Математика и секс
Июнь 20th, 2013

Поцелуй меня в математику

Нашел совершенно замечательную девушку, вот смотрите какую:

danica-mckellar-stuff2 DanicaMcKellar-Maxim-full danica-mckellar-math

Девушка интересна тем, что она — математик. Пишет вот такие замечательные книги:

Girls-Get-Curves-660x1012 hx-giant 51unVd4AS7L[1] 9780452289499_p0_v1_s600

Можно было бы подумать, что это грязный пиар какой-то шлюхи (книги-то не глубокие, если так по правде), но нет. Теорема Чейза-МакКеллар-Винна названа как раз её именем в том числе. Вот она на полном серьезе объясняет суть своей теоремы на какой-то конференции:

danica_blackboard_large

Офигительная я считаю. Она и у Терренса Тао училась топологии и была у него  второй по успеваемости — он о ней очень хорошо отзывается, теорему её имени объясняет там же. Жаль, что я не профессор — я бы себе тоже таких студенток хотел бы. А уж научить чему нашел бы.

Февраль 28th, 2011

Линейная алгебра без определителей

Подсмотрел у Вербицкого ссылку на чудесную статью: «Down with determinants!». Ну вряд ли для кого-то станет новостью, так как скорее всего мои читатели математической части сильно пересекаются с читателями Миши, но не продублировать ссылку не могу. Потому что поистине прекрасное.

Человек утверждает, что определители в курсе линейной алгебры должны вводиться в самый последний момент, и все изложение должно строиться без них. Что самое удивительное, читая статью понимаешь, что он на самом деле на 100% прав.

Я в принципе не являюсь ярым противником определителей: единственным объективным их недостатком является то, что они вычисляются плохо, но применять их в теоретических выкладках вроде никто не мешает. Да и наглядность вполне себе нормальная, если мыслить о них как о направленных объемах, вопреки тому, что обычно говорят. Однако из статьи удивительным образом действительно выясняется, что без определителей линейная алгебра и вправду оказывается гораздо проще.

Если кратко, то в принципе там все сводится к тому, что автор показывает каким образом любое комплексное векторное пространство разлагается в прямую сумму корневых подпространств, а оттуда уже начинает совсем элементарно выводить все остальное. Опираясь на алгебраическую и геометрическую кратность собственных значений, он вводит понятия минимального и характеристического многочленов соответственно, откуда самоочевидной становится теорема Гамильтона-Кэли.

Про нормальные операторы рассказывается довольно близко к стандартному изложению (как у Кострикина, например), вещественные пространства рассматриваются через комплексификацию вещественного оператора и применении там теорем для комплексных пространств.

Сам определитель в конце вводится как произведение собственных значений. Единственное, что не понравилось, так это вывод формулы определителя матрицы. Чрезвычайно сложно, правильнее все же выводить ее через кососимметрические формы, ну а там показывать, что это то же, что и произведение собственных значений. Ну сугубо мое ИМХО.

А в остальном считаю, что именно так и надо читать курс линейной алгебры, ту часть, где про линейные операторы. Удивлен, но даже в НМУ пока не взяли на вооружение. А при таком подходе самое необходимое о линейных операторах можно за одну лекцию рассказать даже самому тупому кретину в общем-то. Совершенно замечательный подход.

Еще кстати со временем убеждаюсь, что правильность методического подхода и красота доказательства главным образом определяется краткостью.  Чем короче изложение — тем лучше. Это чаще всего значит гораздо более высокий уровень абстракции, но оно себя каждый раз явно окупает. То есть в общем-то начинаю во многом принимать взгляды замечательного measure_01. Взрослею, видать. Хорошо.

UPD: Хотя если подумать по-лучше, то крутость подхода в общем-то не в отсутствии определителя, а в том, что на начальном этапе пространство раскладывается на корневые подпространства.

Декабрь 9th, 2010

Теорема Абеля в задачах и решениях

Я потихоньку читаю (проглядываю) списки книг, которые вывесили в ЛЖР-сообществе НМУ, в том числе дабы ничего не упустить смотрю и в книги для совсем начинающих.

Ну там много таких книг, но особенно мне понравилась книга Алексеева «Теорема Абеля в задачах и решениях». Книга на мой взгляд просто изумительная. Излагаемый в книге материал я изучал по разным взрослым учебникам в течении долгого времени и давалось мне это честно сказать не особо просто. Главным образом из-за того, что я к теореме Абеля шел не напрямую и в гораздо более абстрактных терминах. А тут вдруг оказалось, что теорему Абеля вполне может осилить любой даже средний школьник. Книга действительно написана очень просто и понятно.

Сейчас очень жалею, что не прочитал этой книги еще очень давно. В идеале она должна была бы быть вообще первой, прежде чем начинать заниматься чем-либо. Жаль, что не сложилось, а вместо этого я пару лет читал дерьмище от Ильина и Позняка, не зная о существовании альтернатив. Просто безумно жалко. Мог бы ведь стать математиком, а теперь хер — старый уже.

Октябрь 1st, 2010

Шафаревич, «Основные понятия алгебры»

Решил почитать книжку в сабже. У меня так получилось, что алгебру я в свое время сразу начал изучать на абстрактном уровне, без какой-либо мотивировки в виде физических или математических задач. Мотивировка была лишь та, что это как не крути язык современной математики и знать алгебру по этой причине все же надо (я не учился ни в матклассе, и в институте у нас алгебры не было, так что извне никто меня не направлял).

Тем не менее всегда было интересно как к абстрактной алгебре приходят нормальные люди. Интересовали простые бытовые задачи (пусть даже головоломки), решаемые методами теории групп, например, ну и так далее. Вот Шафаревича мне рекомендовали как раз как такую книгу: грамотное всеобъемлющее введение в материал алгебры на простых примерах.

Но, увы, не понравилось. Если вы уже знаете все понятия, что объясняются в книге, то она вам совершенно не нужна. Если не знаете, то она и не поможет. Написана книга сложно, и если вы заранее не имеете подготовки, то открывать ее бессмысленно. Кстати, некоторые даже простейшие примеры я так и не понял (например, в первой главе, где речь идет об уравнениях кривых в каких-то странных дискретных геометриях). Но и разбираться не хочется, потому что скучно же.

Январь 28th, 2010

Матричная запись комплексных чисел

Примечание: данная заметка представляет собой обзорный ликбез для нематематиков, знакомящий с одним конкретным приложением абстрактных векторных пространств, попутно напоминая в общем виде основные алгебраические понятия. Если вы математик, например студент НМУ, то читать не имеет смысла, так как вещи здесь действительно описаны крайне примитивные. Тем не менее даже этих примитивных вещей многие не знают и не понимают, о чем сообщают читатели.

Примечание 2: если есть желание взять эту статью и где-то разместить в другом месте, либо опубликовать, то вначале ознакомьтесь с этим коротким текстом.

Я уже писал о комплексных числах и в частности указывал, что их можно представлять в виде матриц. Однако никаких объяснений этого факта я не представлял, сославшись на то, что «можете сами проверить». Проверить, что матричное представление, что я привел, верное, действительно легко, но всегда интересно знать откуда у той или иной идеи ноги растут.

Матричное представление комплексного числа может получить достаточно легко любой нормальный школьник (ну или в современной России таки только второкурсник технического ВУЗа). Мы знаем, что у комплексного числа есть действительная и мнимая часть. Просто предположим, что действительная часть в нашей матрице будет находиться в элементе матрицы $latex A$ размером 2×2 $latex a_{1,1}$. Остальные элементы матрицы нам не известны, и нам хочется их найти. При умножении комплексных переменных $latex z_1 = x_1 + iy_2$ и $latex z_2 = x_2 + iy_2$ получается следующее «уравнение»:

$latex \left(\begin{array}{cc}x_1 & \alpha_1 \\ \beta_1 & \gamma_1\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}x_2 & \alpha_2 \\ \beta_2 & \gamma_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}x_1 x_2-y_1 y_2 & \alpha_3 \\ \beta_3 & \gamma_3\end{array}\right)$

То есть я знаю как ведет себя при умножении действительная часть числа, ее я и записываю в явном виде. Все остальные позиции в матрице мне не известны, но как только я попытаюсь решить эту «систему», то незамедлительно приду к комплексному виду матрицы. Первый шаг прост: мы явно видим, что $latex x_1 x_2 + \alpha_1 \beta_2 = x_1 x_2-y_1 y_2$, и стало быть $latex \alpha_1 \beta_2 =-y_1 y_2$, откуда мы сразу получаем половину матрицы. Довести рассуждения до конца — дело совершенно не хитрое.

Однако изложенный простой метод требует некоторый хитрости и сноровки. Математики этого не любят. Математики любят, чтобы не было никакой хитрости, чтобы все было строго и логично. Как кто-то написал: «Цель математика — найти такие математические методы, чтобы больше вообще не надо было думать». Поэтому я покажу сейчас классический метод получения матричной записи комплексного числа, как оно принято у взрослых ребят. Между прочим, используя понятия алгебры, которые в технических ВУЗах заставляют заучить, но совершенно не объясняют зачем это все надо и как это применять. Многим, думаю, это прольет свет на приложение тех самых абстрактных знаний, которые «непонятно зачем нужны».

Для начала вспомним что такое векторное (оно же линейное) пространство. Векторное пространство — это множество некоторых элементов, которые можно складывать и умножать на числа. Я не буду приводить строгое определение, так как оно нам совершенно не нужно. При желании вы сможете найти его где угодно. Примерами векторных пространств являются, например, сами числа (действительные и комплексные), функции, матрицы, привычные векторы из физики/математики. Я здесь не вдаюсь в тонкости вроде того над каким полем строится векторное пространство — работаем только с обычными вещественными числами.

Может случиться так, что у векторного пространства будет существовать набор элементов, через которые можно будет выразить любой другой элемент. Говорят, что такие элементы образовывают базис. Например, если рассматривать векторное пространство многочленов (функции вида $latex a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-1} x + a_n$), то базисом могут служить функции $latex 1, x, x^2, x^3, \cdots, x^k, \cdots$ — этот базис будет содержать бесконечное число элементов, что вполне нормально. Такие пространства называются бесконечномерными.

Может однако случиться и так, что базис будет состоять лишь из конечного числа элементов $latex n$. В этом случае говорят, что векторное пространство конечномерно и имеет размерность $latex n$. Примером может служить пространство $latex \mathbb{R}^n$, которое представляет собой множество столбцов (по сути матриц n×1), содержащих $latex n$ элементов:

$latex \mathbf{x} = \left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right)$

При сложении таких векторов складываются соответствующие элементы $latex x_i$, при умножении вектора на число, умножаются все элементы. То есть это просто пространство матриц n×1 — операции полностью соответствуют элементарным матричным. Базисными элементами являются следующие вектора:

$latex \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right), \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right), \cdots, \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{array} \right)$

Вот посмотрите пример как вектор может быть разложен в таком базисе:

$latex \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + 2 \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+ 3 \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$

Это пример вектора из пространства $latex \mathbb{R}^4$. На самом деле когда мы имеем векторное пространство некоторой конечной размерности, то нам уже совершенно не важна природа этого пространства. Если рассматривать векторное пространства многочленов степени не выше третьей (то есть вида $latex a_0 x^3 + a_1 x^2 + a_2 x^1 + a_3$), либо матрицы размера 2×2, то с точки зрения векторного пространства оно ни чем не отличается от обычного $latex \mathbb{R}^4$ — разница действительно не более чем в записи:

$latex a_0 x^3 + a_1 x^2 + a_2 x^1 + a_3 \cong \left(\begin{array}{c} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) \cong \left(\begin{array}{cc} a_0 & a_1 \\ a_2 & a_3 \end{array}\right)$

Если вы попробуете складывать или умножать на число матрицы 2×2, многочлены степени не выше третьей или векторы из $latex \mathbb{R}^4$, то вы увидите, что их координаты подчиняются одним и тем же законам. В этом сила линейной алгебры, да и алгебры вообще — совершенно различные объекты в очень простых терминах оказываются одинаковыми по сути, если забыть о специфических операциях вроде умножения элементов друг на друга. И в этом однообразии кроется возможность находить удивительные закономерности и устанавливать совершенно неочевидные факты.

Такое соответствие между по сути разными пространствами называется изоморфизмом векторных пространств. Из наших рассуждений становится совершенно очевидно, что и множество комплексных чисел является конечномерным векторным пространством:

$latex z = x + iy \cong \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$

Или короче это можно записать так: $latex \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2$

Но нам комплексные числа надо умножать, а векторные пространства ничего не говорят об умножении! Здесь нам придет на выручку понятие линейного оператора. По определению линейным оператором называется функция на векторных пространствах, которая удовлетворяет свойству линейности. На языке формул линейность записывается так (здесь $latex \mathbf{v}$ и $latex \mathbf{w}$ — векторы):

1) $latex \mathcal{A}(\alpha \mathbf{x}) = \alpha \mathcal{A}\mathbf{x}$, где $latex \alpha \in \mathbb{R}$

2) $latex \mathcal{A}(\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathcal{A}\mathbf{v} + \mathcal{A}\mathbf{w}$

Непосредственно из этого определения следует, что если мы работаем в конечномерном векторном пространстве с заданным базисом, то действие линейного оператора целиком определяется его действием на базисные элементы:

$latex \mathcal{A}\mathbf{v} = \mathcal{A}(\sum x_i \mathbf{e_i}) = \sum x_i \mathcal{A}\mathbf{e_i}$

$latex \mathcal{A}\mathbf{e_i}$ — это вообще говоря вектор:

$latex \mathcal{A}\mathbf{e_i} = \left(\begin{array}{c} x_{1,i} \\ x_{2,i} \\ \vdots \\ x_{n,i} \end{array}\right)$

А самому линейному оператору таких векторов соответствует $latex n$ штук:

$latex \mathcal{A} \cong A = (\mathcal{A}e_1, \mathcal{A}e_2, \ldots , \mathcal{A}e_n) = \left(\begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n}\end{array}\right)$

Отсюда так и просится вывод о том, что множество линейных операторов на заданном векторном пространстве размерности $latex n$ и само является векторным пространством размерности $latex n^2$. Обозначать такое пространство мы будем как $latex \mathcal{L}(V)$. Так же к слову отмечу, что я не случайно обозначаю матрицу линейного оператора просто заглавной буквой, а линейной оператор буквой каллиграфической — их стоит всегда различать, поскольку любое  векторное пространство имеет множество разных базисов, и в каждом из базисов матрица линейного оператора будет различна. Линейный же оператор от выбора базиса не зависит — это просто функция, которая ставит одному вектору в соответствие другой (придумайте примеры и убедитесь в моих словах). Более того, в случае бесконечномерных пространств, базиса может и вовсе не быть (если рассматривать пространство функций, например), и соответственно матрицу линейного оператора тоже не удастся задать, хотя сами линейные операторы могут быть вполне определены.

Замечателен тот факт, что если мы выбрали некоторый базис в нашем пространстве, то применение линейного оператора к вектору равносильно умножению этого вектора на матрицу линейного оператора (сам вектор так же записывается в координатах данного базиса):

$latex \mathcal{A}\mathbf{v} = A\mathbf{v}$

Я не останавливаюсь здесь подробно на преобразованиях координат и на разложении векторов в разных базисах, так как это подробно расписано в любом учебнике, да и напрямую к нашему повествованию не относится.

После применения линейного оператора, мы получаем новый вектор, к которому опять же можно применить линейный оператор. Пусть мы вначале применили линейный оператор $latex \mathcal{B}$, а затем линейный оператор $latex \mathcal{A}$. Это называется композицией линейных операторов и обозначается как $latex \mathcal{A}\circ\mathcal{B}$ (полная аналогия с композицией обычных функций). Легко видеть, что матрица композиции линейных операторов равна произведению матриц линейных операторов:

$latex \mathcal{A}\circ\mathcal{B}(\mathbf{e_i}) = \mathcal{A} (\mathcal{B} \mathbf{e_i}) = \mathcal{A} (\sum_{j=1}^n b_{i,j} \mathbf{e_j}) = \sum_{j=1}^n b_{i,j} \mathcal{A} \mathbf{e_j}$

$latex = \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n b_{i,j} a_{j,k} \mathbf{e_k} = \sum_{k=1}^n\left(\sum_{j=1}^n b_{i,j} a_{j,k}\right)\mathbf{e_k}$

Запись в последней скобке есть ни что иное как выражение элементов для произведения матриц. Собственно именно такая связь между композицией линейных операторов и произведением матриц может являться объяснением причудливой формулы матричного произведения (правильнее конечно это объяснять через последовательные преобразования базисов, но мы сейчас не будем этим заниматься).

Однако вернемся к комплексным числам. Определим оператор $latex \mathcal{A} \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ просто как умножение на $latex z = \alpha + i\beta$, если интерпретировать вектор из $latex \mathbb{R}^2$ как комплексное число:

$latex \mathcal{A}\left(\begin{array}{c} x \\ y\end{array}\right) = (\alpha + i\beta)(x + iy) = \left(\begin{array}{c} x\alpha-y\beta \\ x\beta + y\alpha\end{array}\right)$

В том, что это действительно линейный оператор можно убедиться непосредственной проверкой (собственно это следует напрямую из того, что умножение на комплексное число коммутативно и дистрибутивно). А раз так, то мы можем найти матрицу этого линейного оператора:

Басис:  $latex 1 \cong \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0\end{array}\right)$ и $latex i \cong \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1\end{array}\right)$

$latex A = (\mathcal{A}1, \mathcal{A}i) = (\alpha + i\beta,-\beta + i\alpha) = \left(\begin{array}{cc} \alpha &-\beta \\ \beta & \alpha\end{array}\right)$

Как видно, это и есть та форма комплексного числа, которую я приводил. Здесь $latex \alpha$ — действительная часть, а $latex \beta$ — мнимая. Умножение на два числа $latex z_1$ и $latex z_2$ будет соответственно эквивалентно умножению на число $latex z_1 z_2$, либо умножение на произведение наших матриц. Сложение комплексных чисел покоординатное, так что эти матрицы и при сложении так же действуют в аналогии с правилами для комплексных чисел. А это и есть то что мы искали.

Приведенный прием с линейным оператором в действительности очень широко применим. Вероятно я в обозримом будущем еще вернусь к теме подобных приложений линейной алгебры, хотя и не уверен. А пока в качестве разминки предлагаю подумать над матричным представлением кватернионов (их множество обозначается как $latex \mathbb{H}$).

Кватернионы это числа вида $latex h = a + bi + cj + dk$, где $latex i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$. Этого вполне достаточно, чтобы установить все свойства кватернионов. Стоит обратить внимание на то, что вообще говоря для кватернионов $latex h_1 h_2 \ne h_2 h_1$, то есть произведение уже зависит от порядка сомножителей. Так, $latex ij = k$, но $latex ji = -k$. Эти свойства можно найти в любой вводной статье. Нас же как и в случае с комплексными числами интересует возможность представить кватернионы в матричном виде.

Для этого можно рассматривать кватернионы либо как элементы векторного пространства $latex \mathbb{R}^4$, либо как элементы векторного пространства $latex \mathbb{C}^2$. В обоих случаях умножение на кватернион можно представить как действие линейного оператора и точно так же получить матричное представление (для $latex \mathbb{R}^4$ мы получим матрицы 4×4, а для $latex \mathbb{C}^2$ матрицы 2×2, но с комплексными элементами).

Попробуйте проделать это самостоятельно. Следует однако обратить внимание на то обстоятельство, что $latex h_1 h_2 \ne h_2 h_1$ — это делает значительным вопрос о том, с какой стороны происходит умножение под действием линейного оператора. И если вы определите $latex \mathcal{A}: \mathbf{v} \mapsto h\mathbf{v}$, то это не будет линейным оператором в случае $latex \mathbb{C}^2$, так как нарушается первое свойство линейности (покажите это!). Чтобы таки представить кватернион в виде линейного оператора, необходимо, чтобы умножение на кватернион происходило не слева, а справа — это устранит неприятность с невозможностью переставить местами сомножители.

Октябрь 2nd, 2009

Порядок суммирования

Удивительно, но по некоторой причине судя по статистике в моем блоге, самые популярные записи — математические (после заметки о Евровидении, конечно). Нравится людям ломать голову. В этот раз приведу еще одну задачку, которую по силам так же решить первокласснику, который усвоил что значит запись «a + b». Задача как водится ни разу не головоломка, а скорее проверяет понимание сути простейших вещей и умение мыслить более сложными категориями нежели «2 + 2».

Хорошо известно, что

finite_sum

Если формула не понятна, то ниже я объясню подробнее. По сути смысл здесь очень простой — мы суммируем все возможные слагаемые Aij, где как i, так и j пробегает все возможные значения от 1 до n и k соответственно. Перемена знаков суммы местами означает фактически тавтологию — в первом случае мы суммируем вначале по i, а после уже суммируем по j, а во втором случае наоборот. Но в обоих случаях суммирование ведется по всем элементам, поэтому равенство справедливо.

А теперь  вопрос:

inf_sum

Верна ли эта формула в случае, когда у нас слагаемых бесконечно много? Математики сейчас сразу же подумают о всяких рядах Фурье или Тейлора, а нематематики впадут в ступор, однако я могу сделать подсказку: никаких Тейлоров и Фурье не надо, в ступор впадать тоже не следует. Как я сказал выше, если вы умеете складывать числа, то и эта задача — не проблема. Никакой особой математики не требуется. Надо всего навсего либо привести опровергающий пример, либо доказать этот факт используя элементарную арифметику. Ответ как обычно выложу через пару недель.

Тем, кому все что выше было понятно, можно дальше не читать. Ниже я разъясняю понятия суммы для тех, кто забыл или не знал.

Для начала несколько вводных понятий.

Под последовательностью {xi} мы будем понимать нечто, что любому натуральному числу (1, 2, 3, …) сопоставляет некоторое другое число. Например, мы можем сказать, что xi = 2 + 3i, и тогда наша последовательность будет представлять из себя следующее:

(x1, x2, x3, …)  = (5, 8, 11, …)

Фактически просто вместо i подставляем в формулу номер элемента. Это не слишком крутое объяснение с математической точки зрения, но я пытаюсь сделать его понятным нематематику. Когда у нас есть некоторая последовательность чисел, то мы можем захотеть сложить несколько подряд идущих элементов. Это можно записать так:

sum_ex

Нижняя формула — пример суммы для уже приведенной мной в виде примера последовательности.

Совершенно аналогично мы можем определить последовательность с двумя индексами xij. Ну например так: xij = i + j. Тогда, например, значение x23 будет равно 5. Последовательность мы можем задать любую. Для таких последовательностей мы можем определить двойную сумму:

sum_ex2

То есть это сумма всех элементов последовательности xij в пределах n и k. Понятно, что в каком порядке мы это суммируем совершенно не важно, потому что от «перестановки мест слагаемых сумма не меняется». Осталось только самостоятельно подумать о том, останется ли это верным в бесконечном случае.

Сентябрь 14th, 2009

Учебники по алгебре

Выкладываю хорошие учебники по алгебре. Эта заметка в основном адресуется студентам 1-го курса НМУ, которые вероятно время от времени меня читают, но тем не менее книги я бы посоветовал почитать абсолютно всем. Особенно Винберга. Великолепное пособие для развития мозгов. Просто великолепное.

Итак, учебники, которые нам рекомендовал Левин, качайте:

Винберг «Курс алгебры»

Кострикин «Введение в алгебру»

Б. Л. ван дер Варден «Алгебра»

От себя добавлю, что настоятельно рекомендую Винберга. Книг со столь ясным и простым изложением найти очень сложно. Варден — весьма сложен, хотя книга тоже хорошая. Я сам лично начинал изучать алгебру именно по нему, потом когда обнаружил Винберга был просто в шоке от того, насколько проще все это можно было изложить.

Кострикин — книга весьма простецкая, тоже весьма простая и понятная. Нравится меньше Винберга, но как дополнение очень подойдет.

Учитесь, друзья.

UPD: Узнал, что у Кострикина аж три части на самом деле. Ну и ладно.

Сентябрь 11th, 2009

Опеределения комплексных чисел

С комплексными числами, полагаю, хотя бы в минимальной мере знакома где-то половина читателей. В этой заметке я немного расскажу о том как они могут определяться.

Итак, самое простое определение комплексных чисел, которым и пользуются большинство людей, такое: комплексными числами называются числа вида x + iy, где i2 = −1, а x и y — вещественные. Это определение простое и интуитивно понятное, однако с математической точки зрения не совсем полноценное. Мы ведь знаем, что корня из −1 не существует (какое число в квадрат не возведи — получишь положительное число), поэтому вдруг сказать «а давайте придумаем мнимую единицу» — сильно смахивает на трюкачество и вообще говоря правомерность таких определений вызывает сомнения. (Обратите еще внимание, что мы определяем мнимую единицу именно как i2 = −1, а не как корень из минус единицы — в последнем случае это было бы вообще не правильно, так как корней квадратных из —1 на самом деле может быть аж два разных, как многие из вас знают).

В общем-то определение это вполне полноценно, если его дополнительно облачить в алгебраическую терминологию и показать всякие простые соотношения. Однако добиться точности формулировок можно и без этого, если задать комплексное число как упорядоченную пару вещественных чисел (x, y) с заданными правилами сложения и умножения:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1)

Здесь уже с формальной точки зрения никаких сомнений не возникает — мы изначально не утверждаем никаких сомнительных вещей, а лишь выводим их из заданных правил. Другое дело, что для студента, который только учится работать с комплексными числами, такое определение покажется слишком надуманным и сложным. Начинать изучение комплексных чисел с такого определения — грех и вообще преступление. К нему стоит подходить много позже.

То что я написал выше — многим было и так известно. А сейчас посмотрите на вот такое определение комплексного числа:

Комплексное число

Здесь a — действительная часть, a b — мнимая. Вы можете с легкостью убедиться в том, что матричные операции над такого вида матрицами целиком и полностью соответствуют соответствующим операциям над комплексными числами (добавление от 28.01.2010: написал подробную статью, объясняющую, откуда берется такая матрица). Само по себе такое представление имеет достаточно низкую ценность, так как есть множество других более удобных представлений (которые правда не годятся для определений, в отличие от такой матрицы). Однако подобный прием позволяет, например, обобщать комплексные числа на кольцо кватернионов, где такой вид матрицы уже значительно упрощает доказательства основных фактов, да и вообще с кватернионами в таком виде работа гораздо более удобна.

Но и матричный вид конечно не последний. Посмотрите на следующее определение поля комплексных чисел:

R[x] / (x2 + 1)

Догадываюсь, что многие читатели не знакомы с такой алгебраической нотацией. Поэтому поясню. R — поле вещественных чисел, как большинству известно. Запись R[x] означает множество полиномов с обычными операциями сложения и умножения:

a0xn + a1xn − 1 + … + an − 1x + an

Я не буду сейчас подробно вникать в то, почему именно такие обозначения и какой это несет дополнительный смысл. Скажу лишь, что на самом деле вы можете написать K[x, y, …, z] и это будет означать полином по переменным x, y, …, z в K. Все эти понятия вы сможете найти где угодно — это базовые понятия алгебры. Но они нам не понадобятся сейчас.

Вообще что R, что R[X] — это так называемые кольца. Кольцо определяется как множество с двумя операциям (называемыми сложением и умножением), обладающие большинством свойств обычных чисел (можете найти где угодно). Различных колец в математике огромное количество, но нас сейчас интересует только кольцо R[x].

Следующее важное понятие — это понятие идеала.  Если у нас есть некоторое кольцо K, то его идеалом α называется такое его подмножество, которое замкнуто относительно сложения (сумма любых двух элементов идеала содержится в идеале), а так же произведение любого элемента из K на любой элемент из α вновь принадлежит α. Простейший пример — множество четных чисел в кольце целых чисел. (Сумма четных — четное, произведение любого числа на четное  — снова четное). Так же если нам задан некоторый многочлен f(x), то множество многочленов вида h(x)f(x) будет идеалом (h(x) — произвольный многочлен, в том числе и нулевого порядка). Проверяется это элементарно, так что я не буду тратить на это время.

Когда у нас есть идеал α, мы можем все множество разбить на непересекающиеся подмножества, называемые классами эквивалентности, следующим образом: элементы f, g из K находятся в одном классе эквивалентности тогда и только тогда, когда f − g содержится в идеале α. В том, что это умножение корректно, так же не сложно убедиться.

А теперь интересное: пускай f принадлежит классу эквивалентности F, а g принадлежит классу эквивалентности G. Место действия — кольцо K с идеалом α. И пускай fg принадлежит классу эквивалентности A, а f + g классу эквивалентности B. Оказывается, что на самом деле классы A и B не будут зависеть непосредственно от элементов f и g, а будут зависеть лишь от тех классов эквивалентности, к которым эти самые f и g принадлежат. То есть если мы возьмем вместо f и g некоторые f’ и g’ из тех же F и G, то результат сложения и умножения будет по-прежнему принадлежать A и B, хотя сами элементы f’ + g’ и f’g’ будут уже другими. Может быть это кажется сложным и странным, но на самом деле доказывается это весьма легко — при некоторой сноровке это доказывается на листке бумаги меньше чем за минуту. Оставляю это читателю. Если не получится, это всегда можно найти в любом учебнике по алгебре.

Из всего сказанного про идеалы можно заключить следующее очень важное следствие: на множестве классов смежности можно определить операции сложения и умножения, результатом которых будут классы смежности, в которые попадают результаты сложения и умножения элементов классов смежности. В обозначениях, введенных выше, можно написать так: F + G = A и FG = B. Более того, такие операции умножения и сложения будут удовлетворять всем свойствам кольца, поскольку этим свойствам обладают все элементы, содержащиеся в классах смежности.

Значит, множество классов смежности с операциями сложения и умножения, определенными выше, образуют кольцо. Такое кольцо называется факторкольцом и обозначается так: K/α.

Теперь можно догадаться что означает запись R[x]/(x2 + 1). Полиномы вида h(x)(x2 + 1) образуют идеал, как я указывал выше (полином x2 + 1 при этом называется базой идеала), а факторкольцо по нему — тоже некоторое кольцо.

Так вот элементы факторкольца R[x]/(x2 + 1) на самом деле и задают комплексные числа.

Это не сложно доказать. Кто-то из вас потратит на это час, кто-то два месяца, а кто-то не сможет доказать вовсе, но доказательство достаточно элементарно на самом деле. В следующей строчке я привожу вид комплексного числа при таком задании, но прежде чем переводить глаза, предлагаю вам подумать над этим без подсказок хотя бы пару дней — это полезно для мозгов.

Итак, a + ib ↔ [bx + a ]. Запись [f] означает класс смежности, содержащий в себе f.

По-моему офигенно. Кстати, заметьте, что x2 + 1 — не просто полином, взявшийся с потолка, а именно полином, не имеющий действительных корней. Над этим тоже хорошо бы поразмыслить, но эти размышления окажутся уже на порядок сложнее.

Сентябрь 9th, 2009

Доказательства бесконечности множества простых чисел

В институте с одним студентом обсуждали вопрос «на хрена сдалась алгебра». Не та, что сложить 2 и 3, или решить какие-нибудь уравнения, а абстракщина завязанная на группы, кольца, изоморфизмы и т. д. Оно понятно в общем-то зачем все нужно, но хотелось найти именно простых примеров, понятных обывателю. Вспомнилось изумительное доказательство по этому поводу.

Вообще тот факт, что простых чисел бесконечно много доказал еще Евклид в бородатом году: если бы множество простых чисел было конечно, то перемножив все простые числа и вычев единицу, мы получили бы число, которое ни на какое простое не делится. Противоречие, а стало быть простых чисел все же бесконечно много.

Красиво и кратко, но прикольно при доказательстве задействовать все же современную математику, да по-изысканнее.

Возьмем число 2p−1, где p — простое. Очевидно, что у этого числа найдется некий простой делитель q. Далее рассмотрим поле вычетов Zq. Его мультипликативная группа имеет порядок |Zq \ {[0]}| = q −1. В этой же самой группе число 2 имеет порядок p, что очевидно из формы нашего числа (понятно, что 2p даст в остатке 1 при делении на q). Из теоремы Лагранжа следует, что порядок элемента группы, если он конечен, делит порядок всей группы, поскольку порядок элемента — то же самое, что и порядок порожденной элементом циклической подгруппы. Стало быть q − 1 делится на p. Стало быть q > p.

Теперь мы можем построить последовательность простых чисел таким образом: берем любое число 2p − 1 c простым p, находим его простой делитель q, который всегда будет больше, чем p. Потом находим делитель уже для числа 2q − 1, который окажется больше чем q. Для этого нового делителя продолжаем повторять процесс итерационно. Понятно, что мы получим бесконечную последовательность простых чисел, что и доказывает нашу теорему.

На мой взгляд совершенно божественно. Я от таких вещей интеллектуально оргазмирую.

UPD: Опубликовал еще одно, топологическое, доказательство.

This work is licensed under GPL - 2009 | Powered by Wordpress using the theme aav1
SEO Powered by Platinum SEO from Techblissonline