Математика и секс
Август 25th, 2015

Оценки в университете Лондона

Небольшое дополнение к прошлой заметке об университете Лондона. Судя по всему оценки выравнивают тем, кто показывает хорошие результаты, чтобы не было завалов у хороших учеников. Но если учишься совсем плохо, то результат плохой в любом случае. Оказалось, что многие завалили целый ряд модулей и должны прослушивать их заново, на следующий уровень их не берут. Моя любимая одногруппница Патрисия завалила математику и Яву, например, и должна просшивать эти курсы заново.

Так что всё оказалось вполне серьёзно.

Июнь 28th, 2014

Кто хочет стать программистом?

После вчерашней заметки и разговора с девушкой я лежал ночью в кровати, смотрел в потолок и думал. Ниже я издагаю те мысли, которые меня вчера посетили и которые всё ещё не забыл. Я сейчас буду говорить только об IT-сфере.

Обычный карьерный путь человека в IT выглядит так: он поступает в технический ВУЗ на любую специальность, ему пять лет капают в мозг всякой чушью, но среди этой чуши он начинает понимать как писать циклы while и условия if. Если ВУЗ топовый, то он узнает что такое классы и объекты. В качестве очень редких исключений можно попасть к хорошему преподавателю на какой-нибудь спецкурс, где тебе расскажут нормально про что-то ещё, например про XML или про то же теситрование или про современный веб, но это редко. В МИФИ, например, когда говорят про HTML, до сих пор рассказывают про тег FONT.

Потом человек как правило читает одну-две книжки, которая уже учит его какому-то взрослому языку, а институт его по распределению пихает в какую-нибудь контору на позицию джуниор-разработчика или тестировщика. Именно на работе человек получает свои первые реальные навыки, после чего он может искать уже новое место работы, изучать ещё что-то новое, расти профессионально и карьерно. Профессионал, можно считать, получился.

Альтернативный подход — это самообразование. К сожалению, это почти никогда не работает. В редких случаях, когда это работает, человек вырастает в куда более хорошего специалиста, нежели он мог бы вырасти окончив институт. Другое дело, что у 99% заниматься самообразованием не получается. Получается, что институт оказывается в общем-то на порядок предпочтительнее самостоятельной учёбы. Полезно понять как именно выглядит неудачный сценарий самообразования.

Начинается всё с того, что у человека возникает желание освоить какую-то профессию и научиться что-то делать. В случае с моей девушкой это желание стать тестировщиком. В случае меня это было желание стать хакером (мне было тогда очень мало лет и я думал, что уж хакерам-то точно бабы дают). Первый шаг такого человека — начать задавать доступным ему людям вопросы в духе «как научиться».  Тут случается первая засада. Ему начинают давать советы все кому ни лень, в итоге по одному только какому-нибудь языку программирования у него оказывается список из 20-ти книг и он не знает что выбрать. Из этих 20-ти книг легко может не оказаться ни одной, которая действительно заслуживает прочтения. Часть из них окажется просто плохими книгами, часть будет ориентирована на сложивщихся профессионалов, часть на людей просто интересующихся, без прицела на освоение именно профессии.

Человек выбирает одну какую-то книгу и начинает её читать. Например, это может быть какая-нибудь книга «Java для начинающих» на 500 страниц текста. После прочтения книги человек узнаёт про все возможные операторы, типы данных, несколько паттернов, но зачастую не может написать ничего сложнее каких-то консольных программ, которые считают числа Фибоначчи. Учитывая, какого труда это ему стоило, человек утверждается в мысли, что программирование это не для него. Конец.

Чем институт оказывается в выигрышном положении? Главным образом он выигрывает в том, что на лекциях дают лишь необходимую выжимку. Вместо чтения 500 страниц по Яве достаточно прослушать несколько которотких лекций (обычно всего навсего 3-4), чтобы уметь делать ровно то же самое и даже больше, чем ты сможешь делать после прочтения книги. Конечно, знания будут обзорными и неглубокими, но начинающему знать что-то глубоко и не нужно. Углубиться можно уже в процессе работы и заробатывания денег.

Институт так же поддерживает темп. Если на лекции были while, if и алгоритмы сортировки, то через неделю надо сдать домашнее задание на эту тему. Конечно, кто-то может скопировать программу из Интернета, кто-то может получить хвост, про который потом все забудут, но само присутствие на лекцией и в лабораторном помещении откладывается в мозгах. По крайней мере даже если студент не делает никаких заданий, он примерно себе представляет как выглядит процесс программирования, как программа компилируется, дебажется и запускается. А это уже половина успеха, даже если программируют на отсталом языке типа Pascal и программируют чушь. Это всё равно навыки программирования, пусть и пассивные.

Следующее важное свойство института, это то что он даёт кругозор. Вопрос новичка обычно выглядит так: «А как мне научиться программировать на Яве?» Человеку после такого вопроса вполне справедливо начинают давать рекомендации по изучанию именно Явы. Мало кому придёт в голову сказать человеку, что чтобы стать программистом, помимо Явы надо знать какие-то алгоритмы, процесс тестирования, системы контроля версий, форматы XML и JSON, HTML, какие-нибудь скриптовые языки, основы криптографии, базы данных, устройства сетей и операционной системы, принципы многопоточного программирования и так далее. Даже не смотря на то, что половина перечисленного легко изучается за неделю, об этом просто никто не скажет, не даст тестового задания или домашнего упражнения. В итоге даже освоив на каком-то уровне Яву человек всё равно не способен писать что-то сложнее совсем тривиальных окошечек.

Российские институты из необходимых навыков дают программисту лишь малую часть и дают её некачественно. Но опять же это полезно — это расширяет кругозор. Даже если в институте рассказали про тег FONT, если вдруг человеку придётся становиться разработчиком под веб, он сможет довольно легко переключиться на новые стандарты. Важно однако что он уже имеет представление в какую сторону хотя бы смотреть. Самоучка в Яве зачастую даже примерно не знает что из себя представляет страничка в Интернете.

Так же очень важным преимуществом института является то, что он создаёт внутри себя некоторое комьюнити. Если студент не понимает почему у него не компилируется «Hello World!», он может всегда спросить об этом у соседа. Если вы учитесь сами по книжкам, то спросить вам как правило неукого. Есть, конечно, форумы, но в большинстве мест, если вы будете задавать много «глупых» вопросов, местные эксперты вам вначале будут кивать на Гугл, потом заминусуют, потом назовут «ламером» и потом забанят. На этом ваше самообучение скорее всего прекратится из-за полной вашей демотивации.

В последнее время появились различные онлайн-курсы, вот эти самые MOOC, которые в самообучении помогают очень здорово. Во-первых, они дают кругозор (не идеальный, но сравнимый с университетским, если вы беретё несколько курсов), во-вторых, они не заставляют читать книжку, а дают вам быструю необходимую выжимку материала, а так же устанавливают дедлайны, что не позволяет вам лениться. В-третьих, они формируют так же как и институт комьюнити, где вас никто не забанит за глупые вопросы. В отличие от института такие курсы так же объясняют что-то современное и реально прикладное, а не доисторичскую чушь типа Pascal или HTML4. Почти идеально.

Однако, MOOC имеет и недостатки. Главный недостаток заключается в том, что у ученика нет куратора, который мог бы направлять процесс обучения. Всё что вы видите — это набор курсов, но вы не знаете какой из них вам надо выбрать и нет человека, который сказал бы вам, что «Курс по „Hadoop” тебе рановато пока брать, научись для начала хотя бы массив сортировать».

Второй недостаток заключается в том, что подход MOOC не индивидуален. Вы можете написать программу, но её никто не проверит и никто вам не скажет: «Да, молодец, всё круто, но вот эта функция берёт на себя слишком много ответственности, лучше бы разбить её на несколько подпроцедур», — а такие комментарии между тем крайне важны, без них стать профессионалом куда сложнее, нежели с ними. Отсюда же следует, что в MOOC вам не дадут на выполнение какие-то большие и сложные проекты, требующие коллективной разработки, понимания архитектуры и должного тестирования. В институтах этого тоже нет, но это решается тем, что на четвёртом курсе вас обычно пихают в какую-нибудь конторку, где вы это всё начинаете потихоньку осваивать.

Помимо MOOC существуют ещё и оффлайновые курсы, но они как правило совершенно неэффективны и максимум могут подготовить вас к сдаче экзамена на какой-нибудь сертификат.

Я сейчас задался целью научить свою девушку профессиональному тестированию ПО, и получается, что я в каком-то смысле должен решать все проблемы, которые имеют MOOC, институты и оффлайн-курсы. При том, что я сам не являюсь тестировщиком. Задача сложная и не факт, что у меня что-то получится, но рассуждения о том, как построить процесс её скорейшего и простейшего обучения профессии, натолкнул меня на мысль, что эксперимент можно провести и более масштабный.

По суди единственное, что я могу дать своей девушке — это отвечать на её вопросы, напрявлять на какие-то конкретные учебные материалы, делать код-ревью и давать проекты для самостоятельного выполнения. По идее это не должно отнимать у меня много времени и с тем же успехом я могу учить ни одного человека, а, скажем, десять. И вот у меня родилась мысль начать такой «курс».

Я опишу, как я себе представляю каким образом это всё может выглядеть на практике.

Во-первых, сам курс будет представлять собой закрытый форум (по крайней мере на первое время), на котором будут общаться ученики и учителя. Иногда будут созвоны в скайпе. Еженедельно учителями будут поститься ссылки на учебные материалы и даваться какие-то разъяснения и рекомендации, а так же самостоятельные задания. Решенные задания ученики будут выкладывать для обсуждения другими учителями и учениками. Так будет продолжаться до тех пор, пока из ученика не получится профессионал.

Требования для того, чтобы стать учеником, такие:

1. Вы не должны быть программистом и не должны быть студентом топового технического ВУЗа. Студенты МГТУ, ВШЭ, МИФИ, МФТИ, МГУ не принимаются (хотя если вы сейчас не студент этих вузов, а потом вдруг станете, выгонять мы вас не будем). Речь конечно только о технических специальностях. Этот курс — эксперимент, целью которого является вырастить профессионала с нуля, а не объяснить какую-то одну технологию человеку, который уже что-то знает.

2. Вы должны быть готовы уделять на курс до 14-ти часов в неделю (чаще всего меньше), плюс дополнительно к обязательным заданиям и статьям уделять время на рекомендуемые книги. Про чтение художественной литературы, компьютерные игры и прочую трату времени придётся забыть на какой-то период.

3. Вам потребуется безлимитный Интернет. Регулярно потребуется скачивать различные среды разработки, библиотеки и подобное. Это файлы размером зачастую в несколько сотен мегабайт.

4. Обязательным является изучение английского языка. Иногда вам придётся либо печатать учебники из Интернета, либо покупать их в бумажном виде (не всё что я потребую купить может быть найдено в Сети). Как альтернатива — вы должны будете пойти на курсы английского. Максимум через пол-года курс целиком перейдёт на английский язык, включая общение на форуме. Учебные материалы с первой же недели будут на английском языке (необходимые комментарии будут даны на русском).

5. Вы должны хотеть получить профессию программиста или тестировщика, это является целью курса. Мне хотелось бы, чтобы через год ученик мог зарабатывать фрилансом, а через два года устраиваться на работу в большие компании.

Так же интересно, если ко мне захотят присоединиться другие учителя. Очень интересны люди, которые:

1. Являются профессионалами Java-разработки.

2. Являются профессионалами веб-разработки.

3. Профессионально занимаются тестированием.

4. Занимаются хантингом программистов и тестировщиков.

5. Веб-дизайнеры и верстальщики.

6. Системные архитекторы.

7. Фрилансеры, которые реально этим зарабатывают и знают как начать фрилансить, найти заказчиков и не боятся научить этому других.

8. Менеджеры в IT, которые знают, как построен процесс разработки приложений с точки зрения бизнеса.

9. Люди, занимающиеся маркетингом в IT.

10. Все прочие люди, профессиональные знания которых, как они считают, могут пригодиться человеку, занятому в IT-сфере.

Учитель должен будет делать всё то что я написал: отвечать каждый день на глупые вопросы на форуме, направлять учащихся на конкретные статьи, давать задания, проверять их. Подход «держите парни 20 книг, как прочитаете, отчитаетесь» не интересен. Каких-то лекций читать не надо, специальных учебных материалов готовить не надо, надо лишь направлять сообучение, указывать конкретные статьи в блогах и на сайтах, конкретные параграфы в книгах. Должна быть постоянная обратная связь, причём проект должен быть длительным. Конечно, если вы хотите рассказать только об одной какой-то теме и на этом закончить, длительным он быть не обязан, но в силу того, что мы не можем давать высокой нагрузки учащимся, даже краткий курс скорее всего окажется более длительным, чем вы ожидаете. Вероятно, кто-то из учителей сможет утолить и корыстный интерес: предложить в качестве домашнего задания реальную задачу для своего бизнеса или найти себе сотрудников, удалённых или настоящих. Учитывая, что на этом курсе скорее всего будут учиться высокомотивированные люди, я думаю, это будут хорошие сотрудники и в итоге специалисты. Ну и учитель, если проект вдруг станет успешным, всегда сможет с гордостью говорить, что это он его таким успешным сделал.

Ну и да, подавляющее большинство учителей скорее всего станут как-то полезны лишь через пару месяцев после начала курса, так как в самом начале будут совсем примитивные вещи.

Я думаю тут необходимо сказать почему я думаю, что это стоящая затея. Я знаю, что спрос на такой курс скорее всего будет у учеников. Я регулярно по почте делаю ровно то, о чём я описал в этой заметке: отвечаю людям на глупые вопросы, говорю, что читать дальше. Людям это нужно, поэтому я думаю, что проект по крайней мере сможет запуститься.

С точки зрения учителей выгода в том, что это возможность поучавствовать в уникальном эксперименте. Многие профессионалы стремятся поделиться знаниями: пишут в блоги, открывают школы в своих больших компаниях, читают лекции в онлайн-университетах. Такой проект — это ещё один способ донести до людей свои знания, и, как мне кажется, способ весьма интересный.

И ещё несколько комментариев о том, что будет в курсе по составу.

1. Не будет жести. Не будет Хаскеля и Лиспа, не будет сложных параллельных алгоритмов, не будет ассемблера и так далее. Для изучения этого куратор нужен куда в меньшей степени и при желании это ученик освоит потом сам. Основная задача — дать основное и вывести человека на уровень успешного прохождения собеседований.

2. Зато будет много надрочки на собеседования. Проходить собеседования — отдельный навык, причём для успешной карьеры чуть ли не самый важный, так что этого будет много.

3. Не будет математики. Ну вернее будет, но только самая тривиальная, чтобы человек хотя бы примерно понимал что такое O-нотация и мог решать задачки на собеседованиях на решето Эратосфена и числа Фибоначчи. Это всё совершенно не нужно IT-специалисту, но бизнес любит такие вопросы при отсеве соискателей. Глупо со стороны бизнеса, но с этим надо считаться.

4. Основная направленность будет в Java-программирование, поскольку пока это наиболее востребованный язык. (По этой причине профессионал Java нужен ну очень-очень сильно; я сам смогу дать лишь основы). Обзорно и неподробно будет рассказано и о других профессиональных областях, если найдутся желающие профессионалы, чтобы стать учителями. Было бы здорово при заинтересованности учеников подготовить так же тестировщиков/дизайнеров/верстальщиков. Но в целом никакой конкретной программы нет, никаких жестких временных рамок нет.

5. Проект полностью некоммерческий и будет оставаться таким. Никаких дипломов по окончании, никаких сертификатов не будет. Однако, в процессе обучения ученик будет выполнять нетривиальные проекты, которые смогут пойти в его портфолио работ. Для многих компаний это куда более весомо, нежели диплом или сертификат.

Когда наберётся какое-то количество желающих учиться, курс начнётся. Я ожидаю, что можно начать с 15-ю учащимися, впоследствии добирать учеников не планируется. Если 15 не будет набираться, но можно начинать и с меньшим числом учащихся, но только если их будет не меньше пяти. Но в этом случае мы всё же будем ждать, пока набирётся более крупный класс, посольку какая-то часть в процессе наверняка отсеится (выгонять никого не будем, подход будет индивидуальным, но кому-то наверняка курс просто не подойдёт и он решит уйти сам). Если ученики не будут набираться совсем никак, то проект отменяется и можно рассматривать эту заметку просто как философские рассуждения.

Учителя получат доступ до форума сразу же, хотя в какой именно момент они начнут доносить свою тему, будет решено совместно по ходу курса.

Желающим стать учениками или учителями, писать мне на почту heller@heller.ru или heller@riseup.net. Если мало ли я не буду вам отвечать в течение двух дней, напишите об этом в комментарии, оба почтовых ящика иногда бывает глючат и не принимают письма.

UPD. Класс уже сформировался, так что новых учеников набирать не будем.

Декабрь 12th, 2013

Сняли кино по моей книге

А проект Hexlet запускает курс по первой главе моего учебника. Это довольно круто и для меня самого неожиданно. Рахим когда-то давно предлагал мне начитать курс, но мне это не удалось в силу загруженности, и тогда он взял и сделал курс сам. Я о том что он всё же начинает мой курс не знал и был приятно удивлён.

На момент написания этой заметки на курс уже записалось 352 человека, что, как мне кажется, не мало. Сам я тоже записался, буду ошиваться на форуме ну и вообще послушаю.

Вообще проект Hexlet вызывает у меня всяческое одобрение и восторг, всем рекомендую. Там помимо курса по логике, есть куча других курсов, среди которых для меня сейчас самые интересные~— это курс разработки под Android и курс по операционным системам. Не уверен, что буду всерьёз заниматься этими курсами, так как времени мало, но посмотрим (курс по операционным системам я сам в свое время оставлял в заявках, но с тех пор прочёл Танненбаума, поэтому не факт, что будет интересно, хотя неизвестно: книга Танненбаума мне хоть и много рассказала с одной стороны, с другой меня не покидает ощущение поверхностности и неглубокости моих нынешних знаний этой темы).

Кстати, Hexlet даёт каждому не только возможность курсы слушать, но так же ещё и читать. Я знаю, что у меня среди посетителей много всяких умных людей, математиков, айтишников, дизайнеров, экономистов и прочих, было бы круто если бы кто-то из них тоже начитал бы курс. Не знаю как мотивировать людей на это, но мне это кажется интересным. По крайней мере человеку, читающему лекции, банально поставить в аудитории видеокамеру и потом накидать тестов труда не составит, если он и так читает какой-то курс. Так что не вижу причин, чтобы так не сделать.

Присоединяйтесь!

Август 28th, 2013

Переоценил МАДИ

Недавно писал, что перевёлся в МАДИ. Оказалось, что не факт. Уже три дня стою в очередях.

В первый день очереди своей не дождался.

Вчера стоял с самого утра, дождался только к четырем дня, но развернули, так как выяснилось вдруг, что притащил не те документы (хотя притащил всё что говорили притащить и всё что написано на сайте — оказалось, что список мне дали не полный).

Сегодня опять стою в очереди с самого утра.

Этот институт выпускает типа программистов. По заведению ходят люди в грязных пиджаках с красными рожами, от них попахивает спиртом. Видимо, готовятся к учебному году.

Есть все шансы, что я так и не поступлю — потому что банально осталось три дня, а очередь не уменьшается. В очереди, кстати, есть парень с похожей историей — его отчислили, поскольку он не смог отстоять очередь взять квитанцию до окончательного срока. Я уже из отведенного срока стою три дня из шести с нулевым результатом вообще.

Осложняется всё тем, что ребята со студенческими проходят в институт рано утром, а я только когда начинает работу деканат и по звонку выписывает мне пропуск. В итоге уже с самого утра я оказываюсь априори последним в очереди.

Говно вообще кругом, как выясняется, а я-то, наивный, думал, что только в МИФИ.

Убивать, убивать, убивать.

Август 16th, 2013

Еще рекомендации по математике

Когда я писал свой план по математике, в комментариях читатель предложил свой альтернативный план. Давно хотел его разместить, поскольку материал у него получился очень хороший и адекватный, было обидно, что хороший текст пропадает где-то в комментариях, где его никто не видел, но всё руки не доходили.

Сейчас у меня неожиданно случился огромный завал на работе (вторую неделю вкалываю до поздней ночи), но желание писать в блог есть. И тут я вспомнил о списке читателя. Дальнейший текст не мой (я обрезал только самый первый параграф).

Jazz — 31.05.2013

Позволю себе добавить некоторые дополнительные комментарии и акценты. Тоже, в основном, для начинающих, но и не только для них. Возможно, с немного большей ориентацией на теоретиков, но и для прикладников это будет актуально.

Вряд ли кто-то из читателей этого блога будет учить математику совсем уж с нуля. В большинстве случаев, хотя бы рудиментарные знания из школы и института быть должны. Поэтому вместо повторения школьного курса, я бы советовал идти немного другим путем: сразу учиться по хорошим (но простым и понятным!) учебникам достаточно высокого уровня.

1) Начальный курс алгебры
В первую очередь, перед любыми другими разделами и учебниками, очень рекомендую изучить и прорешать от корки до корки учебник Гельфанда и Шеня “Алгебра” (этот и остальные учебники упоминаемые ниже можно найти в свободном доступе в интернете). Он покрывает собой практически всю школьную алгебру, но намного лучше всех стандартных школьных учебников. Последние я не смотрел уже очень давно, так что сравнивать с ними могу только предположительно, но в этом предположении я практически уверен. Он не только интереснее, полнее, более стимулирующий и т.д., но и подает материал в правильном и удобном виде для последующего изучения анализа и алгебры. При этом в нем вводятся многие понятия, равенства и неравенства, которые будут часто использоваться в дальнейшем в алгебре и анализе: сложение в других системах счисления (+ умножение и деление), треугольник Паскаля, многочлены (+ деление в столбик, теорема Безу и т.д.), арифметические и геометрические прогрессии (+ формула для чисел Фибоначчи), квадратные уравнения и графики (+ теорема Виета для квадратного и кубического уравнения), неравенства о средних (арифметическое, геометрическое, гармоническое, квадратическое).

Полезно и то, что в нем не только сочетаются теория и задачи, но и почти все задачи очень простые, что многим будет помогать для роста уверенности в своих возможностях. И задачи часто не просто вычислительные, а идеологические, что тоже очень важно.

2) Начальный курс анализа
Школьный курс анализа бесполезен чуть менее, чем полностью. Я редко употребляю подобные выражения, но в данном случае иначе просто не скажешь :) К сожалению, это же верно и по отношению к большинству вузовских курсов. Роман уже писал раньше о вредительстве учебников Ильина-Позняка, что я поддерживаю двумя руками. Большинство остальных учебников анализа (как и всего остального) “рекомендуемых Министерством образования” ушли от него недалеко.

При этом я не согласен с популярным мнением о бесполезности Фихтенгольца. По-моему, первый том Фихтенгольца это вообще лучший начальный курс анализа, и именно с него надо начинать изучение/повторение анализа. Рекомендую издание 2003 года, которое есть в сети в очень хорошем качестве.

Также несогласен и с мнением о ненужности эпсилон-дельта формализма. Как начальный метод для понимания пределов и непрерывности он вполне приемлим и полезен. Собственно, и в первом томе Зорича многие определения и теоремы формулируются или дублируются на этом формализме. ОДНАКО важно относиться к этому формализму правильно:
— Учить его по правильным учебникам, например по Фихтенгольцу. В нем, в отличие от многих других стандартных курсов анализа, как раз отсутствуют бессмысленные технические удлинения доказательств за счет точного вычисления эпсилона в каждом случае. При этом сохраняется полная строгость всех доказательств, просто они часто короче и понятнее, чем в учебниках подобных Ильину-Позняку. В отличие от многих других курсов, где простое делается сложным, у Фихтенгольца (как потом и у Зорича) сложное делается простым.
— Понимать, что этот формализм не самоцель, а всего-лишь ступенька к более продвинутому формализму метрических и топологических пространств. Т.е. параллельно представлять в голове интерпретацию всех эпсилон-дельта выражений как окрестностей точек соответствующих пространств.
— Не тратить время на решение десятков задач “на вычисление эпсилон”.
— Очень полезно, даже на самом начальном этапе, потратить день (больше не надо) на чтение первых двух глав из второго тома Зорича: “Непрерывные отображения (общая теория)” и “Дифференциальное исчисления с более общей точки зрения”. Цель при этом не разобрать все доказательства, а хотя бы примерно понять основные структуры и увидеть картину того, к чему в будущем придет эпсилон-дельта формализм в отношении непрерывных функций и дифференциального исчисления.

Важно понимать, однако, что Фихтенгольц полезен только на самом начальном этапе для одномерного анализа, т.е. только примерно 2/3 первого тома: вещественные числа, последовательности, функции одной переменной, пределы, непрерывность, производные, исследованией функций одной переменной. Там все будет очень просто и будет идти быстро. Также ряды во втором томе, но на них много времени тратить не надо. Когда дойдете до функций нескольких переменных и интегралов, надо будет уже переходить на Зорича (при желании заглядывая в Фихтенгольца, но уже не используя последний как базовый начальный учебник). Фихтенгольц останется в памяти как наглядный детский конструктор, но пора будет вырастать и переходить на более серьезные игрушки. Первый том Зорича, как и Фихтенгольц, тоже будет очень легким. Тем более, что после Фихтенгольца вы уже будете знать идеи и доказательства практически всех теорем одномерного анализа, просто будете смотреть на некоторые из них с более общей точки зрения (предел по базе и т.д.).

3) Вещественные числа
Отдельным пунктом выделю построение множества вещественных чисел и арифметических операций на нем. Собственно, именно с этого и нужно начинать изучение/повторение анализа. Лучший и наиболее простой способ для его первого изучения, по-моему мнению, это сечения Дедекинда. Излагаются, например, у Рудина и Фихтенгольца, причем у Фихтенгольца это сделано, как минимум, не хуже.

Представление о сложности этих сечений и о сложности/громоздкости последующего вывода из них арифметических операций вещественных чисел — это еще одно популярное заблуждение. Да, возможно при первом чтении это потребует нескольких дней напряженных размышлений, но после этого вы поймете насколько все красиво и очевидно. Вообще, я бы сказал, что первая глава Фихтенгольца (о вещественных числах) является тестом на то, насколько вам математика интересна не просто как прикладное оружие для решения задач и приложений в других областях, но как самостоятельная красивая и глубокая система структур и отношений между ними. Конечно, это будет только первый взгляд мельком на подобные структуры, но даже в замочную скважину можно будет многое увидеть.

В этом отношении я не согласен с Романом, что достаточно интуитивного понимания, например арифметических операций, а строгие формальные выкладки не нужны. Не нравится мне и используемое в некоторых учебниках, например у Зорича, аксиоматическое построение множества вещественных чисел. Дело в том, что построение вещественных чисел заканчивается важнейшим в идеологическом смысле понятием полноты/непрерывности множества вещественных чисел в виде существования точных верхних и нижних граней у любого ограниченного множества (есть и несколько других эквивалентных формулировок, см. их ниже). Это наиболее важное (the single most important) понятие начального курса анализа, из которого потом выводятся ВСЕ последующие теоремы о пределах, непрерывных функциях, дифференцировании и т.д. А если не чувствуешь внутренней уверенности в фундаменте и в том, как именно этот фундамент построен, то потом и все здание тебе не будет казаться прочным и понятным. Поэтому важно не просто вводить полноту R в виде аксиомы (как, например, у Зорича), а выводить его из структур на множестве рациональных чисел, которые позволяют ввести сечения, из которых потом выводится полнота множества вещественных чисел в виде элементарной теоремы.

Кстати, заодно с Фихтенгольцем на этом этапе рекомендую и небольшую книгу Хинчина “Восемь лекций по математическому анализу”. Она полезна как источник интересных и стимулирующих рассуждений.

После того, как построение на основе сечений будет разобрано во всех деталях и станет “вашим”, стоит прочитать как это делается и на основе бесконечных десятичных дробей (по любому вузовскому курсу анализа где это излагается, например Теляковский). После сечений это займет уже не больше пары часов, и будет полезно с точки зрения еще одного взгляда на то, как можно строить множество вещественных чисел. В будущем, при изучении общего понятия пополнения метрических пространств, можно будет увидеть как это делается и на основе фундаментальных последовательностей. Последний способ наиболее общий и применим уже к любым метрическим пространствам, включая те, в которых отсутствует линейное упорядочение (сечения можно построить только на основе структуры упорядочения рациональных чисел, но уже нельзя в пространства без такой структуры).

4) Теория чисел
Уже функции многих переменных в первом томе Зорича, и особенно его второй том, будут требовать знания линейной алгебры. Но перед тем, как двигаться в сторону алгебры, я бы рекомендовал начальный курс по теории чисел. Элементы этого курса входят и в школьную алгебру, и в любые курсы алгебры, но, обычно, в очень усеченном и конспективном виде.

И это очень зря. Теория чисел, как минимум элементарная, очень полезна с точки зрения поставления простых и содержательных примеров и иллюстраций ко многим объектам алгебры. Кольца, поля, делимость, фактор-группы, теорема Лагранжа и другие алгебраические понятия можно гораздо лучше понять, если перед глазами будут примеры реализации этих структур на простейшем множестве целых чисел. Причем изученные не мимоходом в школе или курсе алгебры, а спокойно и обстоятельно, и еще до курса алгебры.

В каком-то смысле, теория чисел и пространство в котором она живет (целые числа) предоставляет собой “экспериментальную площадку” для многих абстрактных алгебраических утверждений. При расширении кольца целых чисел до рациональных, вещественных и комплексных, а потом при введении понятий топологии, метрики и функции — эта экспериментальная площадка расширяется для нужд анализа, геометрии, топологии и т.д.

По моему мнению, лучший учебник для начального знакомства с теорией чисел это “Теория чисел” Нестеренко. У него есть недостатки, но, по-сравнению с остальными, у него наиболее последовательное и простое изложение всех основных разделов элементарной теории. Только мне там не очень нравилось доказательство мультипликативности функции Эйлера, более естественное доказательство см. например в “Теории чисел” Михеловича.

Не все разделы у Нестеренко необходимы при первом изучении. Достаточно, например, сначала изучить делимость чисел (включая НОД и НОК, алгоритм Евклида и диофантовы уравнения), основную теорему арифметики о разложении на простые числа, дзета-функцию Римана, кольцо классов вычетов (включая полную и приведенную систему вычетов), функцию Эйлера, теорему Эйлера (из которой, кстати, и следует, что рациональные числа представляются бесконечными периодическими дробями), китайскую теорему об остатках. В общем, по ходу чтения будет понятно, что именно нужно для последующего изучения абстрактной алгебры.

Кстати, лемма Евклида (и даже более общее утверждение, когда p не простое), и следующая из нее основная теорема арифметики, более прозрачно и естественно доказывается не из алгоритма Евклида, где это больше похоже на фокус, а из двух простых лемм о том, что A) произведение двух чисел равно произведению их наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, и B) любое общее кратное двух чисел делится на их наименьшее общее кратное.

5) Алгебра
В дополнение к “Теореме Абеля в задачах и решениях” Алексеева есть очень приятная книга Аршинова и Садовского “Грани алгебры”.

В остальном буду неоригинален: Винберг “Курс алгебры” и Кострикин “Введение в алгебру”. Городенцев “Алгебра-1” это тоже отличный курс, но не для начального изучения.

Также буду неоригинален и в том, что геометрию лучше учить не на школьном уровне, а одновременно с алгеброй. Собственно говоря, как стало ясно еще в конце 19-го века в “Эрлангенской программе” Клейна, классическая “аналитическая” геометрия (включая евклидовую, проективную, афинную и т.д.) это просто часть линейной алгебры. При этом, конечно, и линейную алгебру нужно учить сразу на геометрическом бескоординатном языке.

6) Дальнейшее изучение анализа
После линейной алгебры можно будет приступать и ко второму тому Зорича. Одновременно с ним я бы рекомендовал и курс функционального анализа, например “Элементы теории функций и функционального анализа” Колмогорова и Фомина. Собственно, это курсы почти об одном и том же, просто с разными акцентами. Колмогоров-Фомин в некоторых отношениях даже лучше, поскольку там метрические и топологические пространства рассматриваются более подробно. Заодно, Колмогорова-Фомина можно использовать и как начальный курс теории множеств.

Параллельно с ними рекомендую и “Лекции по математическому анализу” Львовского. Вообще, хороших учебников по анализу много. Изучение сразу по нескольким учебникам очень полезно, если это делается эффективно. Как именно это делать, каждый может определяться согласно своим предпочтениям и нарабатываемому опыту. Я бы рекомендовал, например, так:
— Ориентироваться на 1-2 курса как на основные по данному разделу. По ним подробно разбирать все понятия, доказательства, примеры и т.д.
— При этом я полностью согласен с Романом, что все теоремы надо сначала пробовать доказать самому (если вообще не появляется идей, то посмотреть начало доказательство и пробовать дальше продолжать самому… если потом снова где-то застрял, то посмотреть продолжение и снова продолжать самому… и т.д.).
— После них, или параллельно с ними, читать другие учебники как вспомогательные. Они будут идти уже намного быстрее, почти как беллетристика. Цель в том, чтобы подсмотреть где-то интересные новые понятия, дополнительные мотивировки, оригинальные идеи, альтернативные доказательства, немного другие акценты и т.д.

У разных учебников есть также и следующий часто встречаемый эффект. Если какой-то автор в своем учебнике доказывал какую-то теорему одним способом, то авторы более поздних учебников часто пытаются придумать другие способы доказательства (что естественно с человеческой точки зрения). Когда это сильные авторы – это здорово, узнаешь новые интересные способы доказательств. Но бывают и такие авторы, которые хороших новых доказательств придумать не смогли, старые хорошие доказательства использовать не хотят (что зря), и начинают накручивать что-то маловнятное. Поэтому старые хорошие учебники иногда лучше новых.

Также полезно параллельно проходить разные разделы, например анализ (включая топологию) и алгебру (включая линейную алгебру и геометрию):
— Слишком надолго переключаясь на новый раздел, можно забывать предыдущие. Особенно при начальном изучении, когда знания еще не полностью улеглись в твою картину мира и не так плотно соединены со всем остальным у тебя в мозгу.
— Между различным разделами очень много связей. Совместное изучение подпитывает каждый за счет взаимных мотиваций, примеров, аналогий, взаимных применений и т.д.
— У разных разделов много общего с точки зрения теории категорий, об этом кратко см. ниже.

7) Доказательства
Выше я уже отметал, что в разных учебниках встречаются разные доказательства одних и тех же теорем. Это ОЧЕНЬ полезно. Еще Фейнман говорил, что умение посмотреть на что-то с разных точек зрения значительно улучшает понимание. Собственно говоря, “понимание” чего-то это и есть возможность посмотреть на данное понятие или теорему разными способами. Например, даже у простейших теорем анализа (непрерывность последовательностей и функций) есть по 3-4 равноценных доказательства. Это неудивительно, ведь само понятие полноты множества вещественных чисел (из которой все эти теоремы и выводятся) можно выразить несколькими равноценными способами:
— Существование чисел, производящих сечения в множестве вещественных чисел (теорема Дедекинда).
— Существование точных граней у ограниченных множеств.
— Существование общей точки у стягивающейся системы отрезков.
— Существование предельных точек у бесконечных множеств (или, что то же самое, возможность выделить сходящиеся подпоследовательности из бесконечных последовательностей).
— Сходимость фундаментальных последовательностей.

И польза не только в том, что смотришь на одни и те же вещи по-разному и больше “привыкаешь” к ним. Очень важно и то, что глубже понимаешь исходную природу тех или иных математических понятий и структур. Основная цель доказательств теорем же не в том, чтобы проверить их справедливость, а в том, чтобы понять как именно они связаны с теми понятиями и структурами, на которых они основаны. А значит лучше понять как сами фундаментальные структуры, так и то, что на их основе можно построить. Поэтому, например, доказательста по индукции — не всегда хороши (хотя могут быть и хороши, когда они раскрывают естественные причины справедливости теоремы), а доказательства через различные случайные трюки — почти всегда плохи.

Кстати, при начальном изучении любого раздела теоремы доказывать очень просто, т.к. сразу понятно, исходя из чего их можно доказать. Количество структур ведь сначала очень небольшое, так что не приходится гадать, какие из них нужно использовать. Причем это относится не только к одномерному анализу на R, но и к почти любой другой теории в ее начале (метрические пространства, топологические, теория групп, линейная алгебра и т.д.). По мере продвижения вперед — постепенно становится сложнее, так как количество структур и фактов увеличивается, а значит увеличивается и количество комбинаций тех утверждений, которые может быть необходимо использовать при доказательствах. Но с другой стороны, при таком продвижении вперед становится и легче, так как ты все лучше понимаешь эти структуры и связи между ними. Об этом немного в следующем пункте.

8) Поднятие по лестнице абстракций, теория категорий и иже с ними
Это исключительно интересная и богатая тема, о которой можно писать очень много. Процесс поднятия по лестнице абстракций – это, на самом деле, основное, что приходится делать при изучении математики. Не пытаясь раскрыть это сколь-нибудь полно, некоторые вещи все же не могу не упомянуть.

Очень важно понимать, что когда ты изучаешь математику, ты не просто узнаешь новые понятия, теоремы и связи между ними, а все время поднимаешься на следующие уровни абстракций. Грубо говоря:
— Сначала идут отдельные изолированные объекты (например, натуральные числа).
— Потом множества из этих объектов и операций/структур на множествах (сложение, умножение, упорядочение…).
— После этого сами множества (!) уже можно представлять как отдельные объекты и выполнять операции над ними (например, классы вычетов на Z).
— Затем вообще отвлекаешься от природы исходных элементов или множеств, и строишь абстрактные алгебраические структуры (группы, кольца, модули…)
— Затем применяешь аналогичную идеология во всех остальных разделах математики (алгебра – алгебраические структуры, анализ – метрические и топологические пространства и т.д.)
— И, наконец, поднимаешься еще на одну ступеньку и рассматриваешь уже операции над “множествами множеств” (строго говоря – над “классами множеств”), что приводит к понятию “категорий” и “функторов” и объединяет все области математики.

При таком движении важно каждый раз приходить к тому, чтобы уже изученное становилось для тебя простым, коротким и почти очевидным. Тогда можно будет твердо стоять на очередной ступеньке абстракций и быть готовы двигаться выше. Но надо и соблюдать разумный баланс изучения и потраченного времени, не пытаться достичь идеального понимания на данной ступеньке. Почти всегда бывает так, что поднявшись на одну ступеньку выше, ты намного лучше понимаешь и то, что было ниже. Во-первых, сверху все лучше видно, а во-вторых, прежние понятия становятся частным случаям новых понятий, а значит более простыми хотя бы из-за этого. Наконец, при этом у тебя в мозгу возникает больше структур и связей, что, как отмечалось выше, во многом и есть “понимание”.

По поводу множеств и структур на них, рекомендую короткую и простую статью Бурбаки “Архитектура математики”. Стоит, однако, понимать, что она излагает математическую идеологию “докатегорных” времен. В последние несколько десятков лет акцент сместился с описания множеств “самих по себе” (со структурами _внутри_ множеств), на их описание на основе отображений _между_ множествами. Последнее, грубо говоря, и есть суть теории категорий.

Вообще, у теории категорий есть имидж чего-то сложного и абстрактного, но это еще одно заблуждение. Конечно, когда эта теория развивается и углубляется, то доходит до весьма сложных вещей, но ее начальные понятия очень естественны и прозрачны, а сама идеология категорий очень помогает двигаться по упомянутой выше лестнице абстракций, лучше понимания связи между разными разделами математики. Уверен, что лет через 50 теорию категорий будут учить в школе (не только матшкольники) и удивляться, почему она раньше казалась сложной.

Но, как и с начальными курсами анализа, важно начинать с правильных учебников. А это такие учебники, в которых теория излагается не начиная с определений и теорем, но начиная (и продолжая) с мотиваций и примеров. Без излишней сухости и снобизма, без стремления сразу все усложнять и излагать на максимально общем языке, с нежным отношением к читателю. Блестящим введением в теорию категорий является Голдблатт “Топосы. Категорный анализ логики” (хотя по названию этого и не скажешь). Кстати, в этой книге очень неплохо кратко излагаются и некоторые тонкие вопросы теории множеств, например различие между множествами и классами. Также, как это часто бывает, отличное изложение начал теории категорий можно найти в оригинальной статье создателей этой теории Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane “General Theory of Natural Equivalences”, 1945 год. Приятно читать изложения, в которых авторы сначала объясняют, как и почему возникают те или иные понятия, а потом уже начинают вводить определения и формулировать теоремы. А когда это сами авторы теории, то это еще интереснее и полезнее.

9) Решение задач
Почему-то в этом вопросе часто много крайностей: или решать сотни однотипных задач из Демидовича, или вообще почти ничего не решать. Лучше всего некий компромисс, причем когда задачи это не вещь в себе, а просто один из этапов общего обучения:
— В первую очередь, стараешься максимально глубоко понять теорию — до того уровня, когда все становится очевидным (ну или почти очевидным). Пытаешься доказать теоремы всеми возможными способами, рисуешь для себя схемы взаимных связей различных структур и т.д.
— Много думаешь и повторяешь про себя: восстанавливаешь доказательства, пытаешься придумать новые, обдумываешь понятия и связи между ними… Это, кстати, лучшее, чем можно заниматься в поездках в машине или транспорте.
— Решаешь “идеологические” задачи для повторения и закрепления теории, а также дополнительного рассмотрения некоторых тонких вопросов.
— Добавляешь к этому умеренное число “вычислительных” задач для лучшего понимания отдельных алгоритмов, особых случаев и т.д. Они также важны, чтобы не забывать о практических применениях и приложениях новых понятий и теорем. Если доходишь до уровня, когда алгоритмы решения вычислительных задач очевидны при вгляде на них, и вспоминаешь, что нечто подобное уже решал, на этом можно остановиться.

И самое главное. Очень важно иметь интерес к математике, но не менее важны трудолюбие и регулярность. Одно подпитывает другое и невозможно без другого. Action without vision is nonsense. A vision without action is a dream.

Июнь 18th, 2013

Попался в анналы МИФИ

Добрые люди написали обо мне аж в Энциклопедии МИФИ:

Блоггер Хэллер, он же Роман Добровенский [1]. По его словам, изначально поступил на факультет Ф, однако не сдал первую же сессию и вообще забил. В 2003 году поступил заново на факультет К — та же история. Затем, т. н. группа «Шанс» (К1-369, особая группа для несдавших сессию, своего рода группа второгодников в МИФИ, существовала в середине 2000-х), и снова отчисление. В 2013 году восстановился на вечерний факультет, откуда также перевелся на заочное отделение МАДИ [2]. После всего этого совершенно не удивительно читать в его блоге нелестные отзывы о МИФИ.

Пассаж находится в «Кунсткамере вечных студентов» — я там пока единственный представитель. Предвзятость очевидна, конечно: и коверканье «Хэллер», и выводы типа «история повторилась» (о чем я сам писал совершенно в других терминах — история со вторым отчислением была уже совсем другой, а уход в третий раз был совершен по моей сознательной политической инициативе в качестве протеста, хотя я доучился до конца и учился хорошо).

На самом деле, кстати, мой учебный путь был несколько длиннее (это всё описано в блоге), и выглядит он так: МИФИ (Ф), МИФИ (К), МИФИ (Шанс), МЭЛИ (ныне МГТА), НМУ, МИФИ (вечерний), МАДИ (заочный). То есть на самом деле я учусь уже в общей сложности более десяти лет и седьмой раз подряд. Интересно, есть ли соответствующая номинация в книге рекордов Гиннесса, и не пора ли мне туда?

Я думаю немаловажно заметить, что из всех перечисленных ВУЗов я отношусь плохо исключительно к МИФИ. В МЭЛИ я понял, что я не гуманитарий и не смогу учиться на гуманитарном, но кроме одной идиотки-фсбшницы (вела статистику и еще что-то, уже не помню) я не могу вспомнить там никакого негатива. Преподаватель по английскому так вообще была замечательная женщина и учили языку там, я считаю, очень хорошо, по крайней мере в нашей группе. Но были там и другие хорошие курсы.

В НМУ было крайне сложно учиться дальше первого курса сочетая с работой — там действительно высокая нагрузка, которую совмещать с восьмичасовым рабочим днём невозможно. В свой год я был единственным, кто в принципе работал; было два исключения в виде ребят, которые подрабатывали по нескольку часов в неделю, причем оба они тоже прекратили учиться, других же историй сочетания учебы в НМУ с работой вроде как не было вообще — по крайней мере я о таком не слышал.

Сегодня у меня нагрузка возросла по разным проектам, и я бы не смог отучиться в НМУ даже первый семестр, хотя материал этот весь уже давно мной пройден и сдачи должны были бы идти проще. К сожалению, проще оказалось учиться самостоятельно, хоть это путь и более долгий, и менее качественный. Но тем не менее хоть я и вынужден был уйти из НМУ, никаких эмоций кроме как благодарности, уважения и симпатии к этому университету у меня быть не может, учителя и студенты, с которыми я там столкнулся оказали на меня сильнейшее влияние и я каждому из них за это очень признателен.

Так вот из всех мест, где я был и где я не доучился, только МИФИ я считал и продолжаю считать полным дерьмом. Чтобы понять, что это за заведение, в принципе достаточно почитать форум и обсуждения: уровень вопросов по математике, которые задают студенты, какие-то политические меры, которые предлагают учителя по улучшению образования (никто не видит своей вины и вины деканатов — исключительно недовольство в духе «студенты все слабые, отчислять массово не дают») не плохо показывают уровень.

То есть казалось бы любому здравомыслящему человеку должно быть очевидно, что сложность учебы и качество образования слабо связаны друг с другом. Например, я долгое время что в школе, что потом в МИФИ, искренне старался учить английский язык — зубрил слова, переводил дурацкие тексты. Было сложно, но результативность была нулевая. Потом я пошел на курсы и довольно быстро стал свободно читать и изъяснятся, сдал международные экзамены. Не напрягаясь вообще в процессе обучения нисколько.

В МИФИ же почему-то сложность возводится в культ и её привносят в учебный процесс всеми возможными способами — причем главным образом административными.

Я уже писал, но повторюсь: когда я поступал в МИФИ во второй раз, на нашей кафедре (не помню номер) было две группы, в каждой 30-40 человек. К моменту, когда я отчислялся из Шанса, эти две группы слили в одну и в сумме там осталось менее 20-ти человек. То есть с моей кафедры (еще не Шанса, а обычной) отчислено было более чем две трети студентов.

Конечно, бывают случаи, когда ученик откровенно плох и никак с ним нельзя сладить. Я даже в НМУ одного такого видел — он открыто хамил лектору, не владея особо математикой, и понятно, что с таким студентом сложно что-то сделать. Но он такой был один, хотя и ему никаких препятствий в учебе и сдаче экзаменов никто не ставил. В МИФИ же такими оказывались 70% учеников по мнению деканата — статистика просто невероятная, особенно учитывая, что все эти студенты прошли вступительные испытания, устроенные самим институтом (я поступал когда еще не было никаких ЕГЭ).

И не смотря на эту статистику, никому из преподавателей даже в голову не может придти очевидная мысль, что раз так много учеников не учатся, то дело, возможно, не в учениках, а в самих преподавателях и ВУЗе. Они теперь тыкают на меня пальцем в духе «не потянул», «забил», но за середину и начало двухтысячных таких как я отчислили тысячи, мой голос просто оказался наиболее заметен из-за блога и я один из немногих, который после всего не утратил научного энтузиазма. Причем большая часть была отчислена не потому что эти люди плохо учились в принципе, а потому что они не смогли сдать какой-то один предмет либо были невзлюблены каким-то одним преподавателем. В двухтысячных в МИФИ была создана уничтожительная бюрократическая система, когда любой преподаватель мог единолично отчислить студента: наличие хвостов не допускалось в принципе, получение допуска на пересдачу было сложной и времязатратной задачей, а по кафедральным предметам понятие сдачи экзамена комиссии, а не своему лектору или семинаристу реализовывалось только на бумаге.

(Замечу в скобках, что в итоге мне прислали ссылку на ту девицу, из-за которой меня отчислили во второй раз — Иванова Наталья Андреевна входит в десятку худших преподавателей всего МИФИ по голосованию на Мефисте.ру, там же мельком проскальзывают упоминания, что я такой не единственный — отчисленные из-за неё ребята так же пишут на сайте гадости о ней, хотя почему-то преподавательский состав к этой идиотке лоялен и они лишь огрызаются на студентов в духе «тебя же отчислили из-за неё, понятно почему ты её не любишь»).

Сейчас, насколько я знаю, из МИФИ массово отчислять уже перестали. Даже когда я пришел забирать документы, отучившись в этот раз всего полторы недели, меня стали спрашивать не интересны ли мне варианты каких-то пересдач вне сессии. Было это сказано без любезности и без соучастия, а скорее даже грубо — вероятно у них есть какие-то установки и планы свыше, которые они обязаны выполнять. Не знаю что уж там произошло, но ситуация с отчислениями развернулась на 180 градусов. Однако если это и делает институт лучше, то лишь в самой минимальной степени, поскольку спустя пять лет я увидел там в целом ту же картину: преподавательский состав на 50% состоит из мошенников, алкашей, сумасшедших, дураков, а теперь еще и фсб-шников. Это только половина преподавателей, остальные может быть вполне приемлемы, но это все равно уже слишком много, чтобы было возможно там нормально учиться. Учебные планы на технических специальностях более чем на половину состоят из ненужных гуманитарных дисциплин. Из нововведений добавился храм и православный крест, «святейший патриарх» Гундяев стал почетным доктором, в качестве протеста институт покидают ученые, кое-кто из тех, с кем я учился и кто остался работать в МИФИ, говорят в личных беседах о массовом распиле бабла и царящей там бюрократии в самых худших формах.

Многие преподаватели сейчас открыто ругают на форуме ректора института, который заигрался в политику, но я не думаю, что это действительно проблема именно этого ректора: например, при прошлом ректоре студентов кнутом и пряником сгоняли на правительственные митинги, только тогда это не придавалось широкой огласке. Здесь можно напомнить эпизод, когда профком  обещал студентам деньги и поблажки на сессии за участие в митингах «против террора» после захвата заложников в Беслане. Насколько обещания профком сдержал не знаю — я в этом принципиально не участвовал, хотя и поблажки и деньги мне тогда не помешали бы. Идея создания на территории МИФИ храма муссировалась еще в начале двухтысячных, но тогда силами студентов и преподавателей удалось строительство прекратить.

Меня сейчас часто спрашивают куда поступать абитуриентам, и краткий ответ будет таким: только не в МИФИ. На этот вопрос можно ответить и более развернуто (может быть сделаю об этом заметку), но общая рекомендация не гнаться за рейтинговостью и престижностью института и не верить его студентам и преподавателям — никто из тех, кто находится внутри института, не будет его объективно критиковать, особенно в условиях тоталитаризма. Рейтинги же в России вообще не понятно как составляются (если посмотреть на публикации в arxiv.org или рейтинги международные, то МИФИ в рейтинги вообще ни в какие не войдет). Поэтому учиться надо там, где это будет сделать проще всего: чтобы стать специалистом всё равно придется заниматься самообразованием главным образом, а престижный ВУЗ типа МИФИ, Бауманки или МГУ этому способен лишь помешать (исключения составляют лишь МатФак ВШЭ, НМУ и, по отзывам, возможно, МФТИ, хотя про последний я ничего не знаю).

В завершение небольшой штрих, не могу удержаться. Мне стало интересно есть ли в «Энциклопедии МИФИ» какие-то еще материалы про каких-то студентов, или же я первый. Нашелся раздел «Выпускники МИФИ», в котором нашлось много интересного. Люди, которыми МИФИ, видимо гордится:

Коньков Вячеслав Викторович он же Филарет, епископ Барышский и Инзенский — епископ РПЦ, выпускник факультета кибернетики МИФИ.

Бойко-Великий Василий Вадимович (31 августа 1959, Москва) — российский предприниматель и общественный деятель […] получивший известность своей экстравагантностью, в частности, принудительным внедрением на своих предприятиях православных канонов. Выпускник кафедры теоретической ядерной физики МИФИ. […] 15 февраля 2007 года Василий Вадимович Бойко был арестован по обвинению в мошенничестве в особо крупном размере и легализации имущества, приобретенного в результате совершения преступления.

Болоздыня Александр Иванович — директор центра ядерной медицины и заместитель научного руководителя межкафедральной лаборатории экспериментальной ядерной физики МИФИ, заместитель декана факультета теоретической и экспериментальной физики (с 2012 года). Выпускник факультета Т МИФИ 1975 года […] Александр Иванович — активный деятельно православной общины МИФИ, постоянный участник богослужений в храме МИФИ, крестных ходов, прочих подобных мероприятий. В октябре 2012 года получил широкую известность как апологет православия и защитник кафедры теологии в МИФИ. Так 25 октября 2012 года он выступил в прямом эфире программы «Утро России» с рассказом о том, что даст физикам обучение богословию на кафедре теологии МИФИ[3]. В ходе пятиминутной беседы им было сделано несколько весьма сомнительных, а то и просто неверных утверждений, в частности, им было сказано, что «основоположник современной физики Исаак Ньютон был монахом, поэтому говорить, что наука и религия — нечто противоположное, не совсем корректно» [4].

Максим Валерьевич Первозванский (на фото ниже он в МИФИ- прим.) (16 декабря 1966, Москва) — протоиерей Русской православной церкви, клирик Храма о имя свв. мчч. Сорока Севастийских у Новоспасского моста[1], главный редактор православного молодёжного журнала «Наследник», выпускник МИФИ.

scum

В «Энциклопедии МИФИ» надо мной конечно решили посмеяться, но мне так кажется, что на общем фоне я смотрюсь очень даже выгодно.

Июнь 11th, 2013

Из МИФИ в МАДИ

Кстати, перевёлся таки из МИФИ в МАДИ.

В МИФИ я не учился. Во-первых, конечно, вечернее образование как вид практически невозможно. Работая восемь часов, за семестр можно освоить по опыту не более двух полноценных курсов, да и то с оговорками (мозг в таком режиме работать не может пол-года, где-то обязательно возникнут пробелы в изученном, да и то при условии, что вы не читаете ничего не работе). МИФИ мне предложило освоить что-то вроде восьми плановых курсов и три дополнительных досдать за расхождения в учебном графике, которые сам же институт придумал в течение пяти лет, что я там не появлялся.

То есть понятно, что при таком количестве курсов возможно лишь два варианта: либо сами курсы являются профанацией, где объем содержательного материала за семестр укладывается в одну лекцию, либо же профанацией является его освоение и сдача студентами.

Я посмотрел, что за курсы предлагаются в МИФИ, понял, что они мне не нужны, и продолжил читать науку. Собственно какие-то курсы (скорее преподаватели) были не плохи — понравился лектор по микроэлектронике, по теории вероятностей и вроде нормальный чувак был по дополнительным главам физики. Преподавательница по электронному документообороту была молодая  и красивая — я бы с ней потрахался бы с удовольствием, она тоже была вполне вроде адекватна, но не могу судить, так как сосредоточиться было сложно — пока она говорила о цифровой подписи, я больше думал о том, как хорошо бы мы могли подружиться, а когда что-то было про RSA, я уже в своих мыслях кончал ей на грудь.

Из того, что я все же послушал, примитивно было конечно всё, то есть квантовая механика излагалась без тензоров и без комплексных чисел, но это можно понять — это вечерний факультет (я квантовой механики не знаю, но в какой-то степени владею математическим аппаратом и могу понять уровень лекции). Аналогично всё было примитивно и по теории вероятностей. Микроэлектронику я не знаю, поэтому оценить не могу, но скорее всего уровень такой же.

Был один преподаватель полнейший идиот-ФСБшник, читал математическое моделирование. Человек, не знающий вообще ничего, абсолютный ноль, безмозглый болванчик, слова которого формируются не в мозге, а в гортани, как у Оруэлла: такие вот только «кря-кря-кря, партия власти, эффективный менеджмент, кря-кря-кря, ФСБ, кря-кря-кря, математическое моделирование, молодежь-россия-молодая-молодежь-фсб, кря-кря-кря, применения в народном хозяйстве, кря-кря-кря, синглтон очень важен, центральное понятие, кря-кря-кря». То есть вообще человек без мозга, совершенно занятный экземпляр, я таких раньше не видел даже, очень удивительный.

Был еще алкаш по социологии. Пришел на лекцию, и спрашивает у класса:

— Слышали новости-то какие сегодня прошли, не?

— Какие?

— Папу Римского избрали нового. Он теперь всех этих запретит… ну этих… вы же понимаете о ком я…

— О пидорасах что ли? — спрашивает какой-то сообразительный студент из аудитории.

— Да, о пидорасах. Так вот он этих самых пидорасов теперь запретит!

И всё в таком духе. Раз пять за лекцию поднималась эта тема. Рекомендовал он и литературу. Говорил, чтобы Канта мы не читали ни в коем случае, потому что он там сам ничего не понял, а нам и не надо ничего понять. Маркса читать нам можно, хотя сложно, но только главное чтобы мы не читали Канта. Потом стал чертить таблицу на доске про четыре определения понятия «социум» и чуть не разбил голову, падая на пол.

Лекцию по социологии посетил я только одну, больше не был там. Получил удовольствие как в цирке с клоунами — от хохота аж живот свело. Это конечно всё не смешно совсем, если подумать, но сдержаться было сложно. Но вообще конечно такие лекции — неуважение к студентам, если воспринимать лекцию в первоначальном смысле этого слова, а не как клоунаду. За такие лекции должно следовать немедленное увольнение, если бы по-хорошему.

По теории вероятностей я вначале хотел получить перезачет, но махнул на это дело рукой — через неделю было уже понятно, что учиться я всё равно не буду. С преподавателем по теории вероятностей поговорили мы тем не менее очень хорошо — вменяемый дядька, хотя ни о какой математике мы так и не побеседовали (самый сложный вопрос был про линейность матожидания, после чего он сказал, что видит, что теорию вероятностей я знаю — думаю, что он впрочем не дурак, просто привык ориентироваться на вечерников).

Дальше однако произошло интересное. Услышав про мой интерес к искусственному интеллекту, он мне посоветовал походить на лекции Рыбиной — охарактеризовал он её как научное светило и главного специалиста в этой области, а так же сказал, что там у меня будет возможность засветиться в науке и поработать в первоклассной команде. По наивности я к этому поначалу даже без особого скептицизма отнесся — если на нормальной кафедре (именно к 22-ой кафедре я относился очень не плохо, помня вполне адекватную Мишулину и составляемые ей хорошие курсы — редкий случай для МИФИ) считается научной светилой специалист по искусственному интеллекту, да и там меня возможно могли ещё помнить (выделялся я очень сильно в свое время), то у меня была наивная идея, что возможно я действительно смогу как-то засветиться, и это облегчило бы мне получение диплома.

Увы, я оказался наивен. Можно было бы и не ходить на лекцию к Рыбиной, а просто погуглить информацию на неё. Рыбина оказалась, во-первых, академиком РАЕН. Если кто не в теме, то это шаражкина контора, торгующая статусами академиков, состоящая сплошь из кадыровых, гробовых и прочих православных специалистов по торсионным полям. Так же она оказалось автором более 150 научных разработок, на которые нет ни одной ссылки и которые все засекречены. Опять же если кто не в теме, то поясню, что в СССР и последующей России любой жидкий пердок обкладывается грифом секретности «пред прочтением съесть», и в итоге нет вообще никакой возможности оценить того или иного ученого, чем и пользуются шарлатаны всех мастей. Можно написать любой бред, засекретить его, а потом всюду тыкать «да я автор более 150 научных разработок» и покупать статус академика.

Впрочем, это конечно не критерии. В конце концов академиком РАЕН был даже гениальный Владимир Арнольд, правда давно, когда еще было не понятно во что эта академия превратится. Стало понятно достоверно кто она такая, во-первых, после того, как я просмотрел её книгу про искусственный интеллект, а во-вторых когда я понимал отзывы о ней студентов. Про книгу писать очень сложно — это просто огромный талмуд какой-то ахинеи, не имеющей отношения к науке об искусственном интеллекте даже самого косвенного. Студенты её открыто называют мошенницей и шарлатанкой, не только в курилке, но и в Интернете. Учитывая, что студент МИФИ в принципе почти всегда существо дегенеративное, тот факт, что даже её ученики понимают кто такая Рыбина — факт сам по себе говорящий. То что она является каким-то авторитетом на кафедре 22, стало для меня неожиданностью — я не думал, что те преподаватели, с кем я оттуда знаком, будут терпеть по соседству с собой откровенных уголовников, занимающихся фальсификацией научных знаний и присвоением незаслуженных научных степеней. Печально.

Ну и в общем-то всё. Потом я перевёлся в МАДИ на заочное.

Про МАДИ пока сказать ничего не могу, кроме впечатлений от деканата. Эти впечатления оказались очень положительными. Сидят работают нормальные люди, без хамства, приёмные часы — в любое рабочее время, никаких бюрократических проблем нет, все документы оформляют быстро. То есть я не строю особых иллюзий по поводу уровня образования, конечно, но отношение к студенту у них судя по всему очень хорошее, а это уже половина успеха. В сравнении с МИФИ, где к любому ученику относятся как к куску говна все, начиная уборщицей и заканчивая ректором, МАДИ выглядит более чем привлекательно, да и досдавать кучу бредовых дисциплин в рабочее время не нужно (переведясь в МАДИ я избавился от необходимости досдачи кучи гуманитарных дисциплин). Ну а там посмотрим что дальше будет.

Май 30th, 2013

План изучения математики

Я думал, что напишу короткий текст-набросок, но как обычно накатал гигантскую простыню. Здесь фактически объединено три темы: примерная программа по математике для среднего школьника (гуманитария или инженера, но не математика), методические рекомендации по тому как выбирать книги и темы для чтения, как относиться к задачам и доказательствам, а так же набор задач для самостоятельной проверки собственных знаний. Если вам интересны лишь отдельные эти темы, то вы можете проматывать до соответствующего параграфа, поскольку я отлично понимаю, что осилить весь текст целиком — сложно и большинству скучно. В то же время я убеждён, что именно отдельные фрагменты текста могут быть полезны многим читателям.

Мне постоянно, практически каждый день, присылают один и тот же вопрос: «Как изучить математику с самого начала?». Проблема обычно у всех одна и та же: в школе не учил, в институте не понял, наверстать не получается. Либо в институте даже нормально учился, был уверен, что его хорошо и правильно учат мудрые профессора в каком-нибудь МИФИ или Бауманке, решал интегралы и пределы, но как только после института столкнулся с реальной математикой в какой-то не совсем тривиальной задаче, понял наконец, что учили не тому и не так.

Я много писал о том, что у нас математике правильно почти нигде не учат, многие воодушевились, и решили математику таки изучать, попутно задавая мне вопросы. И тут выясняется, что как её учить не понятно: есть много хороших университетских учебников, но нет ничего хорошего по начальному курсу. Я эту проблему многократно обозначал, но не наметил никаких ориентиров как её преодолеть желающим. Начал писать свой учебник, но он получился слишком сложным и теоретическим (вплоть до того, что за сотню с лишним страниц я даже не успел ввести понятие натурального числа).

В этой заметке я постараюсь дать максимально подробное изложение того, как изучать математику с нуля так, чтобы потом можно было браться за университетские учебники, а заодно изложу в каких направлениях вообще стоит двигаться и в каких случаях.

Свой план изучения математики я разбиваю на подпункты, к каждому из которых прилагается три задачи, которые вы должны уметь решать. Это не совсем простые задачи, но если вы понимаете материал, то вы должны справиться. Это так же может быть хорошим тестом для обучающихся в технических ВУЗах — если вы успешно учитесь, но не можете решить хотя бы половины приведенных задач, значит вы однозначно учитесь не тому.

Источники

По школьному курсу я не знаю ни одной хорошей книги. Есть отдельные хорошие брошюры МЦНМО, ориентированные главным образом для 57-ой школы и подобных заведений, но они часто либо совсем узконаправленные, либо сложные для неподготовленного. Почитать их может быть интересно, они все составляются очень хорошими грамотными людьми, но надо понимать, что ориентированы они на тех, из кого есть шанс вырастить математика-теоретика, и у кого есть на это время. Если вы студент престижного инженерного ВУЗа и вынуждены каждый день решать интегралы, пределы, дифуры и урматы, либо вообще работаете по 8 часов в день, у вас скорее всего не будет времени в них углубляться. То есть путь чтения МЦНМО-шных книг хоть и правилен с методической точки зрения, но скорее всего не подойдёт большинству читателей.

Наверное самый быстрый и правильный путь наверстать школьную программу  — это иметь перед глазами ориентировочную адекватную программу того что надо учить и какие области необходимо затронуть. Придерживаясь такой программы, необходимо искать информацию по каждой отдельной теме в Интернете. Часто хорошим источником становится Википедия, но далеко не всегда. Тогда может помочь Гугл, какие-то учебники либо ресурсы типа math.stackexchange.com. Такую примерно программу я сейчас и предлагаю читателю. Ниже излагается краткий перечень того, что необходимо изучить, в каком порядке и в каком виде, а так же что из чего выводится. По замыслу это должно стать хорошим ориентиром для тех, кто хочет самостоятельно наверстать математику, которую он плохо понимает.

Обозначу сразу, что моя программа ориентирована на прикладников, а не на теоретиков. Это накладывает очень большой отпечаток на спектр тем, определения и рассматриваемые теоремы, включая их общность. Какие-то понятия могут профессиональным математикам показаться определенными не правильно, но я осознанно стараюсь в этой программе идти по пути наименьшего сопротивления. Так же я тут не составляю идеальной математической программы — то что я пишу ниже сильно отражает существующий школьный курс, который сам по себе можно раскритиковать. Я это делаю осознанно, чтобы учащемуся было легче ориентироваться и он мог быстрее усваивать материал. Из отклонений от школьной программы я допускаю лишь минимальные нововведения (то что совсем уж стыдно не знать) и выкидываю ненужное главным образом в виде геометрии.

Не смотря на прикладную ориентированность, впрочем, возможно что даже интересующемуся теорией окажется вначале полезно пойти по пути изучения именно этой программы, а потом переходить к более абстрактным темам.

1. Английский

Один из самых важных навыков, которым должен владеть человек, изучающий математику (да и почти что угодно) — это английский язык. Как только вы становитесь способны читать на английском, множество источников для изучения материала у вас расширяется многократно. При том, что есть много хороших книг на русском, на английском их несравнимо больше даже по школьной программе. Многие теоретические темы, даже самые базовые, на русском языке вообще никогда и никем не излагались, либо излагались крайне неудачно. В той же Википедии аналогичные статьи зачастую оказывается куда лучше на английском языке, нежели на русском. Бывают и обратные примеры, но редко. Даже многие очень адекватные российские ученые пишут свои учебные материалы сразу на английском, русский язык полностью игнорируя, поскольку в России для этих материалов будет крайне малая аудитория.

Так что первым делом, как только вы прочитаете этот текст — начинайте изучать английский язык. Потратив пару лет на то, чтобы уметь бегло и без напряжения читать английский текст и общаться на английском, вы потом сэкономите себе кучу времени, пользуясь куда более качественными источниками при изучении любой другой области, в том числе и математики.

Стоит так же отметить в целом гораздо более хороший научный уровень англоязычной аудитории. В России вам очень мало людей смогут дать адекватный совет по той или иной области, в отличие от англоязычных форумов. На русском языке вы так же не сможете адекватно оценить современное положение вещей в науке, 99% инженеров и кандидатов наук вас скорее всего будут пичкать рекомендациями считать больше интегралов по задачнику Демидовича и читать про то как считаются определители матриц. Это самые бредовые рекомендации, которые можно дать, но понимают это единицы.

Для изучения английского лучше идти на групповые занятия на курсы. Так же полезно читать на английском (есть много адаптированных книг), пытаться переводить интересные вам тексты, искать собеседников-иностранцев для переписки (тут помогут сайты типа livemocha.com и специализированные форумы), могут помочь самоучители типа Мерфи (English Grammar in Use, Eglish Phrasal Verbs in Use и подобные), полезны бесплатные онлайн-курсы типа study.ru.

Даже если вам очень тяжело даётся иностранный язык, вы всё равно должны учить английский. Это действительно самая важная рекомендация, которую в принципе можно дать для изучения любой околотехнической науки и математики в том числе.

Начинайте изучать английский прямо сегодня.

2. Натуральные числа

Начать именно математику логично с арифметики натуральных чисел (это числа 0, 1, 2, 3 и так далее). Вы должны знать основные операции над натуральными числами и их взаимосвязь: сравнение чисел на больше-меньше, сложение, вычитание, умножение, деление с остатком, возведение в степень.

При изучении всех этих тем желательно иметь в голове три интерпретации натурального числа (здесь в порядке убывания важности):

Комбинаторная интерпретация. Число обозначает количество неких объектов в каком-то наборе. Если x>y, то это значит, что в наборе x больше объектов. Сложение чисел — это объединение двух наборов объектов (у одного человека 100 рублей, у другого 200 — сумма, это когда они скинулись). Умножение чисел — это способы составить пары. Например, у нас x мужиков и y баб. Умножение xy — это количество способов выбрать из них одну пару мужик-баба. Возведение в степень xy — это количество способов составить из алфавита, содержащего x символов, слова длины y. Именно комбинаторная интерпретация наиболее часто используется в приложениях математики, она же наиболее удобна при доказательстве арифметических свойств, она же наиболее близка к современному теоретико-множественному определению натуральных чисел.

Геометрическая интерпретация. Натуральное число — это отрезок на линейке. Сравнение чисел — сравнение отрезков по длине. Сложение чисел — склеивание двух отрезков. Умножение — площадь квадрата с заданными сторонами. Возведение в степень элементарной геометрической интерпретации не имеет (имеет интерпретацию в многомерной геометрии, но на начальном этапе об этом не стоит думать).

Индуктивная интерпретация. Натуральные числа получаются одно из другого, то есть есть выделенное число «ноль», и так же есть куча чисел, которые получаются прибавлением единицы. Другими словами для каждого числа определено число, следующее за данным. Эта интерпретация наиболее близка к тому, что рассказывают в начальной школе о том, что чтобы умножить x на y нужно посчитать сумму $latex x +\ldots + x$, где сложение происходит y раз. Аналогично возведение в степень — это многократное умножение.

В каких-то ситуациях полезна одна интерпретация, в каких-то другая. Например, свойства степени довольно легко выводятся из индуктивной интерпретации, однако в ней совершенно непонятно почему $latex xy = yx$, однако это же свойство элементарно видно в интерпретации геометрической или комбинаторной.

Весьма полезно, хотя и опционально, на начальном этапе изучить подробно алгоритмы операций в столбик (самое важное — деление в столбик), свойств делимости, алгоритм Евклида для нахождения наибольших общих делителей и вытекающую из него основную теорему арифметики. В прикладной математике эти вещи нужны довольно редко (если только вы не занимаетесь криптографией), хотя иногда встречаются. Алгоритм деления в столбик важен для понимания аналогичного алгоритма деления в столбик полиномов, который в свою очередь может быть полезен при решении уравнений и интегралов, хотя сами эти вещи тоже весьма необязательны — подавляющее большинство студентов оканчивают технические ВУЗы и решают интегралы не умея делить полиномы.

Если вы тяготеете не к прикладной математике, а к теоретической, то изложенное в прошлом параграфе для вас обязательно. Если математика вам нужна только с прикладной точки зрения, то вам достаточно знать формулировку основной теоремы арифметики, чтобы хотя бы на базовом уровне понимать важную роль простых чисел как строительных кирпичиков натуральных чисел. После основной теоремы арифметики совершенно обязательным для всех является доказательство теоремы Евклида — она отвечает на вопрос о том, сколько всего существует простых чисел. Это одно из самых простых и одновременно с тем сильных доказательств. Пропустить его никак нельзя.

Для людей, занимающихся информационными технологиями, равно как и для математиков-теоретиков, будет полезно изучить каким образом строится позиционная система счисления с произвольным основанием.

В качестве проверки того, насколько вы хорошо знаете арифметику натуральных чисел, попробуйте самостоятельно выполнить следующие не сложные упражнения:

а) Докажите лемму Евклида: если p — простое число, которое делит xy, то оно делит хотя бы одно из x и y (считайте эти числа взаимопростыми). Докажите это не пользуясь основной теоремой арифметики (поскольку она сама вытекает из леммы Евклида; при доказательстве полезно использовать следствие из алгоритма Евклида).

б) Докажите, что для того, чтобы число делилось на 3, надо чтобы сумма его цифр в десятичной системе счисления делилась на 3. Аналогично объясните как проверить делимость на 9.

в) Объясните, каким образом можно возвести число 123 в 64-ю степень, используя только 6 операций умножения.

3. Целые, рациональные, вещественные, комплексные числа

Их следует изучать именно в этом порядке. Возведение в соответствующие степени пока следует отложить.

Опять же, важно рассмотреть несколько интерпретаций. Для целых чисел вы можете рассматривать отрицательные числа как отрицательный денежный баланс (долги, недостаток средств), геометрически как продолжение линейки натуральных чисел в обратную сторону (сложение и умножение будет определяться как движение по этой линейке), либо как чисто формальную конструкцию: целые числа — это расширение натуральных чисел такое, что для каждого натурального x найдется новое число -x, обладающее свойством $latex x + (-x) = 0$. С этой точки зрения целые числа — это такое расширение натуральных чисел, чтобы всегда было возможно произвести операцию вычитания (для натуральных чисел $latex x-y$ имеет смысл лишь тогда, когда $latex x \ge y$).

При рассмотрении целых чисел хорошо обратить внимание на операцию модуля числа, он же абсолютное значение (чуть позже, после знакомства с тригонометрией и геометрией, проделать то же самое для модуля комплексного числа). Вы должны понимать откуда берутся формулы типа $latex ||x|-|y||\le |x-y|$.

Рациональные числа опять же можно рассматривать геометрически (доля целого отрезка), количественно (куски целого) и формально: как числа получающиеся из целых добавлением чисел вида 1/x для каждого ненулевого целого x, а так же всех их возможных произведений (из обычных свойств произведения будет легко вывести правила сложения дробей). Последний способ наиболее удобен для определения арифметических свойств. В этом случае рациональные числа — это такое расширение целых чисел, чтобы всегда было возможно выполнить операцию деления без остатка.

Отсюда полезно понять каким образом устроены десятичные дроби, затем вывести такую простую теорему: десятичное представление любого рационального числа либо конечно, либо периодично.

Для перехода к вещественным числам можно рассмотреть функцию квадратного корня и понять как его можно вычислить последовательным перебором. Затем показать, что корень из двойки не может быть рациональным, хотя вы можете его сколь угодно точно приближать поразрядно. Это даст основания для рассмотрения бесконечных непериодических десятичных дробей, которые и называются иррациональными числами. С точки зрения современной математики это самое неказистое и сложное определение, но оно позволяет понять что такое вещественное число не обладая никакой специальной подготовкой. Подробно доказывать арифметические свойства тут уже совершенно не нужно — знание как проводятся операции в столбик даст вам хорошую интуицию, а строгие формальные выкладки вы сможете понять позже, если будете копать в сторону теоретической математики.

С вещественными числами очень важен вычислительный аспект. Дело в том, что никакие счетные устройства, калькуляторы-компьютеры и прочие, не умеют работать с вещественными числами — только с рациональными, в силу того, что вещественное число требует для своего определения бесконечное число цифр. Таким образом всегда при вычислениях вы будете иметь некоторую погрешность. Будет полезно разобраться с тем, как увеличивается погрешность при выполнении простейших арифметических операций.

Про комплексные числа важно лишь знать, что $latex i^2 = -1$ и вывести отсюда формулы сложения, умножения и деления (в учебниках можно встретить много разных определений, чаще всего как пары вещественных чисел, но на начальном этапе самым корректным будет именно определение через формальную мнимую единицу). Это чисто формальная конструкция, которая должна стать понятнее, если вы справитесь с формальным определением отрицательных и рациональных чисел. Не пытайтесь найти комплексным числам физической или геометрической интерпретации — на данном этапе это совершенно ненужно и даже вредно.

Бытует мнение, что комплексные числа нужны только математикам, а простым инженерам они нужны не очень-то. Я спешу вас расстроить: без комплексных чисел не очень понятно как решать многие виды интегралов, рядов, дифференциальных уравнений. В теории вероятностей (крайне важная наука для анализа данных, а соответственно и для всяких там менеджеров, социологов и маркетологов) комплексные числа используются при определении характеристической функции, которая делает элементарными многие факты и вычисления в теории вероятностей. В современной геометрии комплексные векторные пространства позволяют эффективно исследовать свойства вещественной евклидовой геометрии и т. п. Можно было бы обойтись и без комплексных чисел, но тогда всё было бы намного сложнее. Тот факт, что комплексная арифметика не проходится ни в школах, ни почти в институтах, не делает её не нужной. Если вы хотите действительно стать нормальным инженером, вам строго необходимо понимание комплексных чисел.

Факультативно можно посмотреть в сторону кватернионов (там три разных мнимых единицы), октав (там их семь разных) и седенионов (там мнимых единиц пятнадцать). Это уже не является необходимым, но вероятно поможет понять формальность процедуры, которая даёт нам комплексные числа.

Для проверки того, насколько хорошо вы владеете арифметикой в этом пункте, попробуйте решить следующие упражнения:

а) Объясните, почему между любыми двумя вещественными числами найдётся сколь угодно много различных чисел, как рациональных, так и вещественных (здесь не требуется совершенно строгого формального доказательства, просто приведите рассуждения, убедительные лично для вас).

б) Объясните, почему не существует адекватного способа сравнивать комплексные числа на больше-меньше. (Подсказка: попробуйте определить является ли мнимая единица положительным или отрицательным числом).

в) Пусть рациональное число имеет вид a/bc, где b и c взаимопросты. Покажите каким образом отсюда можно получить его представление в виде $latex {a_1\over b} + {a_2\over c}$. Здесь, вероятно, вам будет полезно прочитать в общем виде об элементарных дробях (а для тех, кто интересуется теорией это вообще совершенно обязательно).

4. Начальная комбинаторика, матиндукция и суммы

Основы комбинаторики вы должны знать уже из изучения натуральных чисел. После того, как вам понятен комбинаторный смысл умножения и возведения в степень, надо идти дальше и понять что такое факториал, расстановки и сочетания. При изучении этого материала избегайте неинтуитивных рассуждений путём вывода формул одной из другой, а так же метода индукции. У каждой комбинаторной формулы есть простая интерпретация, которую и нужно понять, а вовсе не формальные выкладки.

Узнав про сочетания, которые называются так же биномиальным коэффициентом, изучите мультиномиальный коэффициент. Отсюда изучите Бином Ньютона (опять же не по индукции, а интуитивно комбинаторно — если вы хорошо понимаете биномиальный коэффициент, то сможете вывести формулу бинома как упражнение), а так же обобщение на случай суммы нескольких переменных (в этой ситуации биномиальный коэффициент заменяется на мультиномиальный).

Так же выведите $latex \sum_{k=0}^n {n\choose k} = 2^n$ и дайте комбинаторную интерпретацию этому результату.

Выведите по аналогии $latex \sum_{k=0}^n (-1)^k{n\choose k} = 0$.

Данные результаты очень просты, желательно, чтобы вы вывели их самостоятельно.

Следующая формула к комбинаторике имеет уже мало отношения, но имеет интуитивную связь с биномом Ньютона, если рассматривать его как «формулу сокращенного умножения» и доказывается во многом так же:  $latex x^n-y^n = (x-y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + \ldots + y^{n-1})$ — её нужно знать, особенно в частном случае для $latex n=2, 3$.

Полезно так же почитать про приём двойного счета, принцип Дирихле и правило включения-исключения, а так же рассмотреть примеры применения этих приёмов.

Обязательно поймите принцип математической индукции. В самой комбинаторике гигантское количество утверждений может быть доказано методом математической индукции (хотя лучше её именно в комбинаторике и избегать из-за неинтуитивности), полно доказательств есть из теории чисел. Полезно найти формулу и доказать её по индукции для сумм $latex \sum_{k = 1}^{N} k^p$ для значений p равных 1, 2 и 3. (Это не сложно сделать самостоятельно). Для теоретиков можно найти и разобраться в формуле Фаулхабера (позволяет считать такую сумму в общем виде) и числах Бернулли, но это уже только для теоретиков.

Так же изучите арифметические и геометрические прогрессии.

Для того, чтобы понимать как хорошо вы ориентируетесь в этой области, решите следующие упражнения:

а) Если в формуле разложения $latex x^n-y^n$ заменить y на -y, то можно понять каким образом записать аналогичную формулу для суммы $latex x^n+y^n$, однако это сработает лишь в случае нечетного n. Тем не менее, иногда может помочь замена y на мнимое значение iy. Покажите для каких n будет возможно подобное разложение суммы степеней n и запишите его.

б) Любое натуральное число можно записать в виде суммы других натуральных чисел. Например, $latex 10=2+7+1$. Таких разложений, естественно, очень много разных. Сколько именно? (Разложения следует рассматривать с точностью до порядка слагаемых).

в) Функция Эйлера $latex \phi(n)$ — это количество чисел, меньших чем n и взаимопростых с ним. Используя приём включения-исключения, выведите формулу для неё: $latex \phi(n) = n-{n\over p_1}-\dots-{n\over p_k}+{n\over p_1p_2}+\dots + (-1)^k{n\over p_1\dots p_k}$, где $latex p_i$ — простые множители числа n.

5. Графики функций

Прежде чем строить графики функций, необходимо сделать небольшую подготовку: научиться решать квадратные уравнения и делить полиномы в столбик. Квадратные уравнения необходимо уметь решать через дополнение до полного квадрата — именно этот подход даёт логичное обоснование формулы с дискриминантом. Сам приём дополнения до полного квадрата крайне часто употребляется в самых разных математических выкладках.

Необходимо знать как выглядят основные виды графиков: линейный $latex y = kx + b$, степенной $latex y = x^n$, график квадратичной функции $latex y = ax^2 + bx + c$ и дробно-линейный $latex y = {ax + b \over cx + d}$. График квадратичной функции поможет строить умение решать квадратные уравнения, график дробно-линеной функции как раз умение делить полиномы.

Если вам уже известен график некоторой функции $latex f(x)$, необходимо уметь построить так же график функций $latex |f(x)|$, $latex f(|x|)$, $latex f(x + a)$, $latex f(x) + a$, $latex f(ax)$, $latex af(x)$. Важно уметь строить график обратной функции.

Так же на этом этапе полезно иметь хотя бы общее представление о том как устроены графики функций комплексного переменного как отображение кривых комплексной плоскости.

Несколько простейших вопросов, которые напрямую не связаны с графиками, но имеют графическую интерпретацию:

а) Функция называется четной, если $latex f(-x)=f(x)$ и нечётной, если $latex f(-x)=-f(x)$. Охарактеризуйте четность и нечетность с точки зрения графика функции. Может ли функция быть одновременно и четной и нечетной? Перечислите все такие функции.

б) Функция называется периодической, если существует такое T, отличное от нуля, что $latex f(x + nT) = f(x)$ для любого $latex n$. Охарактеризуйте это определение с точки зрения графика функции. Существует ли такая периодичная функция, что любое значение T будет её периодом?

в) Пусть даны две функции. Как найти точки пересечения их графиков?

5. Уравнения, неравенства, системы уравнений

К этому моменту вы уже должны уметь решать квадратные уравнения и понимать принцип дополнения до полных квадратов. В качестве факультатива можете посмотреть как решаются уравнения третьей и четвертой степеней. Это не особо важно, но занятно. Тут надо сказать, что наиболее часто встречающийся подход — это использование формул Кардано и метод Феррари, которые могут показаться сложными. Есть однако и довольно элементарные подходы к решению уравнений третьей и четвертой степеней через обычные подстановки переменных и введение дополнительных неизвестных, чтобы подогнать формулу под вид квадрата. Такие подходы имеют ряд недостатков и не раскрывают свойств многочленов, но они довольно элементарны для понимания на школьном уровне. Разбор этих методов моет быть полезным упражнением.

Надо уметь решать основные виды частных случаев уравнений более высоких степеней. Например, уравнения вида $latex ax^{2n}+bc^n + c = 0$ или уравнения с симметричными коэффициентами.

Сразу стоит оговориться, что аналитически уравнения старше четвертой степени в общем виде не решаются — это утверждение составляет выдающуюся теорему Абеля. Среднему читателю нет смысла углубляться в доказательство, но интересующимся теоретической математикой я настоятельно рекомендую ознакомиться с книжкой «Теорема Абеля в задачах и решениях» Алексеева А.Б.

Нужно знать основную теорему алгебры. Она заключается в том, что любой полином имеет комплексный корень. На данном этапе понять строгое доказательство этой теоремы вам не удастся, но элементарная интуиция о графиках комплексных функций может подсказать почему теорема верна. Для этого можно рассмотреть образ произвольной окружности в комплексной плоскости для произвольного полинома. Этим образом будет некая замкнутая линия. Начало координат окажется либо внутри этой линии, либо снаружи. В первом случае можно уменьшать радиус начальной окружности пока линия не пересечет начало координат (точка пересечения и будет корнем), во втором наоборот увеличивать радиус до пересечения образа с началом координат. В этом доказательстве очень много дыр, но пока вы вряд ли сможете сформулировать что-то более строгое. Однако такая иллюстрация даёт неплохую интуицию и понимание, строгость же придёт позже.

Из возможности делимости полиномов (с остатком и без) и из основной теоремы алгебры должен стать очевидным тот факт, что любой полином n-ой степени представим в виде $latex a\prod_{i=0}^n (x-x_i)$, где $latex x_i$ — комплексные корни данного полинома. Отсюда элементарно выводятся формулы Виета в общем виде (если вы вывели сами Бином Ньютона, то и формулы Виета отсюда выведете). Если мы знаем, что все корни многочлена рациональны, то из формул Виета следует очевидный способ нахождения их перебором.

Если известно, что комплексное $latex x_0$ является корнем многочлена $latex f$ с вещественными коэффициентами, то подставив в него сопряженное $latex \bar{x_0}$, мы убедимся, что оно так же является корнем. Отсюда можно получить аналогичное данному выше представление вещественного многочлена в виде $latex a\prod_{i=0}^n (x-x_i) \prod_{j=0}^m (x^2+p_jx+q_j)$, где используются уже только вещественные корни и коэффициенты. Теперь очевидно, что любой вещественный многочлен нечетной степени имеет вещественный корень.

В качестве дополнения, но очень важного и интересного, я рекомендую на этом этапе узнать про производящие функции. Их почти нигде не проходят в России на инженерных специальностях, но однако они крайне важны в современной науке и имеют широчайшие применения. В комбинаторных задачах средней сложности и некоторых смежных областях (анализ последовательностей, теория вероятностей) это сейчас  один из самых широкоупотребимых математических инструментов.

С неравенствами всё довольно просто — достаточно понять как решаются базовые случаи на уровне задачников к ЕГЭ. Там нет ничего сложного. Аналогично с системами уравнений. Важно понять общий принцип решения систем уравнений через выражение вначале одной из n переменных через $latex n-1$ других, затем подстановкой этого значения в систему, выражения одной из оставшихся через остальные и т. д.

Можно посмотреть так же в сторону метода Гаусса решения систем линейных уравнений, но на самом деле это пока не обязательно — мотивация для решения таких систем и их важность станут понятны несколько позже.

Упражнения:

а) Решите уравнение $latex x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x +1 = 0$ меньше чем за две минуты.

б) Используя формулы Виета, получите представление для дискриминанта квадратного уравнения в виде $latex D = a^2(x_1-x_2)^2$, где $latex x_i$ — корни многочлена. В отличие от привычной школьной формулы, это определение обобщается на случай многочленов произвольного порядка: $latex D = a_0^{2n-2}\prod_{i<j} (x_i-x_j)^2$. Пользуясь этим определением и формулами Виета найдите дискриминант для многочлена $latex x^3 + px + q$.

в) При каких параметрах a уравнение $latex \sum_{i=1}^x {1\over i(i+1)} = a$ имеет решение и какое? (Стоит рассматривать только целые $latex x\ge 1$).

6. Показательная и логарифмическая функции

Определить строго эти функции в школьном курсе весьма сложно, поэтому придётся опираться не на строгость, а на интуицию.

Начать следует с показательной функции $latex a^x$. Как строить такую функцию для целых $latex x$ понятно (из индуктивного определения легко следует как считать отрицательные целые степени). Степень вида $latex a^{1/x}$ можно определить как корень степени $latex x$ и использовав приём поразрядного подбора. Это следует из свойства $latex (a^b)^c=a^{bc}$. Воспользовавшись этим же свойством еще раз, можно определить возведение в любую рациональную степень.

Теперь встает вопрос как определять значения для иррациональных показателей степеней. Поскольку каждое иррациональное число сколь угодно точно может быть приближено рациональным числом, то и иррациональные показатели степени могут быть приближены рациональными степенями. Опять же строгое проведение этих рассуждений требует базовых сведений о пределах и топологии, поэтому на среднешкольном уровне оно невозможно. Однако можно найти много неформальных рассуждений в этом ключе, дающих хорошее понимание и интуицию.

Когда определена показательная функция, можно определить логарифм как функцию, обратную к показательной.

Следующими шагами является изучение максимума свойств логарифмов и показательных функций, включая неравенства и вид их графиков. Полезно почитать про выпуклость логарифма и показательной функции и следующих из этого неравенств.

Упражнения:

а) Пусть дано произвольное натуральное число x. Сколько разрядов потребуется для его записи в позиционной системе счисления с основанием k? (Для тех, кто пропустил системы счисления, рассмотрите только случай $latex k=10$).

б) Используя выпуклость логарифма докажите неравенство Юнга: $latex ab \le {a^p\over p} + {b^q \over q}$ при $latex {1\over p} + {1\over q} = 1$, $latex p,q\ge 1$ и $latex a,b\ge 0$. Факультативно можете посмотреть в учебниках как из него выводятся неравенства Гёльдера и затем Минковского (сейчас это не необходимо, но позже они сыграют важную роль).

в) Используя неравенство $latex a^x \ge x + 1$ докажите, что среднее геометрическое всегда меньше либо равно среднему арифметическому.

7. Геометрия

Если курс школьной алгебры составлен хоть как-то более-менее нормально, то школьная геометрия представляет собой полностью провалившуюся концепцию. Геометрия Евклида в том виде как он её излагал крайне не строга (даже самую первую теорему в своих «Началах» сам Евклид доказывает некорректно), а доказываются в ней зачастую совершенно интуитивные вещи, которые можно было бы и не доказывать. О самой сути и назначении доказательств я скажу немного в конце, пока же обозначу то, что требуется знать.

Во-первых, надо узнать про сумму углов n-угольников. Это очень простая теорема. Употребляется она не часто, но не знать её стыдно.

Затем надо принять число 2π как длину окружности единичного радиуса. Никакой строгости тут быть не может — школьник (да и студент технического ВУЗа) чисто физически не сможет определить понятие длины, а уж тем более доказать, что окружность этой самой длинной в принципе обладает. Это действительно не простые всё вопросы, требующие значительной подготовки, поэтому просто примите большую часть очевидных фактов как должное.

Затем полезно (но не обязательно) доказать (не слишком строго опять же) формулы площади и периметра для окружностей произвольного радиуса, в предположении, что радиус единичной окружности равен 2π, что мы пока условились принимать как аксиому.

Изучите измерение углов в радианах и как считать длину дуги окружности (можно пока только единичной).

Покажите, что если из одной точки A исходит два луча, пересекающих линию L в точках B и C, и линию L’, параллельную L, в точках D и E, то $latex {AB\over AC} = {AD \over AE}$. Это и подобные соотношения дают основания для введения тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса. Определяемые изначально как отношения между сторонами прямоугольного треугольника, тригонометрические формулы оказываются зависимыми в действительности не от сторон этого треугольника, а только от угла, что и должно быть видно из выведенного выше соотношения.

Используя тригонометрические функции научитесь определять площади и высоты простейших геометрических фигур.

Докажите теорему Пифагора и из неё установите основное тригонометрическое тождество $latex \sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и его следствия.

Докажите теорему синусов (для этого вам предварительно придется немного покопать свойства вписанных в окружность углов).

Изучите основы векторного исчисления в случае плоскости. Из многих подходов к изучению векторов следует выбирать те источники, где вектор представляется парой вещественных чисел, а арифметические операции над ним как покоординатные операции. Вы должны усвоить сложение векторов (правило параллелограмма), умножение на скаляр, понятие о сонаправленности и параллельности векторов, скалярное произведение и его связь с углами, проекции.

Из векторного исчисления выведите теорему косинусов. Из теоремы косинусов и основного тригонометрического тождества — формулу Герона.

Докажите теперь теорему Пифагора в чисто векторном смысле: определив ортогональность (перпендикулярность) векторов как $latex (x, y) = 0$ установите равенство $latex \|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$ для ортогональных векторов.

Рассмотрите уравнения прямой и окружности на плоскости. Если в дальнейшем вы хотите изучать теоретическую математику — изучить так же свойства инверсии.

Полезно изучить так же золотое сечение.

Упражнения:

а) Докажите неравенство Коши-Шварца (его еще называют неравенством Коши-Буняковского): $latex |(x, y)| \le \|x\| \|y\|$.

б) Дана единичная окружность с центром в начале координат. Найдите все уравнения прямых, проходящих через заданную точку $latex (x_0, y_0)$ и касающихся этой окружности.

в) Каждая точка плоскости может быть представлена парой координат $latex (x, y)$. Существует ли такая прямая, которая проходит в точности через одну точку, у которой обе координаты рациональны? (Более сложный вариант: установить существует ли прямая, которая вообще не проходит через точки с двумя рациональными координатами).

8. Тригонометрия

Рассматривая единичную окружность определите значения тригонометрических функций для произвольных аргументов углов. Отсюда установите периодичность тригонометрических функций, четность, нечетность, свойства типа $latex \sin(x+\pi/2) = \cos x$. Докажите неравенство $latex \sin x \le x \le \tan x$.

Самые сложные формулы, которые надо изучить в самом начале, это формулы синуса и косинуса суммы: $latex \sin(x+ y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ и $latex \cos (x + y) = \cos x \cos y-\sin x\sin y$. Их доказательство обязательно надо найти.

Затем надо научиться выводить кучу тригонометрических тождеств. Главные тут это тригонометрические формулы двойных углов, половинных углов и суммы и произведения тригонометрических функций. Выясните как они получаются. Время от времени они нужны, но довольно глупо пытаться их запомнить — правильнее помнить как они выводятся, это куда практичнее и проще.

Научитесь строить графики тригонометрических функций. Изучите обратные тригонометрические функции. Научитесь решать тригонометрические уравнения и неравенства.

Изучите геометрическую интерпретацию комплексных чисел и их тригонометрическое представление. Разберите формулу Муавра и вычисление комплексных корней. Применяя формулу Муавра и Бином Ньютона получите формулу n-кратного угла для синуса и косинуса.

В общем-то главная суть тригонометрии на данном этапе — усвоить всевозможные манипуляции с тригонометрическими тождествами и ряд стандартных трюков при решении уравнений. Здесь опять же можно почитать материалы для подготовки к ЕГЭ — какой-то специальной теории на данном этапе не удастся рассмотреть.

Уражнения:

а) Преобразуйте выражение $latex \sin\arctan x$ так, чтобы оно не содержало арктангенса (и любой другой обратной тригонометрической функции).

б) Пусть $latex \epsilon_n^k$ — k-ый комплексный корень n-ой степени из единицы. Докажите, что $latex \sum_{k=1}^n \epsilon_n^k = 0$.

в) Придумайте формулу разложения для произвольной суммы $latex x^n+y^n$.

9. К начальному институтскому курсу

Изложенного выше достаточно для того, чтобы начинать читать университетские учебники. Области математики, которые необходимо изучать, очень зависят от того, чем вы планируете заниматься. Я дам краткий ориентир что и как читать по самым основам в самом начале — все это вам пригодится 100%.

Одномерный анализ: это пределы, производные, интегралы и ряды. На начальном этапе я бы посоветовал избегать вникания в формализм. Запись $latex \lim_{x\to a} f(x) = b$ означает, что при приближении аргумента x к a, значение функции приближается к b. Довольно очевидно, что функция $latex 2f(x)$ при этом будет приближаться к значению $latex 2b$ даже без строгих доказательств. Если вы начнете зарываться в эпсилон-дельта формализм, который преподаётся в ВУЗах, то потратите уйму времени и ничего не поймёте. Причины ненужности этого формализма я подробнее поясню ниже.

По пределам вы должны усвоить два золотых предела, теорему Штольца (её возможно отложить на время, пока не займётесь формализмом), изучить о-нотацию и свойства бесконечно малых и бесконечно больших.

При изучении производных вы должны уметь выводить все формулы дифференцирования. Изучение дифференциала и производной композиции и обратной функции скорее всего получится весьма неформальным.

При изучении производных важно понять геометрический смысл и как он помогает определять экстремумы и области выпуклости функции, теорему Ролля, теорему Лагранжа, теорему Коши о среднем значении, правило Лопиталя, изучить ряды Тейлора, изучить взаимосвязь корней полинома с корнями его производной. Опять же, в большинстве случаев подойдут неформальные рассуждения.

Про интегралы важно узнать основную теорему анализа, правило интегрирования по частям и как производить замену переменных. Опять же важно узнать как интегрируются все стандартные функции, включая рациональные дроби (интересно посмотреть прием интегрирования Остроградского).

Про ряды особо ничего знать не надо. На практике вам мало что из теории рядов пригодится, кроме как самих рядов. То есть сама теория ставит много вопросов о сходимости, равномерной сходимости и подобном, однако все реальные ряды, которые встретятся на вашем жизненном пути, будут обладать весьма хорошими свойствами сходимости и не потребуют какого-либо специального анализа. Про это я опять же напишу ниже подробнее. Из прикладных аспектов хорошо посмотреть арифметические операции над рядами, как с помощью рядов решаются дифференциальные уравнения и как выводятся ряды для основных школьных функций. Посмотрите так же на аппроксимацию Стирлинга (в общем виде вы пока её не сумеете понять, но простейшее приближение $latex n! \sim \sqrt{2\pi n}(n/e)^n$ вы уже должны быть способны получить из Гамма-функции, пусть и не совсем формально).

Читать по анализу рекомендую учебники Зорича и Лорана Шварца. Если решите брать другой учебник и копать теорию, то критерием выбора книги должно быть использование языка топологии и векторных пространств в книге, а не эпсилоны и кучи неравенств.

Основы теории множеств. В теории множеств на начальном этапе надо понять операции над множествами и общее определение функции (как подмножество декартова произведения), такие свойства как инъективность, сюръективность и подобные, а так же ассоциативность композиции функций. В детали залезать с самого начала нет смысла, но ассоциативность композиции важно уметь доказывать. Читать можно что угодно, в том числе мой учебник (если хотите хардкора).

Основы линейной алгебры. Обозначить наиболее важные темы в линейной алгебре довольно сложно — там в принципе неважного нет. Поначалу можно опустить изучение тензоров, но это в принципе всё. При изучении линейной алгебры следует обращать внимание на следующие аспекты:

1) Материалы, которые вы будете читать, должны по минимуму использовать матрицы и по максимуму линейные операторы. В идеале вы не должны закладываться вообще на существование какого-либо базиса в линейном пространстве. Вы вначале должны узнать что такое линейный оператор, и лишь потом что такое матрица. Никак иначе.

2) Ваши учебники должны по минимуму опираться на определители и по максимуму на собственные вектора. Если учебник постоянно навязывает вам вычисление всяких там миноров и алгебраических дополнений с доказательствами по индукции, вместо того, чтобы применять формулу Гаусса или приводить матрицу к диагональному виду, вы такой учебник должны разорвать, выкинуть и сжечь.

3) Сам определитель должен быть определен как кососимметрическая форма либо как направленный объём. Если вам изначально предлагается формула с разложением по строке или столбцу, либо же здоровая сумма с перестановками коэффициентов — такой учебник так же никуда не годится (исключение составляет учебник Кострикина).

Именно с точки зрения линейной алгебры нужно подходить к евклидовой геометрии, вы должны постоянно держать в голове как проходимый вами материал может быть применен к геометрии и пытаться решать геометрические задачи методами алгебры.

Из конкретных учебников советую учебник Винберга, Кострикина и совместный учебник Кострикина и Манина. Говорят, что хороший учебник Шелдона Акслера «Linear Algebra Done Right», но сам я его не читал.

Многомерный анализ. Здесь на начальном этапе важны лишь производные и интегрирование. Производные хорошо изучать как аппроксимации произвольных функций линейными операторами. Здесь уже получится корректно и понятно ввести понятие дифференциала и изучить в общем виде свойства производных, которые ранее изучались неформально (типа производной композиции и обратных функций). Изучите обязательно как решаются оптимизационные задачи и условия для экстремумов (тут же посмотрите в сторону градиентной оптимизации).

В интегрировании опять же не стоит углубляться в теорию — просто посмотрите как считаются стандартные примеры интегралов. Например, обратите внимание на вычисление интеграла Гаусса и вычисление объема n-мерной сферы. Из теоретически важного можно выделить теорему Грина и интегрирование потенциальных векторных полей. Учебники все те же Зорича и Шварца.

Теория вероятностей и основы статистики. Эти темы сейчас являются очень важными практически во всех областях. Вообще очень сложно представить себе область знаний, которая не требовала бы понимания этих дисциплин. По теории вероятностей нужно знать аскиомы и свойства случайных событий, случайные величины и их характеристики (вы должны понимать, например, как связано скалярное произведение и СКО, а так же почему именно ковариационная матрица является положительно-определенной), иметь представление о характеристической и производящей функции. Полезно залезть в основы теории информации.

По статистике надо знать основы оценивания (включая информацию Фишера и информационное неравенство), проверки гипотез, понимать чем отличаются частотный и байесов подход, знать какие-нибудь алгоритмы анализа независимых компонент. Область эта сейчас очень динамично развивающаяся и полезно посмотреть просто современные статьи — они редко являются сложными, но содержат часто интересные и продуктивные идеи.

Комплексный анализ. Курсы комплексного анализа все довольно стандартны, можете брать любой, хотя комплексный анализ нужен уже только тем, кто собрался двигаться дальше. Хорошим критерием того, что вы неплохо разобрались в теме, является понимание как интегрировать и суммировать с помощью вычетов (вы должны быть способны посчитать сумму $latex \sum_{k=1}^{+\infty} {1\over k^2}$), умение доказывать основную теорему алгебры в одну строчку и понимание почему голоморфность эквивалентна аналитичности. С точки зрения комплексного анализа удобно рассмотреть анализ Фурье (хотя, если углубляться в теорию, еще лучше рассматривать эти темы с точки зрения функционального анализа).

10. Что дальше

Дальнейшее изучение зависит от того что вам надо. Приведенной мной выше список понадобится практически любому человеку, кто хотя бы косвенно связан с математикой. Естественно, что в конкретных областях знаний требуется отдельные разделы математики, которые надо изучать независимо. Например, если вы занимаетесь криптографией, вам потребуется серьезная подготовка по теории чисел и алгебре. Если в каких-то инженерных или физических задачах вам нужна теория поля (та что про ротор и дивергенцию), то вам будет полезно изучить основы топологии и дифференциальные формы с общей формулировкой теоремы Стокса. Если вам нужна вычислительная математика и анализ данных, то вам надо читать про численные методы, методы оптимизации и подобное. Если вы финансовый аналитик, вам потребуются случайные процессы и анализ Ито, а если экономист, то теория игр. Инженерам и физикам очень нужны дифуры и вариационное исчисление, а физикам-теоретикам вообще очень много чего надо из того, что я в этой подборке даже издали не касался.

По этой причине дать какие-то общие рекомендаций тут уже невозможно, после изучения того, что я изложил выше, надо смотреть нужное именно вам лично. Если вы хотите закрыть дырки в доказательствах, которые возникли при изучении, то вам уже следует изучать теоретическую математику — вначале теорию множеств (в части про бесконечные множества, аксиому выбора и ординалы), общую топологию и алгебру, затем функциональный анализ. Этого будет достаточно для того, что доказать и понять правильно как идейно, так и формально абсолютно всё, что могло вам встретиться в школьном и университетском курсе. Многие вещи вы определите при этом уже совершенно по-иному: так, вы поймёте, что самым корректным определением тригонометрических функций являются ряды, узнаете про интеграл Лебега, многообразия, из функционального анализа вы по-другому взгляните на вопросы сходимости, ну и так далее. После перечисленного уже можно ориентироваться на широкоизвестные списки типа списка Вербицкого или списка для студентов НМУ. Это собственно самое адекватное что есть.

Задачи

Надо сделать немного замечаний о том, как вообще изучать материал, потому что привычная схема изучения, которую навязывает школа и институт, очень глупа и не правильна в корне.

Институт и школа приучают решать кучу однотипных примеров на одни и те же темы. В школе вначале решается куча уравнений, потом куча неравенств, потом куча систем уравнений. В институте вначале куча пределов, потом куча производных, потом куча интегралов, потом куча дифуров. Причем чем больше и сложнее задачи, тем лучше, как считается, учат. Надо быть очень глупым человеком, чтобы правда верить в то, что это зачем-то может вообще пригодиться.

Задачи имеет смысл решать преследуя лишь одну цель: чтобы лучше понять материал. В этом плане вам могут пригодиться либо совсем простые задачи на несколько минут раздумий, которые помогают, если вы начинаете путаться в материале и теряете нить рассуждений, либо же сложные задачи, которые займут у вас уйму времени и вы вообще не факт что с ними справитесь, однако во время раздумий над задачей вы выполните определенное самостоятельное исследование темы. Даже если вы ничего нового в ходе этого не узнаете, вы пощупаете материал и уже будете в нем увереннее себя чувствовать.

Вообще в задачах не важно смогли вы ее решить или не смогли — важно лишь то, вынесли вы из процесса решения что-либо или нет. Ситуация, когда задачи решаются на время у доски под надзором учителя или в листке с контрольной работой призваны лишь проконтролировать, что ученик выполнил приказ учительницы и зазубрил нужную формулу. Есть определенный статистический интерес в контрольных с простыми быстрыми вопросами, чтобы учитель понимал догоняет ли вообще класс в целом что происходит на доске и какие темы требуют дополнительной проработки, но это именно статистическая мера, а не оценка понимая конкретного студента. О понимании конкретным студентом материала тут речи идти не может вообще никакой.

Часто учителя на этот аргумент возражают, что, мол, у доски отрабатываются основные техники решения. Однако и это является не правдой: никаких основных техник решения задач не существует. Посмотрите на доказательства теорем — в них нет ничего общего с теми тысячами однотипных задач нарешиваемых у доски. Если вы посмотрите в какие-то прикладные области науки, то убедитесь, что вообще все задачи даже на те же пределы или интегралы, которые в принципе способны попасться на практике, либо решаются совсем тривиально, либо наоборот очень сложно с помощью какого-либо хитрого трюка, который все равно в институте не изучался, либо вообще не решаются напрямую и там требуются численные решения.

Мой личный подход к задачам — не решать их вообще. Я за них берусь лишь когда чувствую, что начинаю плавать в изучаемом, и тогда прорешиваю простые задачки. Вместо же сложных задач я пытаюсь самостоятельно доказывать теоремы (прежде чем я читаю доказательство, я пытаюсь придумать его сам). Сложные задачи иногда я тоже решаю, но я их как правило сам себе ставлю, те же задачи, что ставит мне кто-то в учебнике у меня обычно нет мотивации решать, хотя это зависит от темы и от учебника.

Человеку, изучающему математику, есть смысл следовать именно этому принципу: решать лишь несколько задач на каждую тему и стараться во время решения оценить насколько вы понимаете саму тему, а не ориентироваться на вашу способность или неспособность решать задачу. Это важно так же и поскольку разные учебные пособия подразумевают совершенно разный уровень подготовки по смежным дисциплинам и различное планируемое время, которое требуется затратить на решение. Если у вас не получается решать задачи, то скорее всего это от того, что составитель учебника лично на вас не ориентировался, а не потому что вы тупой. Аналогично если вы легко решаете задачи, то скорее всего вы и не выносите из решения ничего для себя, и это так же плохо подобранный материал.

Доказательства

К доказательствам отношение в школе и в институте так же формируется некорректное. Надо понимать три вещи:

1) Целью доказательства является логически корректное убеждение спорящего оппонента, а не достоверное установление истины.

2) Достоверно корректных доказательств вообще почти не существует.

3) Доказательств каждого отдельного факта чаще всего существует довольно много и нет никакого единого доказательства, которое надо знать.

Я поясню что я имею ввиду.

Во-первых, вы должны знать, что вы скорее всего не видели ни одного действительно полноценного и строгого доказательства в своей жизни (это не относится к математикам-теоретикам и логикам). Большая часть доказательств в математике в том виде, как она представлена в учебниках, совершенно не формальна и содержит огромное количество дырок, и это не недостаток учебников, а суть нашего мышления.

Возьмём аксиомы Евклида и его книгу «Начала». Как я уже упоминал, в ней первая же теорема доказана некорректно. Некорректность заключается в том, что Евклид полагал очевидным тот факт, что две достаточно близко располагающиеся друг к другу окружности обязательно пересекутся (в его случае когда радиус равен расстоянию между центрами окружностей). Это действительно кажется очевидным, но, оказывается, из аксиом Евклида это невозможно доказать, и причина кроется в том, что его аксиомы не раскрывают сути непрерывности линии — вполне может быть, что окружности содержат большое количество «щелей», говоря неформально, в своей внутренней структуре, и если пересечение придется на такие «щели», то никакого пересечения по сути и не будет — у окружностей не найдется в этом случае общих точек.

Это очень тонкий момент, но для полноты строгости его необходимо рассматривать. Это приводит к тому, что вместо пяти аксиом Евклида приходится рассматривать двадцать аксиом Гильберта, которые закрывают дырки Евклидовой геометрии. Но возникает резонный вопрос: а нужна ли нам вообще такая строгость? Что реально получает студент-инженер или школьник, рассматривая вместо пяти аксиом двадцать аксиом? Ведь скорее всего эти щели в окружностях ему будут совершенно непонятны и будут казаться надуманными — чтобы вполне осознать их возможность, надо предварительно изучить понятие полноты метрических пространств, а это уже довольно продвинутый теоретический материал. Изучение же метрических пространств без предварительной геометрической интуиции так же будет бессмысленным.

Здесь как раз возникает вопрос убедительности. Аксиомы Евклида были сформулированы в третьем веке до нашей эры, а их неполнота стала понятна лишь во второй половине XIX-го века. Во весь этот промежуток времени ни у кого не было никаких сомнений в верности доказательств Евклида. В школе до сих пор используются аксиомы и доказательства Евклида — они некорректны, что очевидно любому математику, но они в то же время убедительны, и никого в школе они не смущают. Но тогда возникает вопрос, стоит ли тратить время вообще на эту формулировку неполноценных аксиом и неполноценные доказательства? Так факт, что вертикальные углы равны между собой очевиден на глаз, и никакой школьник никогда не поймёт зачем это надо доказывать. Так не логично ли выкинуть это доказательство вообще из курса школьной геометрии, наряду с другими? Моя программа по геометрии, данная выше, как раз предполагает именно подход доказательств, беря за основу не аксиомы и строгие выводы, а очевидные соображения.

Аналогичная ситуация наблюдается в матанализе. Исторически производные, пределы, интегралы и ряды появились гораздо раньше, нежели они были формально обоснованы с точки зрения эпсилон-дельта формализма. Такой выдающийся математик как Эйлер доказал огромное количество теорем, но за эти доказательства в современном российском ВУЗе ему поставили бы твёрдый кол: Эйлер просто не знал о том, что надо еще доказывать всякие там сходимости, произнося слова типа «для любого эпсилон больше нуля, существует такое эн, что…» Тем не менее, доказательства Эйлера казались совершенно строгими и убедительными его современникам — в то время никто не занимался поиском контрпримеров и тонким анализом сходимости.

Что здесь важно заметить: при всей нестрогости доказательств Эйлера, результаты, которые он получил (даже самые невероятные), оказались верны. Почему так произошло? Как я уже упоминал выше, вам очень маловероятно что попадутся примеры функций, обладающих какими-то неприятными свойствами, а если они и будут, то эти неприятные свойства чаще всего будут совершенно очевидны. Чтобы сконструировать какой-то контрпример, в котором будет важно тонко анализировать свойства сходимости, надо очень здорово попотеть. Посмотрите, к примеру, книгу Гелбаума и Олмстеда «Контрпримеры в анализе». Вы очень быстро поймёте, что такие функции вам никогда не понадобятся на практике.

На самом деле даже при всем желании провести корректное полноценное доказательство и построение математики, вам этого не удастся. Институтский эпсилон-формализм преподаватели обычно позиционируют как полноценное доказательство, хотя на самом деле это очень далеко от истины: студентам инженерных специальностей не доказывают, что вещественная прямая полна, а стало быть может случиться такое, что последовательность хоть и сходится по признаку Коши (является фундаментальной), но не имеет предела, ведь вещественные числа как пополнение рациональных на инженерных специальностях не вводятся — вещественные числа подразумеваются там чем-то очевидным, хотя это далеко не так.

Даже если определить вещественные числа как пополнение рациональной прямой, остаётся вопрос как ввести рациональные числа. Положим, с ними проблемы большой нет, в предположении того, что мы владеем теорией натуральных чисел. А как определить натуральное число? Очень непонятный и неочевидный (без дополнительной подготовки и подробного изучения вопроса) способ предоставляет теория множеств, которую лишь на базовом уровне преподают лишь на некоторых специальностях.

Тут возникает проблема аксиоматизации теории множеств, поскольку наивные представления о множествах тут же приводят к чудовищным противоречиями. Возникает потребность в строгой аксиоматике на языке формальной логики. Здесь уже сразу возникает вопрос о том, что аксиоматизаций теории множеств существует много разных и хорошо бы обсудить со студентами их различия, а так же следующие из некоторых из них парадоксы. Но даже если рассматривать лишь одну какую-нибудь аксиоматику, возникает вопрос строгого обоснования используемой логики, на которой мы формулируем аксиомы. Логических парадоксов ведь тоже довольно много, да и самих разновидностей логики существует изрядное количество: какое-то время назад многие математики активно выступали против классической логики в пользу интуиционистской, но даже в рамках привычной всем логики возникают вопросы использования логики более высокого порядка нежели первого, или необходимости рассматривать модальную логику, или же нашей правомочности в принципе рассматривать объекты бесконечной природы. Во Вселенной ведь судя по всему лишь конечное число частиц, так имеем ли мы право мыслить о всяких там континуумах и счетных множествах в математических рассуждениях? Не является ли это всё одним большим заблуждением? Эти вопросы не стоят сейчас на полном серьезе в математике, но тем не менее они показывают, что корректность математического доказательства — вещь очень относительная.

Конечно, какого-то уровня строгости рассуждения надо придерживаться, но непонятно кто имеет эксклюзивное право устанавливать эту границу формальности, которой должен следовать учащийся. Кто вообще придумал, что ровно эпсилон-формализм (или любой другой) является необходимым формализмом для любого студента? Почему в институте не принимают графические «доказательства», но принимают рассуждения никак не обозначающие свойства полноты вещественной оси и измеримости множеств, как данное?

Способен ли этот формализм, преподающийся на инженерных специальностях, убедить глубоко мыслящего, понимающего и дотошного человека? Очевидно, нет. Делает ли этот формализм материал проще и интуитивнее? Тоже, очевидно, нет. Является ли сам этот подход широко применимым и полезным? Да он вообще устарел, чрезвычайно сложен и громоздок. Сам Коши, используя эпсилоны и дельты, очень часто лепил ошибки и после публикации какой-нибудь «теоремы», тут же выпускал вторую публикацию вдогонку в духе «ой, извините, я ошибся, на самом деле там вот так должно быть». В современной математике этот формализм заменен более общими и простыми концепциями. Так логично ли требовать от студентов знать и изучать это? Существует ли вообще какой-либо формализм и доказательства, которые необходимо знать?

Поэтому я и утверждаю, что цель доказательства — убедить. В научном сообществе задачей является убеждение рецензентов. Это довольно хороший подход: если большое количество профессионалов за какое-то время, подробно изучая ваше рассуждение, не нашло в нем никаких недочетов и контрпримеров, мы можем утверждать, что это доказательство, видимо, хорошее. С точки зрения абсолютности философской истины это конечно же не так, но для научной практики этого достаточно.

Для студента задачей доказательства так же является убеждение, но в данном случае уже самого себя. Когда вы убедили себя в верности какого-либо утверждения и оно не вызывает у вас сомнений, вы можете считать, что вы это понимаете. Только когда у вас нет сомнений в истинности теоремы, вы можете её смело применять.

Предположим, вы начали изучать натуральные числа и хотите понять, почему $latex xy=yx$. Предположим, что вы перебрали очень много пар чисел (скажем, сто разных пар), и убедились, что во всех этих случаях данное свойство выполняется. Допустим, вы сочли, что этот перебор является замечательным доказательством требуемого утверждения, настолько замечательным, что вы сами вполне убеждены в верности теоремы и не мыслите себе иного. Учитель в институте скажет вам на такое доказательство, что вы идиот и отправит служить в армию. Я же вам скажу, что вы молодец, вы действительно доказали этот факт для себя и можете переходить к следующей теме. Через какое-то время, может быть при изучении графиков функций, может быть при изучении производных, вы всё же поймёте, что ваше доказательство никуда не годится — тогда вы вернетесь в самое начало и докажете это же самое свойство чисел уже по-другому. И будет наивно думать, что это станет окончательным вашим доказательством.

Идеальная ситуация — это когда у вас есть учитель, который показывает вам в чем ваше доказательство не верно. Если вы считаете какой-то шаг очевидным, учитель должен вам показать ситуацию, в которой такой шаг является явно некорректным. В некоторых книжках для некоторых доказательств отдельно рассматриваются тонкие моменты самих доказательств, но это лишь частные случаи. По большому счету у самоучки нет никакого способа достоверно проверить является ли его понимание доказательства полноценным или нет — единственный критерием здесь является лишь ваша личная убежденность в правильности доказанного утверждения. Чаще всего и у студента технического ВУЗа тоже нет такого учителя, который способен показать неверность доказательства — там требуется лишь ответ в соответствии с программой и не более того. Понимания от вас не требуют, дать вам это понимание там никто не способен.

Сказанное имеет важное методическое следствие. Во-первых, вы должны принять за правило не изучать строгие формальные доказательства на более глубоком уровне, чем это требуется лично вам. Если вам очевидно, что $latex xy=yx$ из геометрических построений, не стоит лезть в теорию множеств. Если вам очевидно, что предел суммы равен сумме пределов, потому что это довольно логично (если $latex x_n$ приближается к $latex a$, а $latex y_n$ приближается к $latex b$, то было бы странно, если бы $latex x_n+y_n$ приближался к чему-то иному, нежели к $latex a+b$), то наплюйте на строгое доказательство. Именно сам эпсилон-формализм вам нигде кроме этого и парочки подобных очевидных доказательств не пригодится. Так не тратьте время.

Второй методический момент связан с тем, как вообще человек мыслит при доказательстве чего-либо. Я очень сильно сомневаюсь, что какой-либо математик начиная думать о теореме, начинает с того, что произносит в голове фразу: «Пусть функция f равномерно непрерывна на замкнутом интервале $latex [a;b]$ и дифференцируема по крайней мере десять раз в некоторых окресностях точек x, y и z; выберем для каждой из этих точек такое положительное эпсилон и натуральное эн-большое, что…». Люди просто не умеют так думать, хотя это именно то, что требуют отвечать в институте.

Можно рассмотреть набросок доказательства основной теоремы алгебры, который я привёл выше. Данное «доказательство» совершенно неформально и не строго, но это хорошая идея, которая подсказывает, каким путем идти дальше. Попытки формализовать это доказательство и заполнить пробелы, которые имеются, приводят уже к доказательству в том виде, как оно публикуется в учебниках и научных статьях. Со всякими эпсилонами  и эн-большими. Но изучать математику именно в таком формализованном виде, не пытаясь обратить внимания на неформальную интуицию, скрывающуюся за определениями — не правильно. Первоначальна в рассуждениях почти всегда интуиция и неформальные построения, а лишь затем добавляется строгость.

Таким образом получается, что ваша личная интерпретация доказательства, пусть даже и неформальная и где-то что-то упускающая, оказывается гораздо более ценна, нежели целиком точное и формальное изложение. Гораздо ценнее, если вы понимаете интуитивно теорему, нежели чем если вы зазубрили доказательство и умеете его выдать у доски. Формальное же доказательство в учебнике дается не для того, чтобы вы разобрались именно в нем и знали именно его в том виде как оно дано, а для того, чтобы подсказать вам идею, которая стоит за утверждением и объяснить почему теорема имеет вообще место быть.

Через какое-то время самостоятельного изучения математики вы научитесь читать формальные выкладки очень быстро и бегло, и на лету выхватывать стоящую за ними идею. Понимание необходимости таких выкладок по идее должно придти при рассмотрении более-менее продвинутых тем вещественного и комплексного анализа, где появляется уже много совершенно не очевидных теорем, далеко не каждая их которых имеет хоть какую-то интуитивную трактовку. Набивание руки на изучении таких доказательств приучит вас легко их интерпретировать. Поэтому если на начальном этапе вам вдруг покажется, что какой-то факт и так понятен и не требует доказательства — пропускайте это доказательство. Если вы видите очевидное рассуждение, устанавливающее справедливость какой-то формулы, и не понимаете зачем в учебнике даны тонны непонятных выкладок — ориентируйтесь на своё рассуждение и плюйте на выкладки в учебнике.

Ваша личная интерпретация и понимание математики на порядок важнее того, что вам навязывают.

Помочь в развитии навыков доказательства могут два таких совета:

1) Иногда, не слишком часто, внимательно просматривайте все условия теоремы, и по каждому из условий задайте сами себе вопрос: «Где используется это условие? Что было бы, если бы это условие не присутствовало, каким именно образом доказательство развалилось бы?» Такие размышления со временем научат вас строгому мышлению и понимаю математического формализма.

2) Для каждой теоремы с не очень простым доказательством, спрашивайте сами себя: «Каким именно образом автор доказательства до него додумался? Какая у него была первоначальная неформальная идея?» Это научит вас понимать интуицию, которая кроется за формальными выкладками.

Последовательность изучения

Еще она важная ошибка современного образования заключается в попытке излагать материал последовательно и аксиоматично. Вначале без какой-либо мотивации вас пичкают анализом, затем, лишь через пару-тройку лет, когда вы всё забудете, вы вдруг обнаруживаете, что оказывается дифференциалы действительно нужны в методах оптимизации, которые правда сами не понятно где используются (не все же диеты для американской армии составлять).

В идеале прежде чем браться за изучение какого-то материала, вам нужно увидеть проблему, которую вам интересно решать. Это даёт мотивацию и понимание чего вы собираетесь получить от изучаемой дисциплины.

У разных людей мотивация может быть различной. Теоретику может оказаться интересно разрешить противоречия и неполноту доказательств в какой-то теории, либо же просто попробовать построить какие-то рассуждения в каких-то нестандартных условиях, и тогда он станет читать про теорию множеств и формальную логику. Финансист, попытавшись анализировать цены на рынке, неминуемо придет к необходимости изучать стохастические процессы и необходимые для них области математики. Программист, изучающий алгоритмы, может заинтересоваться комбинаторикой и теорией вероятностей.

В институтах почти никогда такой мотивации не дают. Можно услышать общие фразы типа «это имеет широчайшие применения в различных отраслях народного хозяйства и при анализе финансовых рынков», но это бессмысленный набор слов. Чтобы у вас была реальная мотивация и понимание того, что вы изучаете, вы должны на конкретном примере знать где изучаемая вами теория пригодится, в каких конкретных задачах.

У совсем начальных областей математики, программу по которым я набросал выше, есть лишь одна мотивация для изучения — использование этих материалов далее в каких-то областях уже более продвинутых или прикладных, но именно в рамках самой математики. На практике все перечисленные мной выше вещи действительно чаще всего не встречаются (кроме натуральных чисел при подсчете сдачи в магазине), но они необходимы как строительные кирпичики для других областей науки. Например, ни формулировка, ни ответ дифференциального уравнения не содержит никаких комплексных чисел, но без них невозможно развить и понять теорию. Ни формулировка, ни ответ задачи линейного программирования не содержит упоминания многомерной геометрии, но без нее невозможно понять симплекс-метода, используемого для решения этой задачи.

Поэтому довольно полезным может оказаться вначале беглый поверхностный просмотр сразу многих учебников и как можно более частое забегание вперед. Возьмите за правило читать параллельно много книг, ставя критерием на начальном этапе скорость прочтения. Если вы вдруг не понимаете какую-то теорему, то у вас есть два пути: либо засесть с ней на пару недель и не факт, что корректно её истрактовать в итоге, либо пропустить её и изучать этот или другой материал дальше. Последний подход намного лучше, так как в девяти из десяти случаев окажется, что либо вам просто попался учебник с не самой удачной формулировкой или доказательством (даже если автор — очень крутой мужик, он мог запросто написать что-то неудачно), либо вам эта теорема не нужна вовсе, либо ваша трудность возникла из-за того, что вы не видите её применения, либо учебник ориентирован на людей с другим уровнем либо другими целями. Часто абстрактная формулировка не даёт вычленить в теореме важность её как инструмента — именно поэтому забегание вперед и пропуск непонятного часто оказывается очень плодотворным, поскольку вы сможете увидеть, где именно и как эта теорема найдет своё применение.

Правда, с забеганием вперед и поверхностным знакомством надо тоже знать меру. Вы все же должны понимать, что вы читаете, и поддерживать в голове баланс из общих знаний что откуда берется и строгих доказательств. Я насмотрелся в своей жизни на кучу финансовых аналитиков, портфельных и риск менеджеров и подобных, которые умеют очень долго вести разговор на математическую тему, сыпать терминами и фамилиями, они знают названия кучи теорем, областей математики и что откуда берется, но при малейшей попытке как-то конкретизировать разговор, выясняется, что они вообще не понимают даже в общих чертах о чем они балаболят. Такому, как я понимаю, учат в разных там экономических ВУЗах. Это стыдно.

Что касается самого материала, то тоже нужно понимать, что в общем-то что действительно важно и нужно тоже нет никакой достоверности. Инженеры будут вас уверять, что обязательно надо изучать интеграл Римана со всеми строгими выкладками и читать про равномерную сходимость, однако студенты и преподаватели НМУ вам расскажут о том, что интеграл Римана не нужен, а нужен интеграл Лебега, а вместо равномерной сходимости надо изучать банаховы пространства в самом общем виде. Правильный ответ как учить скорее всего может дать лишь каждый отдельно взятый учащийся, и этот ответ будет правильным исключительно для него, в зависимости от его личных целей и того, как ему проще понимать материал. При всей абсурдности такого курса как «аналитическая геометрия» в институтах, если вам просто надо быстро понять свойства эллипса для прикладной цели, то вероятно будет эффективнее действительно почитать книгу по «аналитической геометрии», а не копаться в свойствах квадрик, хотя конечно последнее даст вам куда лучшее понимание вопроса.

То же самое касается и учебников и самого набора тем для изучения. Приведенный мной выше набросок того что надо изучать сам по себе весьма относителен. 99% инженеров живут не зная ни мультиномиального коэффициента, ни производящих функций, ни даже теоремы Евклида. Им это не не мешает изучать свою область, хотя я считаю, что эти темы были бы пусть даже и не полезны непосредственно всем, но интересны. Но вероятно в их ситуации действительно полезнее читать о чем-то другом. Мой набросок, к примеру, лишь поверхностно рассматривает геометрию Евклида на плоскости, рассчитывая на то, что поняв основы алгебры и анализа, школьные теоремы читатель сможет выводить сам, и совсем не рассматривает проективную или риманову геометрии, которые так же могут быть крайне полезны прикладникам, но лишь в частных случаях. Возможно, что многим прикладникам придутся более по душе простые книжки по проективным плоскостям и геометрии на сфере, а не абстрактные конструкции через векторные пространства и многообразия, и такой подход может оказаться продуктивнее, если вас интересуют только несколько основных результатов.

На этом я закончу. Меня только что (несколько минут назад) бросила девушка и я не могу собраться с мыслями, чтобы как-то осмысленно подвести черту под этим текстом.

Май 14th, 2013

Детство в 90-е

Некоторые читатели просили меня рассказать о моем детстве. Я долго отнекивался, а тут вдруг в голове включилась ностальгическая волна — решил, а почему бы и не написать. Никакого нарратива тут не получится, поскольку детство приходит в памяти отдельными короткими и яркими воспоминаниями, а не связным куском текста. Поэтому эта заметка будет чем-то вроде «20 фактов обо мне», без какой-либо логики или хронологического порядка, бессвязно, без логического завершения, без морали. В точности как это сейчас часто и принято в блогах.

Самое яркое воспоминание детства — это когда от нас ушел отец. Мне тогда было 7 лет, жили мы довольно богато. Отец еще в СССР был главным бухгалтером в Министерстве Машиностроения, а после подался в крупный бизнес. Мы ни в чем себе не отказывали, но примерно в 91-ом году он начал спиваться. Я отлично помню его рассказы о совещаниях и симпозиумах, а так же многочисленных гостей у нас дома — крупных чиновников и политиков. Все они пили беспробудно, возлияние было обязательным ритуалом любого министерского мероприятия. Но все эти чиновники как-то держались и не скатывались в алкоголизм. Отец не удержался. Мы в один миг превратились из семьи зажиточной в семью малоимущую.

Хотя на самом деле он не совсем ушел — его выгнала мать как раз за алкоголизм. В ночь, когда это произошло, мама сказа, что папа уехал в командировку. Наверное, думала, что я дурак. В ту ночь у меня была самая сильная истерика в жизни. После этого у меня начались нервные тики и меня водили к психиатру, который давал мне таблетки, от которых я на какое-то время впадал в полный ступор и не реагировал когда ко мне обращались. Потом таблетки прекратились и я вроде как стал нормальным.

Вообще истерил в детстве я довольно много. В основном с целью влиять на маму. Я многократно объявлял голодовки (честно держал их 2 дня), разбивал сам себе нос и губы кулаками и о стену. Почти никогда мой протест не имел успеха — вместо того, чтобы поддаваться и идти на уступки, мама выдвигала ультиматумы, что если я не прекращу насилие над собой, то она отправит меня в психушку.

Помню однако, что я никогда ничего не просил мне купить, все мои требования были лишь политическими — отодвинуть срок, когда надо отправляться спать, смотреть телевизор больше положенного времени, амнистировать какое-то другое наказание и выпустить условно-досрочно из угла. Исключений из этих политических требований я помню только два: в 7 лет я уговорил родителей купить мне компьютер (отец тогда еще жил с нами), а так же чуть более в раннем возрасте я уговорил родителей купить мне трансформер.

Вообще обладать трансформером всегда было моей самой большой мечтой после компьютера — а это китайское говно, весьма дорогое, сломалось через несколько дней использования. Это была вторая крупная детская моя истерика, которую я запомнил, после ухода отца. Родители тянули с покупкой несколько месяцев, у всех в классе были трансформеры, и сам механизм поражал мое воображение. То чувство горечи утраты, когда у трансформера отломилась нога, я запомнил как одно из самых ярких за всё мое детство. Производителей некачественных детских игрушек, которые впариваются втридорога в цветной упаковке, а потом ломаются, я бы расстреливал без суда и следствия.

Еще я помню, как во дворе через дорогу рос высокий красивый цветок с толстым стеблем, и я питал к тому двору страшную ненависть — у нас росла лишь какая-то трава. Однажды я пришел в тот двор и тот цветок поломал и растоптал.

Из тех же соображений я бил стекла в подвалах и на чердаках. Было желание бить так же стекла и в квартирах на первых этажах, но я так и не осмелился.

Помню, я кидал всё что можно в костры. Найденные или украденные из дома патроны, куски шифера, бутылки — всё что имело хоть какой-то потенциал взорваться, отправлялось в огонь. Впрочем, из всех взрывов, я почему-то запомнил только взрывающиеся в костре куски черепичной крыши. Кидать всё подряд в костры было общим развлечением детворы, и довольно регулярно в новостях проскакивали сводки о том, как кому-то то руки оторвало, то голову. Из моей среды никто так и не покалечился, что в общем-то чудо — сейчас я понимаю, что в детстве десятки раз был в шаге от гибели или инвалидности. Дуракам всё таки действительно везет.

Третья моя крупная детская истерика, которую я запомнил, была как раз из-за того, что я развел огромный костер в дачном дворике и прибежал к родителям похвастаться, что уже вот-вот огонь разгорится и сожжет и дом, и машину и деревья. Тогда я действительно чуть нас всех не спалил, но то что такой крутой костер затушили — было безумно обидно.

Однажды я поджег кресло в квартире. Регулярно жег зажигалкой тюлевые занавески в комнатах — в них очень смешно образовывались дырочки. Когда родителей не было дома, я на кухне жег целлофановые пакеты и резину. Я на самом деле очень теперь боюсь заводить детей, не дай бог будут расти такими же как и я.

Помню, ребята во дворе смастерили дымовуху, напихав в старую куклу каких-то горючих материалов. Мы кинули её в шахту лифта, а в самом лифте остановили какого-то деда, который сидел запертый в дыму, пока не приехали пожарные. Наблюдая спасательную операцию, мы были счастливы успеху нашей дымовухи, и тому, что на нас никто не подумал. Я помню, что это не только мы были такими — все дети вообще были тогда жестокими ублюдками. Впрочем, сейчас вроде бы ничего не изменилось особо в этом плане, но я не могу быть полностью уверен.

Кстати, я до конца школы скрывал ото всех тот факт, что живу без отца, хотя в нашем классе из 30-ти человек я могу вспомнить лишь двоих из полноценных семей. Но после шока, пережитого в детстве, я очень этого стыдился, хотя глядя на некоторых отцов, можно было бы подумать, что неполноценная семья — это даже лучше. Так, отец одного моего школьного товарища рассказывал мне о зоне. С тех пор я знаю, что в тюрьме нельзя играть «на просто так», потому что «в жопу выебут», нельзя заговаривать с петухом чтобы не запомоиться (слово «зашквариться» появилось намного позже), а так же знаю как ответить на вопрос про два стула с «пиками точеными и хуями дрочеными, на какой сам сядешь на какой мать посадишь», когда меня посадят на зону.

Сына своего тот мужик не любил — считал его лохом. А ко мне хорошо относился.

Внутренне же я всегда в школе был ссыклом и тихоней. Именно попытка пересилить страх всегда толкала меня первым проверять тарзанки и лезть в драки. К концу школы я таким образом успел заработать пять серьезных сотрясений мозга. Были, впрочем, ребята, которые лезли проверять новые тарзанки впереди меня. Я думаю, что на самом деле они были еще большим ссыклом, чем я, и тоже пытались что-то доказать себе и окружающим.

Еще в 13 я был футбольным фанатом. Футбол ненавидел, игры не смотрел, футболистов не знал и заочно не любил, но в угоду моде утверждал, что «болею за Динамо». Такой же глубины футбольным фанатизмом обладал мой сосед по парте, азербайджанец. Только болел он за Спартак. По этой причине однажды на уроке русского языка мы договорились драться после уроков один на один, чтобы выяснить, чья команда круче.

Он занимался карате, а я был доходягой. В первые минуты боя я умудрился разбить ему бровь, после чего он меня свалил, мои руки оказались у меня за спиной, а он сел мне на грудь. Ни освободиться из этого положения, ни как-то защититься я не мог. Он спрашивает:

— Сдаешься?

— Нет.

Серия ударов в лицо. Опять:

— Сдаешься?

— Нет.

Так продолжалось очень долго. Кровью я чуть ли не захлебывался, дышать было невероятно трудно. Хуже было психологически — вокруг толпились одноклассники, в том числе самые красивые девочки класса. Я понимал, что бой проигран, но сдаться не мог. В какой-то момент я всё же проявил слабину и на вопрос «Сдаёшься?» ответил утвердительное «Да». Мой оппонент этого то ли не услышал, то ли не захотел услышать. Спросил опять:

— Сдаешься?

— Нет, — срочно одумавшись, снова ответил я.

Я думаю, если бы в то время были телефоны с камерами, то я бы стал звездой какой-нибудь телепередачи с Малаховым, или по крайней мере Ютуба.

Продолжался «бой» сорок минут — начиная с момента как мы вышли с урока, до следующей перемены, когда из школы вышли другие, более старшие ребята, такие же «неславяне» как и мой оппонент, и разняли нас. Забавно, что в этой истории моя мама запомнила, что меня избил «черный», а я запомнил ребят, которые разняли, и одноклассников, которые стояли и смотрели.

Один из парней, который тогда нас разнимал и тащил меня практически бессознательного к школьной медсестре, два года назад попал в аварию и с тех пор лежит парализованный. Он очень хороший человек.

Еще я помню, что всем врал о своих отношениях с девушками. Вначале я говорил одноклассникам, что лишился девственности в 12. Потом в 14. На самом же деле лишился я ее в 17. Помню, что так же врали все мои одноклассники.

А алкоголь я пить начал только в 14. В 90-х это считалось уже слишком поздно — почти все начинали пить раньше. Незадолго до того, как я начал пить сам, в другом классе умер от водки мальчик 12-ти лет — не выдержал организм. В школе этому событию уделил внимание только физрук. Он сказал, что мы все потенциальные наркоманы и алкаши, и что если не хотим подохнуть, то нам не надо пить и употреблять наркотики. Сам он был при этом алкашом, как говорили, хотя пьяным я его не видел.

Если рассказывать детали о школе, то может показаться, что эта школа была какой-то специальной коррекционной для каких-то малолетних отморозков. Когда мы перешли в 9-ый класс, классный руководитель прочел нам лекцию о том, что с 14-ти лет начинается уголовная ответственность, и что теперь нам наши выходки не сойдут с рук. Насколько я знаю, в других школах было хуже, наша считалась очень даже не плохой.

Примерно в то же время произошёл первый громкий теракт на территории Москвы — взорвали дома на Каширском шоссе. Это было очень страшное время. Сейчас к терактам все уже привыкли и не обращают на них внимания, а тогда и я, и очень многие дети действительно боялись, что следующим домом взорвут наш, и быть погребенным под завалами было страшно.

По телевизору рассказывали истории о том, как жильцы домов самоорганизовывались в народные дружины и дежурили ночами во дворах и у подъездов с целью предотвратить новые теракты. Это по-моему был единственный случай за всю жизнь, что я помню, чтобы власти сами призывали людей организовываться. Я хотел вступить в такую дружину, уговаривал маму участвовать в организациях, но на деле ни в нашем районе ни в соседнем никаких организаций по охране домов не было. Я рвался сделать всё сам и следить за террористами на улице один, но мама не выпускала меня ночью. Говорила: «Взорвут — значит взорвут. Отмучаемся наконец».

В связи с терактами я запомнил сюжеты по телевизору — на экране нельзя было увидеть трупов или кусков тел, зато показывали детские игрушки на руинах. Эти сюжеты производили сильнейшее впечатление. Может быть где-нибудь ночью на маргинальных каналах трупы и показывали, но я этого не видел. Сейчас мозги и кишки, дырявые головы и оторванные конечности показывают по всем каналам, и все относятся к этому равнодушно. Хотя девяностые были страшными и дикими временами (что в детстве, впрочем, совершенно не ощущалось), я считаю, что люди тогда были намного чище, чем сейчас, хотя и в то время эта чистота была весьма относительна.

Одной из главных ценностей детства была порнография. Её было ничтожно мало, и как объект для мастурбации мы использовали любое изображение фрагмента женского тела. Нам тогда было 11-12 лет, я как раз в то время впервые в жизни кончил. Мы покупали жвачки с вкладышами, на которых были изображены обнаженные девушки, лишь для того, чтобы на них дрочить. Мы смотрели музыкальные клипы и рекламу, чтобы дрочить на короткие юбки и на чулки. Мы дрочили на фрагмент в фильме «Горячие головы», в котором какой-то мужик капал мёдом на живот какой-то бабе, причем, насколько я помню, никаких половых признаков женщины в фильме показано не было. Поскольку видеокассет и видеомагнитофонов было мало, мы собирались втроём-вчетвером на квартире у одноклассника и дрочили все вместе.

В плане онанизма я был самым скромным. Из-за фимоза у меня не открывалась головка, и из-за этого я никогда не снимал штанов, когда дрочил при одноклассниках. Очень стеснялся и никому не показывал свой член. Остальные одноклассники не стеснялись. Помню, мы устраивали соревнования кто быстрее кончит. Некоторые одноклассники пробовали сперму на вкус. Я не пробовал — мне было противно. Впервые вкус спермы я узнал лишь в 27 лет — я кончил девушке в рот, она сглотнула, и мы тут же стали целоваться. Но привкус остался.

Я вообще думаю, что дефицит порнографии и повсеместное распространение уголовной субкультуры в 90-е стало причиной нынешней повальной гомофобии и борьбы за нравственность с повальным же распространением различных опасных сексуальных девиаций. Недоступность и запретность порнографии и сексуальной темы породила огромное количество фетишистов и людей с сексуальными комплексами, а уголовная субкультура сделала многие вполне невинные фетиши и шалости запретными. В итоге у нас сейчас все поголовно гомофобы, но те же гомофобы из своих гомофобских побуждений, как только считают, что им предоставилась такая возможность, занимаются в первую очередь гомосексуальным насилием, нередко различными предметами и с особой жестокостью, например в тюрьмах, или же вообще просто так, как в недавнем случае в нацистом Боровиковым или убийством Владислава Торнового.

О школе у меня остались очень негативные воспоминания. Два главных воспоминания — тотальное невежество учителей (за редким исключением), и тотальное лицемерие. В лицо это «любимая учительница», за стенами класса «старая сука». Лицемерили и сами учителя — плели интриги между собой, в которые вплетались дети. Либо ты любимый ученик у учителя по русскому языку, либо у классного руководителя. Некоторое количество неудачников не любили оба учителя, самые же лживые, лизоблюдские и лицемерные ученики были любимчиками у обоих. Для этого надо было ругать одного учителя и хвалить в лицо другого и наоборот в зависимости от урока. Родителям моих друзей классный руководитель рассказывала, что я на них плохо влияю, и советовала им со мной не общаться. Моей маме классный руководитель говорил то же самое про моих друзей. Это видимо была её месть за то, что я не участвовал в школьных спектаклях, которые для классного руководителя были очень важны. На вручении аттестатов она меня единственного назвала не по алфавиту, а где-то в конце списка.

Некоторые учителя были прекрасными методистами, некоторые были идиотами. Одна учительница по математике рассказывала нам неправильный способ умножения чисел в столбик. Она просто сама не поняла алгоритм по которому умножаются числа, и преподавала нам его в соответствии со своим представлением. При всех разговорах о сильном советском образовании, большая часть родителей, даже зная, чему учат в школе на математике (тогда очень многие мамы проверяли уроки у детей), не заметила никакого подвоха в вычислениях. Скандал подняла моя мама и мама моего друга, после чего учительница по математике сказала, что «это был новый научный метод умножения, его еще не успели широко апробировать, и видимо она поспешила с его внедрением».

Другая математичка была прекрасным педагогом и математиком. Её все обожали и любили у неё математику, но любили так же над ней и подшутить из-за смешной нерусской фамилии и имени. Продержалась она чуть больше года, а потом у неё видимо сдали нервы — она резко превратилась в самого равнодушного, несправедливого и циничного преподавателя. Орать начала больше всех других учителей вместе взятых, полезные знания, которые она нам сообщала, стали стремиться к нулю.

Был прекрасный учитель английского. Материал знал отлично, доносил его великолепно, отношения с учениками у него складывались прекрасно. Его очень уважали и родители, и дети, и другие учителя. Он продержался год, а потом очень быстро спился. Он пришел работать в школу сразу после института, был наверное самым молодым учителем, всегда ходил в пиджаке и галстуке. Когда он начал пить, то бывало такое, что он просто спал в классе на стуле несколько уроков подряд. Ученики заходили на перемене и уходили, он этого даже не замечал. Когда почувствовали его безобидность и свою безнаказанность, то на его пиджаке мы стали рисовать мелом, в волосы вытряхивали мусорное ведро. Естественно, что я был в этом в первых рядах. Когда ему спящему уже отвешивали откровенные подзатыльники, он реагировал лишь отрывочными невразумительными фразами типа «Ааа, ребята, как вы сюда попали, где мама?», и дальше проваливался в сон.

Потом его уволили и он не мог найти работу. Через какое-то время он приходил в школу, околачивал все кабинеты, часами сидел на первом этаже, улыбался детям (вообще был один из самых улыбчивых и доброжелательных людей того времени, что я запомнил), умолял взять его обратно, обещал, что больше не будет пить. Взяли, а он опять спился. Его опять уволили и он опять сидел неделями возле школы и караулил учителей, завуча, директора, чуть ли не на коленях умоляя дать ему работу. Потом пропал. В то время детям это всё казалось очень смешным.

По обществоведению мы разбирали разницу между коммунизмом и демократией. Коммунизмом называлось «когда в магазине мало продуктов, но всё можно купить», а демократией «когда продуктов много, но денег чтобы их купить нет». На таком примерно уровне мы обсуждали что из этого хуже.

Географичка была молодой, красивой и с огромными сиськами. Я был в неё влюблен, и как и все мелкие мальчишки, выражал свою влюбленность отвратительным поведением. Я забирался под парту и заглядывал ей под юбку, срывал уроки, орал, говорил ей, что женюсь на ней когда вырасту, бил её по заднице при классе, несчетное количество раз она вызывала директора только из-за меня одного. Мне тогда было лет 11. Потом она стала глубоко верующей, стала ходить в платке и с прочей религиозной атрибутикой. Иногда мне кажется, что к этому я отчасти приложил руку.

Аналогично было с учительницей по английскому, но уже в возрасте 14-ти лет. Я тогда проявлял чувства уже не так бурно и ярко, но тоже довольно глупо. Отпрашивался в туалет, выкуривал там сигарету, а последнюю затяжку делал уже около класса. Входил в класс и выпускал дым чуть ли не ей в лицо. На её бурное возмущение отвечал высокомерно: «Да мне просто покурить приспичило от нервов, чего ты кипишишься-то?».

Это было примерно то же, почему мальчишки дергали девчонок за косички, просто я шёл дальше всех и не останавливался даже перед учителями. За косички я девок тоже дергал, но так же плевал им в лицо, хватал за задницы, кидал жвачку в волосы, одной девочке разорвал штаны, потянув за задние карманы. Часто говорят, что девочки развиваются раньше мальчиков, так вот я считаю что это неправда: мы с одноклассниками уже в 10-11 лет знали в точности, чего мы хотим от женщины.

Самая большая утрата детства — прогул занятий в день, когда случилась драка между двумя моими одноклассницами, очень красивыми девочками. Как мне рассказывали, они таскали друг друга за волосы, порвали друг на друге кофты и лифчики и дрались прямо в школе тряся голыми сиськами. До сих пор жалею, что не увидел.

Еще один одноклассник однажды наблевал прямо на уроке на парту, упал в собственную блевотину и так и заснул пьяный. Его отстранили от занятий на неделю — он сразу же приобрел огромный авторитет и уважение в среде ребят.

Многим одноклассникам родители давали деньги на булочки, а они покупали на них пиво и сигареты. Мне мама предлагала давать деньги на булочки, но я отказывался. Вместо этого я докуривал бычки, стрелял сигареты и подбирал пивные бутылки из мусорных ведер, допивая из них алкоголь.

Когда я только начал курить, а мне тогда было 14 лет, меня сразу же застукали за этим занятием. Я не растерялся, и сказал маме, что курю уже два года, зависимость у меня очень сильна, и так что бороться с моим курением бесполезно, лучше смириться. Мама сказала, что раз уж курю, то надо, чтобы я курил не дерьмо какое-нибудь, а хорошие сигареты. Она сама стала покупать мне «Парламент» (либо давала деньги на сигареты, точно я уже не помню), но при условии, что не буду раздавать сигареты, потому что они дорогие. В итоге в школе я курил Яву, Приму, Союз Аполлон и Беломорканал, причем чаще всего стрелял, а дома курил Парламент. Когда ребята узнали этот факт, меня стали в шутку называть «жидом».

Примерно в 16 лет я купил у знакомого боевой пистолет. Он скорее всего нашел его где-то в луже, а мне же рассказывал блатную историю происхождения ствола. Я повсюду ходил с ним, а потом этот пистолет у меня отняли менты, когда я им пьяный где-то размахивал на людях (патронов к нему у меня не было). Просто посмотрели  пистолет и отняли — не составляли ни протокола, ничего. Обычный такой гоп-стоп, где менты меня по сути ограбили. Видимо, ценность обладания личным стволом с точки зрения денег и карьеры для патрульного была выше, чем возможное заведение уголовного дела в отношении подростка.

К окончанию школы я уже окончательно связался с блатной компанией, и одноклассников не признавал за достойных людей, считая, что моя карьера будет пролегать через зоны и авторитет братвы. Из этих соображений даже не пошел на выпускной бал. Выпускной тогда позиционировался не столько как «вступление во взрослую жизнь», сколько первая взрослая пьянка. Хотя пили все и до этого и намного раньше, в том числе самую дешевую водку, в том числе и с учителями. В основном это происходило в загородных поездках с классом, в которых я так же никогда не участвовал.

Каких-то радостных воспоминаний о школе у меня не осталось. Аттестат я потерял. Когда школу сносили, то в последний день, пока полуразрушенное здание еще стояло, я пробрался на территорию и обоссал там вместе с бывшими одноклассниками всё, что позволяли обоссать наши мочевые пузыри. Честно говоря, немного стыдно. Мне тогда уже было примерно в районе 23 лет.

Дворовая компания у нас была многонациональной, но о национальности никто не думал. Никакого даже намека на национализм в детской среде не было. Мы знали, что Эльдар, Иса и Риад азербайджанцы, Олег грузин, Артур армянин, Юля еврейка, а Диляра и Неля вообще не пойми кто, не говоря уже о Нубарике, но нам это было неважно — мы все ощущали себя равными, одинаково учились в школе, гуляли в одной компании, дружили все вместе.

Какие-то национальные стереотипы и вражду закладывали в голову вначале взрослые (именно от них дети узнавали такие слова как «жид» или «хач» и чем это плохо), а затем субкультура. Появились скинхеды и расистски настроенные футбольные фанаты, которых было хоть и немного, но тем не менее само их существование заставляло говорить нас о расовых вопросах. Вероятно, всё это было и раньше, но для нас это стало известным в возрасте 11-ти лет. Тогда чистота расы касалась только негров, которых на самом деле было днем с огнем не сыскать и рэперов, которые слушали «музыку черных», а среди самих футбольных фанатов и скинхедов было полно кавказцев и азиатов — отдельным скинхедам это казалось неприемлемым, но в целом это была нормальная ситуация. Тот же азербайджанец, с которым я дрался, выступал за чистоту белой расы, относя себя однозначно к белым. Опять же потому что это было модно у футбольников и никто не видел в этом противоречия — в действительности все этносы и расы, кроме негров, которых никто никогда не видел, были едины.

Первые ощутимые ксенофобские настроения среди детей нашего района и подростков в отношении именно кавказцев начали возникать, когда в Москву стали приезжать беженцы из Чечни. Именно по тому что я видел во дворе, я запомнил две волны беженцев. В первой волне были в основном женщины и маленькие дети — забитые нищие люди, живущие в каких-то видимо совершенно нечеловеческих условиях. От них воняло, их одежда была грязной, они избегали общения с кем-либо. Не знаю как к ним относились взрослые, но дети знали, что они «воюют против русских», плюс они были очень удобной мишенью для травли. В школе травили детей за бедную одежду и смешную фамилию, а тут подвернулись вообще идеальные объекты для преследования — нищие женщины и маленькие девочки, которые никогда не смотрели в твою сторону, общались очень тихо, были совершенно безобидны, часто от оскорбительного выкрика сразу поспешно скрывались из виду, никогда не смели сказать тебе слова. Помимо простого удовольствия от травли того, кто слабее нас, мы ощущали в этом справедливость — ведь они были нашими военными врагами, как мы тогда считали. Стыдно, но я в этом тоже участвовал.

Вторая волна чеченских беженцев была уже совсем другой. Наши ровесники, чеченцы лет 14-16 открыто говорили, что нас презирают, что мы свиньи, бывало лезли в драки, хотя физические конфликты были очень редки — они умели ставить себя так, что все в округе знали, что они сильнее, и с ними просто боялись затевать реальные конфликты. Драки русских между собой случались в десятки раз чаще. У новых чеченцев было много денег — всем было известно, что они платят взятки в школе и ментам, о чем сами же они и  рассказывали не без доли пафоса. Они ставили себя в оппозицию абсолютно всем — их ненавидели все национальности. Общались конечно, вращались в одной компании, но в то же время и боялись. Физически они были гораздо сильнее любого из нас и гораздо агрессивнее, но перед их агрессией практически все пасовали. Дружбу они водили только с парочкой крайне отмороженных русских типов, которые впоследствии отправились топтать зоны за убийства. Прямых стычек с чеченцами никогда не было кроме каких-то отдельных конфликтов, но то что они презирали нас, а мы их — это было фактом.

Показательным был случай, когда в США взорвали башни-близнецы. Сразу после этого чеченские дети принесли в школу букеты цветов, всем встречным девушкам дарили розы, разливали шампанское и радовались тому, что «их браться покарали неверных собак». В это же время что футбольники, что скинхеды, всё так же продолжали презирать негров и рэперов, угрожающих чистоте расы и не обращая внимания на чеченцев.

Если вспоминать именно об 11 сентября, то представлять чеченцев однозначными террористами, а остальных детей искренними гуманистами было бы тоже не верно. Если после взрывов на Каширском шоссе все были напуганы, то с каждым новым терактом и обсуждением его в прессе среди нас росло понимание, что быть взорванным шансы на самом деле куда ниже, чем попасть под колеса или нарваться на пьяного беспредельщика с ножом. Кровавые новости на ТВ к тому моменту стали восприниматься скорее как продолжение голливудских боевиков и захватывали дух, нежели пугали или вызывали сочувствие. А американцев к тому же многие не любили, хотя опять же никто с ними никогда не сталкивался.

После взрывов в школе ходили восторженные обсуждения вроде «А видел как тот чувак смачно из окна полетел?», «Так клёво она обрушилась! Офигенно!». Такие мысли высказывали не все, но многие. Я сам когда смотрел как самолеты летели в небоскребы, смотрел это скорее как боевик, а не как трагические события. Я подсознательно даже ждал, чтобы рухнула вторая башня, да как можно с большим количеством обломков, а лучше бы еще какие-нибудь самолеты свалились бы куда-нибудь. Такой сюжет был бы куда более захватывающим. На кадры в телевизоре я смотрел с тем же разрушительным энтузиазмом и восторгом, с каким я бегал смотреть как сносили старые дома. А через несколько дней я узнал, что в небоскребах погибла знакомая, хотя и это большого впечатления на меня не произвело.

Такие мысли вряд ли были у меня из-за того, что лично я был плохой — подобное высказывали очень многие дети. И не факт что это было связано со спецификой времени или окружающей действительностью — еще когда в относительно счастливое время начальной школы у нас умерла одноклассница от какого-то врожденного заболевания, многие дети на этот счет шутили и прикалывались. Взрослые это воспринимали гораздо серьезнее и старались помочь семье девочки, но дети были либо равнодушны, либо веселились, хотя это была наша одноклассница и подруга. Некоторые переживали, но таких было очень мало. В нас просто не было развито никакого чувства гуманности и близости другим людям — мы на тот момент еще не успели этому научиться из своего личного жизненного опыта, да и вообще что такое смерть наверное не очень понимали.

Так же я очень радовался, когда стреляли из танков по Белому дому. Тогда я был еще совсем маленьким и учился во втором классе, но это одно из самых светлых моих воспоминаний о детстве. Во-первых, мне нравились сами танки и стрельба. Во-вторых, у нас отменили занятия. Самих событий я тогда не понимал (и не уверен, что вполне понимаю сейчас), но то что не надо было ходить в школу, мне очень понравилось. Я испытывал такую же точно радость при любых заморозках или эпидемиях, да и вообще любой намек на неприятности национального масштаба всегда воспринимал с большим энтузиазмом.

Впрочем, в то же время, я зачем-то уговаривал родителей идти на протесты, и уговаривал их взять меня туда тоже. Зачем и за кого я тогда был — не знаю. Вероятно какие-то детские патриотические образы в голове подсказали, что надо быть со всеми людьми. В итоге так никуда мы и не пошли. Но главной эмоцией конечно была радость от того, что не надо учиться.

А еще я был октябрёнком. В конце первого класса меня посвятили в октябрята и дали значок. Я всегда стеснялся любых украшений — у меня никогда не было ни колец, ни цепочек, ни часов, и уж тем более никаких значков. Сразу после посвящения, как только вышел из актового зала, я первым делом стыдливо выкинул значок в мусорное ведро.

За лето атмосфера в школе поменялась, и об октябрятах, о значке и о том, что нас готовили в пионеры, никто больше не вспомнил.

Март 12th, 2013

Восстановился в МИФИ

Я восстановился в МИФИ, «ура». В глубине души надеялся, что наверное всё же не получится, но таки получилось. Не уверен, правда, что долго протяну. Либо не выдержат нервы и опять уйду (уже есть желание), либо кто-нибудь настучит, что я статьи крамольные пишу, и меня завалят на экзамене каком-нибудь или посадят на пару лет по статье 282 за разжигание ненависти к социальной группе «сотрудники университетов».

Для восстановление пришлось проходить комиссию. Было три вопроса:

1. $latex \int_{-1}^{1} x|x| dx$

Сразу ответил, что результат — ноль. Потребовали расписать подробно. Похвалили, что заметил, что функция антисимметрична.

2. Посчитать производную от той же функции $latex x|x|$. Опять же сразу написал ответ, на что мне сказали, что ответ не верный, хотя он был верный. Пытался требовать, чтобы показали ошибку, но не показали, разговаривать на эту тему отказались. В правильности ответа я в общем-то уверен — я бы вообще сказал, что давать такого рода задачи мне довольно унизительно. Я так понял, что задачу мне не засчитали, чтобы не выпендривался.

3. Попросили записать 15 в пятеричной системе счисления. Опять тут же записал ответ и тут же получил от них «не правильно». Начали требовать, чтобы я расписал решение. Расписал как мог. Начали искать где я допустил ошибку. Не нашли. Поставили «плюс-минус», потому что «не смог объяснить».

Потом начали спрашивать знаю ли я какие-нибудь языки программирования, где работаю и чем занимаюсь. Спросили, разрабатывал ли я базы данных. Мои ответы им были демонстративно неинтересны, мне их мнение было не интересно еще в большей степени, чем им моё.

В конце получил вердикт: «Ладно, так и быть, дадим вам шанс».

Из всех, кто проходил комиссию, не прошел в результате только один человек. Ему дали один вопрос, потом другой, потом третий. Все вопросы примерно того же уровня, что давали мне. Он не смог решить ни одного задания. Его спросили: «Вы числа-то хоть умножать умеете?», — он уверенно закивал головой. Его попросили умножить 11 и 12. Он не смог сделать этого даже в столбик на бумажке. При этом он умудрился как-то отучиться на положительные отметки до этого в МИЭМ на дневном на математика несколько лет. Ему сказали, что «люди, которые не умеют умножать двузначные числа, в МИФИ не нужны».

В принципе, пример показательный: я конечно тут поливаю грязью дебилов-преподавателей, но в таком же ключе можно написать и о студентах. Если дать им талантливых, хороших и грамотных преподавателей, они физически ничему такой контингент не смогут научить. Просто потому что их должны уже не учить, а лечить.

В общем в результате меня восстановили на второй курс, четвертый семестр. Потребовали досдавать пять дисциплин помимо того, что придется сдавать в течение семестра:

1. Историю Россию.

2. Психологию и педагогику.

3. Документоведение

4. Российские и международные правовые акты в области информационной безопасности

5. Электротехнику

Специальность у меня — что-то связанное с информационной безопасностью, вообще говоря чисто техническая дисциплина по идее. Из учебного плана на первый семестр технических дисциплин только три: дополнительные главы физики, теория вероятностей и математическое моделирование. Остальное какая-то гуманитарщина вроде, но точно не помню.

Три недели после официального начала учебы меня не могли восстановить, поскольку у них болел какой-то там начальник, подписи которого все ждали. Вчера, наконец, уже в середине семестра, я пришел на первое занятие.

Было два предмета: как раз дополнительные главы физики и математическое моделирование.

По физике я ни черта не понял, так как пропустил уже три недели. Лекцию особо не слушал, потому что первые же слова на лекции были «продолжим рассматривать задачу, начатую в прошлый раз». Следующая за ней задача тоже была не понятна даже в своей формулировке. В общем вместо того, чтобы продолжать слушать лекцию, я сидел и читал математику. Физику я действительно не знаю, и вряд ли начну её знать на вечернем факультете.

На математическом моделировании я надеялся что будет хоть что-то интересное, специально сел даже на первую парту, чтобы угорать по матану. Тема занятия преподавателем была заявлена как «нечеткие множества».

Увы, это оказался полнейший провал. За два часа не было сформулировано ни одного определения и ни одного математического утверждения. Все студенты два часа под диктовку записывали бессмыслицу вроде «нечеткие множества находят широкие применения в следующих отраслях хозяйства», и далее огромный список вроде «медицина, предсказание землетрясений, человеко-аппаратное взаимодействие, финансовый консалтинг, лечение сифилиса и СПИДа» и подобное. Было бы интересно сравнить эти вот «сферы применения в хозяйстве» для разных совершенно понятий. Отличаются ли списки, скажем, для нечетких множеств и теории графов? Или для гармонического анализа и многомерной геометрии? Интересно так же, приводятся ли в МИФИ и других учебных заведениях подобные списки в курсах анализа, дифуров и теории вероятностей. Я так и предвижу: «Производные функций одной переменной находят широчайшие применения в различных областях хозяйства, в числе которых можно выделить: лечение сифилиса и СПИДа, предсказание землетрясений, финансовый консалтинг, квантовая механика, человеко-аппаратное взаимодействие». Безумно смешно было бы, если бы мне это рассказали как анекдот, а не приходилось бы наблюдать это своими глазами.

Можно было бы подумать, что преподаватель считает вечерников идиотами и поэтому не даёт никакой математики, но даже по косвенным признакам становится понятно, что он совершенно некомпетентен в теме нечетких множеств. Я не хочу сказать, что он плохой человек — он может быть какой-нибудь там управленец, внедренец, инноватор, агент ФСБ и «России Молодой» (он там что-то про это говорил), замечательный муж, любящий отец, его может быть обожают соседи и собачники на собачьей площадке, например, но он совершенно ничего не понимает в математике. Предметно он конечно ничего о математике и не говорил, но по косвенным признакам, из того, как он видит себе эту науку, какую терминологию он использует и какие определения он даёт, напрашивается такой вывод. Может быть вывод этот и неверен, но лекции от этого более осмысленными не становятся.

Вообще по отзывам МИФИ претерпел ряд изменений в последние пять лет. Отчислять стали намного меньше, как говорят: один знакомый преподаватель (не буду называть факультет и кафедру на всякий случай) рассказал, что не так давно им декан в буквальном смысле запретил отчислять студентов: если у преподавателя получается минус два студента, то отсюда следует, что у института так же получается минус один преподаватель. Систему, когда хвосты были не допустимы и студентов отчисляли за любой хвост, теперь вроде как отменили.

Ну и институт уже почти целиком перешел на коммерческие рельсы, бюджетных мест не осталось практически совсем. Как говорят, это сильно отразилось на контингенте: у многих умных ребят физически нет бабла, чтобы платить за обучение, хотя в МИФИ цены за образование вроде одни из самых низких, но даже таких денег у многих хороших ребят не имеется. В кредиты влезать люди справедливо боятся. В итоге поступают не умные, а обеспеченные, проходной балл сильно падает, и если раньше преподаватели-дебилы учили вполне себе нормальных учеников, то теперь туда изначально поступают практически одни только дегенераты. Это, впрочем, даже хорошо: если раньше смышленые студенты мучились и тупели от образования в российских ВУЗах, то теперь многие смышленые люди никуда вообще не поступят и возможно сохранят как следствие свои интеллектуальные способности.

Коммерциализация образования сама по себе поднимает целый ряд интересных вопросов, которыми в России почему-то никто не задаётся. Например: если я плачу за образование, то по идее я должен получать образовательную услугу в соответствии с тем, что я хочу, а не с тем, что хочет потребовать от меня институт. «Клиент всегда прав», а с момента, как институт берет у меня деньги, я являюсь клиентом. Вот из того, что мне сейчас придётся досдавать, я не готов платить ни копейки ни за один из курсов, кроме, пожалуй, курса электротехники — его послушать в факультативном режиме мне действительно было бы интересно, но только при условии, что прежде этого я получил бы в качестве образовательной услуги хороший курс общей физики по теме электричества. Я же физикой электричества не владею совершенно, и как следствие, моя досдача курса электротехники неминуемо будет чистой профанацией. А вот курсы педагогики и психологии мне вообще не нужны — я бы на них не пошел даже бесплатно и даже если бы мне доплачивали. У меня просто нет времени.

В принципе даже за те курсы, что могут показаться интересными на первый взгляд, я бы не стал платить ни копейки за исключением, пожалуй, английского. Хотя по английскому я бы предпочёл пойти на курсы за пределами МИФИ. Теория вероятностей, интереснейшая сама по себе наука, за хороший курс по которой я бы с удовольствием заплатил энную сумму, наверняка будет дана на обычном для МИФИ уровне: без доказательств, без формализма, без важных теорем и понятий.

Учитывая сказанное, возникает вопрос, нашлись бы вообще люди, которые платили бы за образование в МИФИ деньги, если бы МИФИ не давал диплома? То есть платили бы люди именно за знания? Люди же платят за посещение спортзала, за курсы иностранных языков, за курсы компьютерной грамотности или курсы по отдельным темам типа программирования на C#. МЦНМО даже умудряется брать деньги с иностранцев за курсы чистой абстрактной математики (поясню на всякий случай чтобы меня никто не понял превратно, что я это пишу ни в коем случае не в укор МЦНМО, а наоборот как показатель крутости — курсы, которые они проводят, в том числе в рамках НМУ, действительно имеют высочайший уровень качества, компетентности и подачи материала, а преподаватели совершенно замечательные люди и специалисты).

За отдельные курсы возможно и платили бы — там действительно есть хорошие лекции и хорошие преподаватели. Но вряд ли спрос был таким же обширным, в каком эти курсы навязываются университетом. За курс английского в МИФИ, очевидно, платить бы никто не стал — они просто не выдержат никакой конкуренции с обычными языковыми курсами, флаеры которых раздают практически у каждого метро. А вот курс по математическому моделированию в том виде, в каком он преподается сейчас, явно никому был бы не нужен. Стоимость его попросту отрицательна: некомпетентный человек рассказывает ненужные вещи два часа в неделю, тратит время слушателей. Если бы посещение этого курса не было необходимым для получения бумажки под названием «государственный диплом», на этот курс никто не пошел бы даже бесплатно.

Можно продолжить мысленный эксперимент: что, если бы все курсы МИФИ (или любого другого ВУЗа) были бы бесплатны, но за плату можно было бы получить сертификат об окончании конкретного курса? Смог бы ли университет в этом случае сделать на сертификатах хоть какие-то деньги? Вот Coursera, Udacity и edX, совершенно новые стартапы — могут (не думаю что много, но надеюсь, что это будет развиваться). Даже не смотря на то, что конечно же их сертификаты не имеют никакого реального веса при приёме на работу (хотя и Udacity и Coursera уже имеют «истории успеха», когда выпускнинов набирали в какие-то околонаучные проекты), довольно большое количество людей, зная уровень курсов, понимают, что это серьезные образовательные проекты и вполне возможно, что через какое-то время сертификаты по отдельным курсам сравняются в цене с сертификатами от всяких корпораций типа Microsoft и Oracle. По-моему самоочевидно, что за сертификат по какому-либо программистскому или математическому курсу в МИФИ, если бы кто-то и заплатил денег, то только по чистому недоразумению.

То есть получается, что вся система образования в РФ — совершенно бездарное мероприятие, как в коммерческом, так и в академическом плане. С учетом того, что они еще и деньги за это берут, это уже даже переходит из разряда бездарности в разряд мошенничества. Иметь к этому какое-либо отношение не хочется совершенно — чувства брезгливости и омерзения не самые приятные. Но пока, увы, приходится вертеться в этом говне.

UPD: Препод по теорверу оказался весьма адекватным дядькой. Сам курс конечно соответствует вечернему факультету, что понятно и логично, но по крайней мере читает его адекватный разбирающийся человек и читает его очень так вменяемо и по делу.

This work is licensed under GPL - 2009 | Powered by Wordpress using the theme aav1
SEO Powered by Platinum SEO from Techblissonline