M^2}&s=2$

После простейших преобразований получаем формулу, описывающую линию, которая носит в финансовой теории название Security Market Line (SML):

$latex \overline{r}_i = r_f + {\mathop{\rm cov}_{Mi} \over \sigma_M^2} (\overline{r}_M-r_f)&s=1$

Отношение $latex {\mathop{\rm cov}_{Mi} \over \sigma_M^2}$ финансисты называют «коэффициентом бета» и обозначают соответственно:

$latex \overline{r}_i = r_f + \beta_i (\overline{r}_M-r_f)$

Прикладной смысл

Измерение риска. Выведенная нами формула показывает, что любой актив на рынке может быть более доходным чем ставка без риска, но при этом прирост в доходности прямо пропорционален упомянутому коэффициенту $latex \beta_i$. Чтобы понять его смысл достаточно рассмотреть граничные случаи: он равняется нулю при отсутствии зависимости между рынком и активом, единице, когда они движутся синхронно, и минус единице, когда в противоположные стороны. Что важно, волатильность самого $latex i$-го актива никак не зависит от $latex \beta_i$.

Риск любого актива можно разложить на две составляющих — с одной стороны это риск, вызванный общим движением рынка (если упали цены на квартиры во всем городе, то и ваша квартира тоже подешевеет), и с другой стороны это специфический риск конкретного актива, который с рынком никак не связан (соседи затопили — квартира подешевела, но рынок тут не при чем). Коэффициент $latex \beta_i$ как раз показывает таким образом долю рыночного риска в общем риске актива.

В результате диверсификации (то есть покупки большого количества разных активов с целью снизить риск) мы избавляемся от специфического риска, но риск рынка никуда не исчезает. В этом случае измерителем риска портфеля (и одновременно его доходности) как раз и становится коэффициент $latex \beta_i$.

Инвестиционная стратегия. Как я уже упоминал, при выводе уравнения SML мы предполагали, что рынок у нас идеален и безупречен. В жизни так не бывает, и поэтому в реальности поведение активов будет отличаться от теории. Тем не менее можно так же строго математически показать, что рыночные механизмы (даже на неидеальном рынке) будут пытаться вернуть рынок в равновесное состояние, и если какие-то бумаги отличаются особенно сильно от их теоретического поведения, то можно предположить, что рыночные силы их направят туда, где они не будут сильно выделяться (это тоже можно строго математически показать, что я возможно и сделаю как-нибудь, но не в этот раз). Проиллюстрирую на примере.

За поведелние рынка можно принять какой-нибудь хороший биржевой индекс.  Тогда, сравнивая поведение $latex i$-го актива и биржевого индекса в историческом разрезе, мы можем вывести уравнение SML исходя их простых статистических оценок корреляции, либо методами регрессионного анализа (что конечно суть одно и то же, но по-разному описывается в книжках с разными названиями). В результате получим нечто такое:

$latex \hat r_i = \hat c_i + \hat \beta (\hat r_i-r_f)$

«Шапочка» показывает, что данная величина не точна, а является лишь статистической оценкой. Видно, что $latex \hat c$, по идее должна быть равна значению ставки без риска (которую при необходимости так же можно рассчитать статистически), и в среднем по рынку оно и будет примерно равняться ставке без риска. Тем не менее, для конкретного актива может быть и погрешность, которая называется коэффициентом «альфа»:

$latex \alpha_i = \hat c_i-r_f$

Коэффициент $latex \alpha_i$ не должен сильно отличаться от нуля, и такие отличия обозначают некоторое отставание актива от рынка, либо его опережение. Соответственно при $latex \alpha_i > 0$ можно полагать, что этот актив был лучше рынка вразрез с уравнением SML и его покупка вряд ли целесообразна. так как он должен вернуться к нормальному состоянию. Аналогично в обратную сторону. Конечно надо понимать, что речь здесь не идет о спекулятивной стратегии, так как специфический риск может быть очень велик и перекрыть собой любую $latex \alpha_i$, но при формировании широкодиверсифицированного портфеля, учитывать показатели $latex \alpha_i$ входящих в него бумаг необходимо. Математические подробности рыночного равновесия и почему рынок действительно туда стремится я здесь опущу, но вероятно вернусь к ним в дальнейших заметках моего порнобложика.

А на самом деле

Все изложенное можно было доказать значительно проще (но не столь изящно и в несколько других предположениях), но там пришлось бы рисовать графики, а я графики рисовать не люблю. Поэтому дам лишь общие наметки к доказательству. Чтобы хоть что-то было перед глазами, вот вам картинка из Википедии, свободной энциклопедии, иллюстрирующая суть (ниже подробности):

В предположении нормальности распределения доходности любой актив или портфель можно изобразить точкой на графике волатильность-доходность (ибо нормальный закон полностью характеризуется этими двумя величинами). Довольно легко доказать, что множество всех возможных портфелей на таком графике будет выпуклым. Для любой заданной волатильности $latex \sigma$ можно указать целое множество портфелей с разными доходностями. Понятно, что любого инвестора интересует максимальная доходность. Тогда можно построить однозначное соответствие риск-лучшая доходность, и график такой функции будет верхней границей множества всех возможных портфелей на графике риск-доходность. Эта линия в силу выпуклости множества всех возможных портфелей так же будет выпуклой. Называется она эффективной границей Марковица.

Добавив в этот график возможность инвестирования без риска (точка на графике с координатами $latex (0, r_f)$), можно будет так же составлять портфели, в которых часть средств будет вложена без риска. Если зафиксировать конкретный портфель $latex P$, то любой портфель, добавляющий к $latex P$ некоторое количество инвестиций без риска будет лежать на прямой, проходящей через точки $latex (0, r_f)$ и портфель $latex P$. Замечу, что портфели, состоящие из двух различных произвольных активов уже не будут располагаться на кривой в силу корреляции. Отсюда же надо сделать наблюдение, что множество всех возможных портфелей отнюдь не будет выпуклой оболочкой всех активов — картинка получится более сложной.

Рассмотрев все прямые портфелей, комбинирующих вложения без риска, можно прийти к выводу, что инвестировать имеет смысл лишь в те портфели, прямые которых проходят наиболее высоко, то есть имеют наиболее крутой наклон (мы предполагаем, что ставка без риска весьма мала, хотя это и не обязательное требование). Такая самая высокая прямая будет касаться нашего выпуклого множества всех рисковых портфелей в одной единственной точке — это наилучший возможный портфель без безрисковых вложений. Все остальные наилучшие портфели, обладающие другим риском, будут комбинировать этот портфель и вложение под ставку без риска.

А раз этот портфель наилучший, то все инвесторы будут покупать именно его, а не что-то другое, и таким образом этот портфель будем являться ни чем иным, как рыночным портфелем. Понимаю, что звучит сказанное весьма смело, но это опять же можно показать математически, хотя предположения модели  будут выглядеть значительно более серьезно чем те, что приводил выше.

Из сказанного можно вывести очевидный факт (но тоже требующий тем не менее строгого доказательства): касательная к эффективной границе Марковица в точке рыночного портфеля будет иметь тот же наклон, что и линия наилучших портфелей, то есть это условие на производную.

Получить так сразу уравнение для производной и наклона прямой лучших портфелей весьма затруднительно, так как мы не имеем аналитического выражения кривой Марковица, да и судя по всему получить его аналитически просто напросто невозможно. Однако не сложно показать, что если мы будем рассматривать линию портфелей, состоящих из портфеля на эффективной границе и какого-то другого актива, то это будет некая гладкая кривая (вроде даже парабола, но сходу не вспомню — сам я строго проводил эти выкладки года четыре назад), причем в точке, соответствующей портфелю на эффективной границе, она будет этой самой эффективной границы касаться. И производная в этой точке будет соответственно той же, что и у эффективной границы.

Если составить портфель, в доля $latex i$-го актива составляет $latex x$, а доля рыночного портфеля соответственно $latex (1-x)$, то легко можно рассчитать дисперсию и доходность такого портфеля, что задает нам кривую в параметрическом виде. Ее производная в точке $latex x=0$ будет как раз равна $latex {\overline{r}_M-r_f \over \sigma_M}&s=1$ — углу наклона прямой оптимальных портфелей. Из этого уравнения можно получить то же самое уравнение SML, что я привел выше. Подробности опускаю, так как изложенный метод вполне себе классический и излагается во многих учебниках (к сожалению в основном в англоязычных), в отличие от подхода с функцией полезности.

Резюме

А резюмировать-то особо нечего. Просто вот такие вот экономическое рассуждения. Мне исключительно хотелось привести пример экономических рассуждений, который бы несколько пролил свет технарям на науку экономику и собственно показать, что это строгая научная дисциплина, а не тупая говорильня с поливанием друг друга грязью как по телевизору.

Читатель, которого заинтересовали приведенные выкладки, возможно заинтересуется литературой по теме. Посоветовать на русском языке могу мало чего. Крайне приятные книги пишет Буренин А. Н. Людям, не знакомым с финансами вообще можно рекомендовать его книгу «Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов». Но это совсем для новичков. Так же у него написаны отличные книги по дюрации облигаций (самая лучшая книга по облигациям, что я видел), по срочному рынку и по портфельному менеджменту (в частности доказательство через функцию полезности я почерпнул именно оттуда, сильно правда переработав текст, введя много лирики, практики и подробнее обсудив ограничения). Правда он довольно много времени уделяет совсем ненужным теоретику вещам вроде работы в Экселе и числовым примерам, а многие выкладки не выдерживают никакой критики, но его можно понять, так как в противном случае его просто никто не воспринял бы из целевой аудитории биржевых практиков.

Так же дома валяются «Лекции по курсу микроэкономики продвинутого уровня» А. Фридман, и «Математические методы риск-менеджмента» А. Долматова. Руки пока до них никак не дойдут, но поверхностное чтение отдельных глав оставляет приятное впечатление. Так же можно найти толковые достаточно лекции ГУ-ВШЭ, если погуглить. Тамошний научный коллектив вообще замечательный вроде бы (если смотреть на людей от науки, а не от бизнеса).

Ну а в остальном конечно читать только на английском. По многим темам я вообще не видел хоть сколько-нибудь вменяемых книг на русском. Нормального русскоязычного курса макроэкономики вообще не существует в принципе, например. В риск-менеджменте рассматриваются обычно лишь выборочные темы. Тенденция явно положительная, но пока литературы по факту нет. В англоязычном же сегменте как правило все довольно просто: вбиваешь «Intermediate macroeconomics» в Гугл и находишь чего читать. Если там обилие формул и доказательств — книга стоящая. Если нет — ищем дальше.

Вот и все что могу посоветовать.

Октябрь 9th, 2009

Трагедия школьной математики

Люди нематической направленности, постоянно со мной общающиеся (хотя сейчас круг моих знакомых локализовался одними только математиками), знают, что я склонен с блеском в глазах рассказывать часами о том, какая математика красивая наука и о том что на самом-то деле она еще и очень простая в самом деле, доступная любому человеку абсолютно. Некоторых людей мне удается таким образом заинтересовать математикой, но тогда они задают вопрос: «А что ты посоветуешь почитать?» И такой вопрос меня ставит в тупик, потому что если по «полувысшей» (технической институтской) математике хорошие книги имеются, хоть и в небольшом количестве, по высшей математике тоже есть, хоть и еще меньше, то вот по школьной математике я не знаю совершенно ни одной хорошей книги.

Вообще со школьным образованием у нас еще хуже чем с высшим. Выпускник общеобразовательной школы примерно равен дебилу. Русские люди любят из соображений махрового патриотизма орать о самой лучшей системе образования, но это только от необразованности. По алгебро-анализу, например, в русских школах не доказывается вообще ничего. То есть любой школьник знает, что ab = ba, однако ни один человек не ответит на вопрос «а почему?», точно так же каждый знает о том, что на ноль делить нельзя, но никто этого не понимает.

На фоне этого школьная программа экстенсивна. Любой, оставшийся в 10-11 классе умеет пользоваться производной и интегралом от функций, но никто толком не понимает что такое эта самая функция (а это и невозможно понять, не опираясь хотя бы на минимальную теорию множеств) . При этом какие-то доказательства в школе зачастую все же встречаются, но в основном из геометрии, да и доказываются чаще всего крайне очевидные факты. Например, большое количество часов уделяется доказательству и так понятных любому идиоту фактов о параллельных прямых, однако все тригонометрические формулы и формулы дифференциального исчисления типа (sin x)’ = cos x остаются без доказательства, хотя доказательство-то совершенно не сложное.

Вообще если говорить о школьной геометрии, то 90% материала и задач — это жуткий хлам, который просто уже банально устарел. В математике есть куча современных методов, которые гораздо проще и гораздо сильнее чем любые школьные теоремы. Однако школьная программа у нас традиционно отражает состояние науки Древней Греции, но совершенно никак не соотносится с тем, чем занимаются математики сегодня. Причем пробелы в понимании, которые образуются в школе, институтом, даже техническим, не убираются. Студенты, а потом и аспиранты, зачастую не понимают 90% тех формул, что используют. Эту ситуацию можно было бы оправдать тем, например, что математика — наука сложная, и доказательства все очень большие, однако же это не правда. Большая часть доказательств укладывается в пару строк, да и сложного в них чаще всего ничего нет (если доказывать по-человечески; в технических ВУЗах часто любят доказывать всякие сложные факты, опираясь только на элементарные представления — естественно, что ничего хорошего из этого не получается). Хотя в принципе я слишком глубоко копаю. Можно привести и более приземленные примеры. Например, даже такую примитивщину, как деление в столбик, школьники просто заучивают как последовательность действий, однако никто не понимает почему эта последовательность действий именно такая, и почему она обязана работать.

Результатом перечисленного является то, что мнение среднестатистического человека о математике такое:

  1. Математикой занимаются только заученные чмыри, которые даже бабу нормально трахнуть не могут.
  2. Математика — это что-то очень сложное, что доступно только очень умным ребятам.
  3. Математик постоянно что-то считает, решает задачи и знает кучу формул.
  4. Математика сводится ко всяким приемам на умножение, сложение и интегралы.
  5. Основы математики человек проходил в школе.
  6. Доказательства — это нечто очень мутное и сомнительное, чем способны заниматься только доктора наук.

На эти пункты можно привести в контрпример то, что вот лично я до сих пор не запомнил таблицу умножения, и вообще ненавижу арифметику. Я вообще никогда ничего не считаю, потому что это просто унизительно. Считать должен компьютер. Я же занимаюсь доказательствами и объяснениями природных фактов. Это не только мое мнение — это мнение любого человека, который к математике имеет хотя бы косвенное отношение. А занимаются в действительности математики всякими интереснейшими вещами типа разрешения парадоксов, изучением структуры абстрактных пространств и другими вещами, которые я не знаю как сформулировать, что бы было понятно о чем я, но при этом избежать научной терминологии.

То что я написал выше я очень часто излагаю устно. И вот спрашивают меня люди: «Да, интересно, я бы что-нибудь по математике почитал, что посоветуешь?» Мы собственно вернулись к тому с чего начали. (Я кстати вообще не понимаю почему вдруг родился весь тот текст, что выше — когда начинал писать, я просто собирался спросить знает ли кто-нибудь нормальные книги). Поэтому интересно спросить у читателей: а знаете ли вы нормальные книги по школьной математике, которые были бы с одной стороны всеохватывающими, но в которых доказывались бы все неочевидные факты (пусть и не очень строго, а многие тонкие места обходились бы стороной), и прочитав которую человек мог бы смело браться за университетские курсы? Потому что в принципе вся школьная программа вполне укладывается в один том, но я тем не менее ничего подобного не видел.

Интересуюсь я по той причине, что у меня чешутся руки самому начать писать что-нибудь эдакое. Пускай очень медленно, постепенно выкладывая в Интернет, пускай я это растяну на десятилетие, но зато полноценное, с доказательствами, отражающее современное положение дел в математике, но при этом без всякой мути. Понятно, что если я начну писать, то потом будет обидно узнать, что такие хорошие книги уже существуют. Замысел конечно идиотский, но однако же почему бы и нет. В конце концов в случае неудачи я все равно ничего не теряю. А так хоть какая-то польза будет от моего бренного существования. (Хотя как вы понимаете даже если книг никто не подскажет, совершенно не факт, что завтра я не передумаю писать).

P.S. Ну и кстати если мало ли кому-то будет интересен курс начальной математики в моем изложении, имеет смысл писать комментарии к этой заметке с целью мотивации. Если это никому не надо, то и писать я соответственно не буду.

This work is licensed under GPL - 2009 | Powered by Wordpress using the theme aav1
SEO Powered by Platinum SEO from Techblissonline