Подсмотрел у Вербицкого ссылку на чудесную статью: «Down with determinants!». Ну вряд ли для кого-то станет новостью, так как скорее всего мои читатели математической части сильно пересекаются с читателями Миши, но не продублировать ссылку не могу. Потому что поистине прекрасное.

Человек утверждает, что определители в курсе линейной алгебры должны вводиться в самый последний момент, и все изложение должно строиться без них. Что самое удивительное, читая статью понимаешь, что он на самом деле на 100% прав.

Я в принципе не являюсь ярым противником определителей: единственным объективным их недостатком является то, что они вычисляются плохо, но применять их в теоретических выкладках вроде никто не мешает. Да и наглядность вполне себе нормальная, если мыслить о них как о направленных объемах, вопреки тому, что обычно говорят. Однако из статьи удивительным образом действительно выясняется, что без определителей линейная алгебра и вправду оказывается гораздо проще.

Если кратко, то в принципе там все сводится к тому, что автор показывает каким образом любое комплексное векторное пространство разлагается в прямую сумму корневых подпространств, а оттуда уже начинает совсем элементарно выводить все остальное. Опираясь на алгебраическую и геометрическую кратность собственных значений, он вводит понятия минимального и характеристического многочленов соответственно, откуда самоочевидной становится теорема Гамильтона-Кэли.

Про нормальные операторы рассказывается довольно близко к стандартному изложению (как у Кострикина, например), вещественные пространства рассматриваются через комплексификацию вещественного оператора и применении там теорем для комплексных пространств.

Сам определитель в конце вводится как произведение собственных значений. Единственное, что не понравилось, так это вывод формулы определителя матрицы. Чрезвычайно сложно, правильнее все же выводить ее через кососимметрические формы, ну а там показывать, что это то же, что и произведение собственных значений. Ну сугубо мое ИМХО.

А в остальном считаю, что именно так и надо читать курс линейной алгебры, ту часть, где про линейные операторы. Удивлен, но даже в НМУ пока не взяли на вооружение. А при таком подходе самое необходимое о линейных операторах можно за одну лекцию рассказать даже самому тупому кретину в общем-то. Совершенно замечательный подход.

Еще кстати со временем убеждаюсь, что правильность методического подхода и красота доказательства главным образом определяется краткостью.  Чем короче изложение — тем лучше. Это чаще всего значит гораздо более высокий уровень абстракции, но оно себя каждый раз явно окупает. То есть в общем-то начинаю во многом принимать взгляды замечательного measure_01. Взрослею, видать. Хорошо.

UPD: Хотя если подумать по-лучше, то крутость подхода в общем-то не в отсутствии определителя, а в том, что на начальном этапе пространство раскладывается на корневые подпространства.

Когда я пришел на первый семестр НМУ, главной проблемой для меня стало то, что я совершенно не умел мыслить в терминах многомерной геометрии. Анализ был совсем простым, алгебра почти простой (сноровки с абстрактными понятиями групп, колец и подобного у меня не хватало, но пришло все довольно быстро), а вот осознать многомерные задачи из геометрии мне оказалось на тот момент не по силам.

По чисто формальным критериям, я вроде все понимал. Теория-то там вся крайне простая, вот только когда сталкиваешься с конкретной задачей, становится не понятно как ее решать. В голове не хватает образов всех эти многомерных объектов. Что это за многомерные образы такие объяснить пожалуй невозможно — приходят они лишь со временем при решении задач и формируются в сознании сами собой.

В преддверии  нового учебного семестра в НМУ, в котором множество студентов придет на первый курс впервые (в том числе судя по всему многие читателей моего бложика), будет правильно поделиться рядом простых задач, которые по началу поставили меня в полный ступор и я даже не знал как к ним подступиться. Все приведенные задачи — уровень первого-второго листка, если что.

Самая элементарная, но в то же время пугающая неподготовленного студента задача, звучит так:

Вот есть у нас в трехмерном пространстве два кольца, которые зацеплены так, что их нельзя разъединить. Можно ли их разъединить, если мы перейдем в четырехмерное пространство?

Если с абстрактным мышлением у вас все в порядке, то решить ее можно меньше чем за минуту. Если пока это мышление у вас не развито, вы не справитесь скорее всего и за час.

Кстати, довольно занятно, но ответить на этот четырехмерный вопрос на порядок проще, чем доказать, что в трехмерном случае зацепленные кольца невозможно разъединить. А желающие чуть сильнее потрахать себе мозг могут попробовать ответить на такой вопрос: «Можно ли в четырехмерном пространстве расположить два кольца так, чтобы их невозможно было расцепить, по аналогии с трехмерным случаем?» (Здесь определения надо додумать самому, и в частности ответить для себя на вопрос: «А не обманул ли Хеллер и не подсунул ли какую фигню, не имеющую смысла?». Если обманул, то это так же надо строго доказать).

Так же в свое время меня поставила в тупик следующая реально элементарная задача:

Нарисовать трехмерную развертку четырехмерного куба.

Я не буду приводить определения и давать намеков как это решается — поищите сами в Интернете. Но решить хотя бы эту задачу перед посещением НМУ будет крайне полезно. Если не получается — поспрашивайте где-нибудь на форумах и у знакомых (ответ я давать не буду). Если задача вызывает у вас затруднения и вы через усилия все же разберетесь с ней и решите самостоятельно — это будет ваш первый шаг в правильном направлении к изучению математики.

Со следующей задачей смогут справиться абсолютно все, если прочитают определения:

Построить в четырехмерном пространстве две скрещивающиеся (то есть не пересекающиеся и не параллельные) двумерные плоскости.

Она вообще не может вызвать трудностей, но ее решение видится мне совершенно необходимым для каждого, так как она из числа базовых. Если вы не можете ее решить, то вам надо очень серьезно браться за голову, пока не поздно.

Ну и чтобы заметка была не совсем уж элементарной, приведу еще задачу из той же области, которая показалась мне интересной, и которая требует несколько более серьезной подготовки. С ходу ее вряд ли получится решить у начинающего, но тем не менее решить рано или поздно все же полезно.

Рассматриваем четырехмерное вещественное пространство. Пусть — различных чисел, а — выпуклая оболочка точек с координатами . Доказать, что в этом случае точки — вершины многогранника , а любой отрезок при — ребро.

Задача интересна тем, что показывает серьезную разницу между трехмерным и четырехмерным пространством, где происходит нарушение геометрических аналогий с визуальными образами. Фактически в задаче утверждается, что в четырехмерном пространстве существуют многогранники с любым количеством вершин, где отрезок, соединяющий любые две вершины — ребро. В трехмерном пространстве таких многогранников существует лишь сильно ограниченное количество. В качестве довольно простой задачи, перечислите все трехмерные многогранники, обладающие таким свойством.

Я из комментариев к этой заметке самоустраняюсь, но поступающим впервые на первый семестр НМУ будет полезно делиться мыслями и задавать вопросы, думаю.

Меня очень много просят рассказать об НМУ. Ну а мне и не сложно, тем более, что про НМУ в Сети действительно почти нет никаких материалов. В прошлой заметке я в основном выплескивал позитивные эмоции, которые возникли при первом знакомстве с НМУ. В этой попробую писать без эмоций, а лишь по факту. Что же до эмоций, то позитивный настрой меня нисколько не покинул — отношение к НМУ у меня столь же положительное, как и было в самом начале.

О себе

Считаю необходимым вначале рассказать в двух словах о себе, чтобы читателю был понятен мой интерес к математике и моя цель пребывания в этом институте.

От большинства других слушателей НМУ меня отличает то, что я уже довольно великовозрастный хрен, которому учиться в институте вообще говоря поздно. Если мне сейчас серьезно задуматься об образовании, то диплом я получу только когда  мне стукнет уже за тридцатник. У меня восьмичасовой рабочий день, к тому же я дополнительно занимаюсь йогой, английским, а так же хожу к проституткам. У меня чисто физически нет возможности уделять учебе много времени, поэтому я почти не делаю домашних заданий и не сдаю экзаменов. Ну просто реально нет времени.

В принципе в НМУ есть ребята, которые и старше меня, но они либо работают где-нибудь на пол-ставки, либо вообще не работают. Я же не готов отказаться от материальных благ в обмен на призрачную возможность стать математиком. Если у меня не будет денег на рестораны и проституток, то я банально подохну от тоски. У большинства студентов НМУ есть четкая и серьезная цель стать математиками и чего-то добиться в этой науке, у меня же такой цели нет. Я хотел бы стать математиком, но не складывается, ибо моя жизнь развивается совершенно по другому направлению (и видимо это развитие скоро сведет меня в могилу либо в тюрьму). О математике надо было раньше думать, в общем. Тем не менее математику я очень люблю, относясь к ней как к красивейшей форме искусства и изысканному развлечению ума, и в НМУ я хожу по одной простой причине: нравится. Если вдруг мне сложится случайно стать математиком — супер. Если не сложится — у меня и не было такой цели.

О студентах

На первые лекции приходит довольно много людей, которые производят впечатление случайно забредших. Если первую лекцию посетило вероятно человек 150, а то и больше, то через месяц в НМУ ходило лишь человек 40, хотя в этот промежуток и не было ничего сложного. Я как-то был свидетелем, когда после очередных слов лектора из разряда «непрерывное отображение — это такое, у которого прообраз любого открытого множества открыт», один из слушателей просто встал и вышел посреди лекции со словами «ну нахуй» (сказано было не громко и не повлекло беспокойства).

В остальном же думаю примерно можно разделить студентов так: почти половина — это матшкольники, поступившие на МехМат и в Вышку. Остальные — главным образом студенты самых разных ВУЗов, но попадаются так же и аспиранты, и люди уже с научной степенью, и просто неприкаянные, которые не имеют за плечами никакого образования вроде меня. Есть один десятиклассник (офигенно умный парень, кстати — я ему завидую). Почти никто из пришедших изначально не доживает до конца первого семестра, а те, кто все же прошли во второй семестр, сдаются уже после первых лекций, так как второй семестр значительно сложнее первого.

О тех же, кто посещает и занимается стабильно, должен сказать, что это умнейшие люди. Думаю, что через некоторое время я смогу говорить в кругу знакомых, глядя в телевизоре на какого-нибудь очередного филдсовского медалиста: «А вот я с этим парнем учился вместе — помню, как мы с ним в МакДаке на Арбате вегетарианский салат уминали», — а на меня все будут смотреть и завидовать моим знакомствам. Ну то есть без преувеличения: в НМУ я встретил умнейших людей, что когда-либо видел.

Главная отличительная черта ученика, оставшегося в НМУ — искренняя увлеченность наукой и любовь к знаниям. На переменах обсуждаются книги, теоремы, методики преподавания. То есть можно сказать, что это люди с совершенно другим менталитетом. Интересно, что почти все — непьющие и некурящие. Выбегают покурить сейчас у нас только двое. Такого как «попить пивка после занятий» вообще не бывает. При этом студентов НМУ нельзя назвать ботаниками — это не заученные чмыри, а просто увлеченные и умные люди, с которыми приятно общаться на самые разные темы. У многих даже есть герлфренды. (Только у меня нет, но это и понятно).

Почти все НМУшники постоянно просиживают задницы во всяких блогах и луркморах. Почти все читают Тифарета, а многие так и подавно проявляют в отношении него нездоровый фанатизм. Мой блог тоже читают многие, хотя и не в таких количествах, как Тифарета. Когда Тифарет вдруг поставил ссылку на меня, ко мне потом в НМУ подходили многие ребята, и задавали вопросы из разряда «Круто! Видел, на тебя Тифарет ссылку поставил?», хотя я особо и не распространялся никогда о том, что веду блог (те, с кем общаюсь тесно, конечно знали, но это весьма узкий круг лиц). Я, кстати, думал, что после ссылки Тифарета стану жутко знаменитым и все бабы будут передо мной раздвигать ноги, но ничего из этого не случилось.

Кстати,  на сайте НМУ вывешивается список студентов. Кто все эти люди в списке я не имею ни малейшего представления. Кого-то из них я знаю, но немногих. Вообще говоря даже на лекции сейчас ходит намного меньше людей, чем перечислено. Есть такое подозрение, что многие не посещают лекции, а просто берут задания, приходя в конце семестра и все сдавая. Но вообще говоря я не знаю, не буду строить предположений.

Нельзя обойти стороной и «мехматосрач». Некоторое пренебрежение к МехМату чувствуется, но в целом я бы сказал, что интернетовские описания вражды между МехМатом и НМУ сильно преувеличены. Есть люди к МехМату совершенно нетерпимые, но таких мало. Тем не менее могу сказать по факту: студенты МехМата, посещающие НМУ, жутко своим МехМатом недовольны. Их заставляют учить маркетинг, экономику, ОБЖ, менеджмент и психологию, чего они ненавидят. Математикой они тоже недовольны: алгебры почти нет, а по анализу в основном все сводится к нахождению интегралов. Студенты же Вышки своим институтом весьма довольны и радуются, что туда поступили. По уровню подготовки превосходство студентов ВШЭ над МехМатом видно невооруженным взглядом (с исключениями, конечно). Есть люди, которые побросали МехМат с целью уйти в Вышку. Но и те и другие однозначно говорят о том, что самое крутое — это все же НМУ.

Еще среди учащихся НМУ есть один, который ходит повсюду с ножом, есть один, который ходит на митинги 31 числа каждого месяца на Триумфальную площадь, есть один православный патриот-монархист, есть один антифашист и один парень, который перед каждой лекцией раздает всем желающим орешки, агитируя за вегетарианство. (Впрочем, в последних двух случаях заданные одноэлементные множества пересекаются).

Где-то около четверти студентов НМУ — евреи.

О женщинах

В НМУ есть женщины! Все красавицы, конечно, если кто разбирается. Думаю, многие меня здесь не поймут, но я это совершенно серьезно.

Анализ (М. Э. Казарян)

В принципе сложно написать об учебном процессе в целом, так как он сильно отличается от преподавателя к преподавателю, к тому же наверняка большинство интересует не только учебный процесс, но и уровень заданий и охватываемые в курсах темы. Поэтому я расскажу о каждом предмете, что посещал/посещаю, отдельно.

В отличие от остальных дисциплин, анализ в нашей стране худо-бедно преподают, поэтому в НМУ первый семестр анализа в основном знакомит с несколько отвлеченными, но необходимыми взрослому человеку вещами. Большой упор делается на то, чтобы переформулировать знакомые всем элементарные понятия вроде предела, непрерывности и действительных чисел в терминах топологии (в России к сожалению студентов грузят всякими -окрестностями — НМУ это исправляет). Рассматривается много интересных примеров. В качестве упражнений на топологические понятия — -адические числа. Так же рассказывают о сжимающих отображениях, Канторовом множестве и подобных вещах, которые проходят где-то очень близко к стандартному курсу анализа в технических ВУЗах.

Задания в листках (фактически домашние задания) у Казаряна можно условно разделить на три группы: теоремы и контрпримеры, которые надо просто найти в книгах, простые задачки на понимание базовых вещей, и чисто технические задачи на проверку владения основными техниками.

В первую категорию входят задачи вроде «доказать неравенство Минковского», «доказать теорему Кантора-Бернштейна», «построить функцию, которая непрерывна в рациональных точках,  но разрывна во всех остальных». Думаю, читатели согласятся, что доказать или найти самому такие вещи крайне сложно, если в принципе возможно. Такие задания на самом деле весьма полезны — заставляют копаться в литературе и знакомиться с самыми разными понятиями.

В группу заданий на понимание входят совсем простые вещи вроде «доказать эквивалентность трех определений вещественных чисел» или на топологию над кольцом -адических чисел. Ну то есть тут думать вообще не надо, хотя задания крайне полезные. Позволяют «почувствовать» смысл весьма абстрактных топологических понятий тем, кто с ними был еще не знаком.

Задания на технику — это что-то вроде взятия такого интеграла:

Такие задания решаются меньше чем за минуту, либо по крайней мере меньше чем за минуту становится понятен ход решения. (Если вы считаете, что приведенный интеграл — сложный, и тут надо думать над какими-то заменами переменных или интегрированием по частям, то подумайте еще раз).

Ну то есть в принципе ничего особо сложного нет (хотя когда я был на первом семестре, мне так совершенно не казалось). Все решаемо, и если есть желание, то проблем с обучением и сдачей заданий не возникнет. Экзамен, на котором я не был, по отзывам оказался совершенно халявным, и уж на тройку смогли сдать вообще почти все, кто пришел. Я, в силу нехватки времени, там не был.

Во втором семестре упор стал больше делаться на топологию, теорию особенностей, теорию Морса и иногда дифференциальную геометрию. Вернее не именно упор, но мы стали залезать в эти темы. Листки сделались более техничными, и как правило для полноценного решений заданий надо быть уже знакомым с весьма сторонними вещами (хотя опять же велика и доля тех заданий, которые вполне можно решить и с налету, то есть если речь идет о банальной сдачи зачета, то проблемы нет).

Дополнительно отмечу, что Максим Эдуардович — офигительный лектор. Лекции интересные, объясняет хорошо и доходчиво. Но это так, к слову.

Алгебра (А. М. Левин)

Лекции Левина воспринимаются гораздо труднее. Он довольно часто перескакивает с одного на другое, что-то забывает упомянуть, почти ничего не пишет на доске и как следствие потерять нить рассуждений ничего не стоит. Я совершенно не хочу наехать на Левина — он отличный мужик — просто констатирую факт.

Тем не менее лекции полезные. Если вы уже заранее понимаете тему, на которую он говорит, то вы с большой степенью вероятности вынесете для себя что-то новое. Вообще есть ощущение, что он пытается всегда показать что-то нестандартное, что не входит в традиционный курс. Например, теоремы о ЖНФ он рассказывал в терминах модулей, а не корневых подпространств, а вместо симметрических билинейных форм были кососимметрические (метод Лагранжа, пфаффиан, канонический вид).

Сама программа алгебры первого семестра в НМУ — на самом деле ликбез. Список тем примерно следующий: определители, линейные операторы, решение систем линейных уравнений, группы, кольца, поля, гомоморфизмы, тензоры, дискриминанты, результанты. Более сложные темы затрагивались лишь вскользь (да собственно и на тензоры была всего одна лекция и три элементарных задания в листке). Из нетипичного — Нётеровы кольца и критерий Эйзенштейна. Хотя «нетипично» — это в общем-то громко сказано. Вещи простые и весьма базовые, просто их редко читают в других местах.

Листочки были элементарные. Я сдал наверное больше половины (с поправкой на мою оговорку выше о  том, что я совсем не занимаюсь дома). Уровень заданий — решить систему линейных уравнений, найти определитель, доказать, что заданная функция — естественный изоморфизм к дважды двойственному пространству ну и т. д. То есть не решить такое надо постараться.

Вообще элементарность заданий по алгебре — на мой взгляд совершенно верный шаг со стороны Левина. Большая часть студентов по алгебре была не подготовлена абсолютно, и именно за счет простоты программы они хоть что-то узнали. Я сам в результате учебы в НМУ именно по алгебре продвинулся наиболее сильно. Если до начала учебы я шарахался от слов «гомоморфизм», «группа», «кольцо» и «поле», то сейчас эти понятия кажутся совершенно элементарными без которых вообще не понятно как можно было раньше жить.

Зато экзамен он вкатил совершенно нешуточный и почти никто его не сдал.  Для большинства именно экзамен по алгебре стал основным препятствием.

Второй семестр был значительно сложнее первого, и я перестал успевать за лектором. В результате сейчас я засел за книжки, и на второй семестр алгебры пойду еще раз. Для сравнения: в первом семестре на лемму Гаусса тратилось полторы лекции, на втором же семестре на все теоремы Силова было потрачено десять минут в совокупности. Успеть было реально сложно.

Геометрия (А. Л. Городенцев)

С геометрией было сложнее. Вообще в НМУ преподаватели не особо ориентируются на людей, пришедших учиться с нуля, но у Городенцева это оказалось наиболее выражено. В первом же листке были задания вроде «нарисовать трехмерную развертку четырехмерного куба». Задание элементарное, конечно, но не для человека, который никогда не слышал про многомерную геометрию. Во втором листке уже шли задачи на многомерные симплексы, стабилизаторы с орбитами и выпуклые штуки.

Причем на лекциях всего этого не было: по его же словам первые листки он делал «простыми, чтобы мы вспомнили». Как я сейчас понимаю, они действительно простые, но если вы не матшкольник, не учились специально на математика и не читали книг по теме, то решить эти задания нереально.

Лекции же были довольно простыми поначалу. Он очень подробно рассказал на первых нескольких занятиях об ориентированных объемах, базисах, определителях Грамма и подобных вещах вначале в двумерном пространстве, а затем только так же подробно переформулировал это для -мерного случая (в листочках ничего из этого не было отражено — они выдавались совершенно не по теме лекций).

Постепенно начались более сложные вещи, которые рассказывались уже гораздо более сложно. Часть вещей не определялась строго, что так же не добавляло понятности: многомерные выпуклые многогранники например он начал употреблять задолго до того, как впервые дал строгое определение.

Получилось вообще говоря так, что люди, которые по геометрии пришли неподготовленными изначально, не вынесли из курса почти ничего (кроме правильного представления об определителе и вероятно так же о двойственных пространствах), однако уже для подготовленных ребят Городенцев оказался наиболее полезным лектором. Среди студентов мнения разделились таким образом на два лагеря: одни характеризовали геометрию как «жесть», где ничего не понятно, для других же геометрия оказалась единственным предметом, где рассказывали что-то новое и интересное.

По курсу могу сказать, что не считая окончания семестра он действительно был не сложным, и задания в листках так же были весьма простыми. Сейчас я смог бы сдать большинство заданий из листочков с легкостью, так как сложные задания там хоть и были, но не особо много. Это понимание ко мне пришло, к сожалению, только когда я уже самостоятельно прочитал значительное количество литературы. А вообще курс был интересным, очень жаль, что я оказался для него неподготовленным когда это было надо.

Программа курса вообще такая: линейные пространства, аффинные пространства, проективная геометрия, выпуклая геометрия, квадрики, коники. Это первый семестр. Про второй семестр сказать не могу, так как уже не ходил. Был еще в первом семестре инвариант Шлефли — мне очень понравился, хотя большая часть студентов восприняла его почему-то холодно («зачем нам это надо — рассказал бы лучше что-нибудь полезное»).

Экзамен оказался простым, более простым чем были листочки, — большая часть его без труда сдала, даже среди неуспевающих.

Как начать

Многие спрашивают «как поступить в НМУ». На самом деле достаточно приехать и начать слушать лекции в соответствии с расписанием. Никаких вступительных экзаменов, никаких справок из военкомата у вас не попросят. Полезно следить за главной страницей сайта НМУ — ближе к осени там вывесят объявление о собрании. Посещение собрания не обязательное, но полезное.

Предупреждаю, что найти здание НМУ в первый раз достаточно трудно. Оно располагается где-то в закоулках неподалеку от Арбата, а планировка районов там ужасная. Можно пять минут идти прямо без единой возможности свернуть на соседнюю улицу, а затем упереться в тупик. Поэтому настоятельно рекомендую при желании начать заниматься съездить туда на разведку хотя бы один раз, чтобы потом не опоздать на лекцию (приезжать на лекцию надо загодя, так как первый месяц слушателей так много, что многим приходится толпиться в коридоре). Кстати, в здании НМУ на первом этаже есть хороший книжный магазин с очень дешевыми книгами, где вы сможете купить учебники к учебному году.

Так же, если вы хотите учиться в НМУ, настоятельно рекомендую вам как можно раньше озаботиться изучением материала. Это не относится к матшкольникам, физтеховцам и подобным ребятам, но если вы учились где-нибудь в МИФИ или МГТУ или не учились вообще, то не думайте, что сможете быстро наверстать материал в первом семестре. На первое занятие вы уже должны прийти подготовленным, так как дальше успевать за всеми будет крайне сложно. Ниже привожу список рекомендованной литературы.

Литература по анализу

Лучшее для начинающих что пока встречалось — это В. А. Зорич «Математический анализ» в двух томах. Особый упор для начала надо будет сделать на первую главу второго тома. Так же полезны «Лекции по математическому анализу» С. М. Львовского. Это более сложная книга, которую следует читать, когда вы уже въедете в базовые понятия. Она написана менее понятно для новичка, но более систематически. Если у вас уже есть другая книжка по мат. анализу, то не думайте, что ее будет достаточно. Фихтенгольца можно сразу выкинуть, например, о всяких «рекомендованных Министерством Образования» учебниках Ильина и Позняка я вообще молчу.

Литература по алгебре

Лучшая книга, что до сих пор мне встречалась — это «Линейная алгебра и геометрия» Кострикина и Манина (она не продается почему-то в магазинчике при НМУ, поэтому за ней придется ехать куда-нибудь в другое место). Тем не менее для начинающего она окажется скорее всего сложной. Перед ее началом лучше уже хоть на каком-то уровне понимать излагаемый материал. Однако познакомиться с ней придется все равно обязательно, так что приобрести тоже лучше заранее.

Для совсем же начинающих посоветую трехтомник  «Введение в алгебру»  Кострикина и «Курс алгебры» Винберга. Книги хорошо дополняют друг друга и их полезно читать параллельно. Например, в учебнике Кострикина совершенно ужасно объясняются комплексные числа и определители, но с этим достаточно хорошо у Винберга. Напротив, у Винберга мне не понравилось как излагаются билинейные формы и линейные операторы — у Кострикина получилось лучше. В третьем томе Кострикина имеется порочный круг при доказательстве теорем Силова, у Винберга с этим все хорошо. Винберга, кстати, сейчас практически нереально достать в бумажном виде — он давно не переиздавался. Так что придется скорее всего читать его с экрана.

Так же часто рекомендуют учебник алгебры Ван дер Вардена, однако я бы его не стал рекомендовать. Мне он крайне не нравится. Когда-то я ссылался на него, но сейчас имеется понимание, что на самом-то деле объяснения там совершенно отвратительные и в плане обучения совершенно бесполезные. В общем, не рекомендую. Так же часто рекомендуют учебник Гельфанда по линейной алгебре, но я его в руках не держал и ничего сказать не могу.

Литература по геометрии

Геометрия в НМУ — это сборная солянка из различных областей и какой-то одной-двух книг, охватывающих курс геометрии посоветовать очень сложно. На начальном этапе будет вполне достаточно книг, которые я посоветовал по алгебре, так как в принципе там об одном и том же.

Несколько более геометрический взгляд на те же темы дает книга В. В. Прасолова и В. М. Тихомирова «Геометрия», но сразу ее читать будет сложновато. Вначале нужно прочесть строгие определения евклидова и аффинного пространства у Кострикина, например, в противном случае будет тяжело воспринимать. Хотя здесь видимо зависит от склада ума — есть алгебраисты, которым подавай строгие выкладки и формализм, а есть геометры, которым важнее зрительный образ. Вот эта книга явно написана геометрами для геометров.

Так же посоветую уже не совсем по геометрии, но тоже близко, «Наглядную топологию» В. В. Прасолова. Меня за эту рекомендацию сейчас заплюют читающие меня математики, так как книга совсем для школьников, но на мой взгляд к прочтению она обязательна, если вы не студент на математической специальности и не матшкольник. Для меня например там 100% текста оказалось новой информацией, а между тем излагаемые там темы для обучения в НМУ совершенно необходимы. Хотя на первом семестре топологии скорее всего и не будет, начать читать эту книжку лучше как можно раньше (в идеале еще в школе, классе в восьмом, а не в 25 лет как в моем случае).

Дополнительно может оказаться полезным почитать комментарии к моей прошлой статье об НМУ. Там разные люди высказали свои мнения, подняли ряд вопросов и посоветовали литературу. Тоже может быть полезным.

На этом, пожалуй, и закруглюсь, так как уже писать устал — пойду лучше математику читать.

Current music: Московская бригада смерти — Стоять до конца